Как избавиться от логарифмов
Ничто так не портит уравнение, как логарифмы. Они громоздки, трудны для манипуляции и немного загадочны для некоторых людей. К счастью, есть простой способ избавить ваше уравнение от этих надоедливых математических выражений. Все, что вам нужно сделать, это помнить, что логарифм является обратным показателю степени. Хотя основание логарифма может быть любым числом, наиболее распространенные основания, используемые в науке, это 10 и е, что является иррациональным числом, известным как число Эйлера. Чтобы отличить их, математики используют «log», когда основание равно 10, и «ln», когда основание равно e.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Чтобы избавиться от уравнения логарифмов, возведите обе стороны к тому же показателю, что и основание логарифмов. В уравнениях со смешанными терминами соберите все логарифмы с одной стороны и сначала упростите.
Что такое логарифм?
Концепция логарифма проста, но это немного сложно выразить словами. Логарифм — это количество раз, которое вам нужно умножить число, чтобы получить другое число. Другой способ сказать, что логарифм — это степень, до которой определенное число, называемое основанием, должно быть поднято, чтобы получить другое число. Сила называется аргумент логарифма.
Например, log 8 2 = 64 просто означает, что повышение 8 до степени 2 дает 64. В уравнении log x = 100 основание понимается как 10, и вы можете легко решить для аргумента x, потому что он отвечает вопрос "10 поднял до какой силы равна 100?" Ответ 2.
Логарифм является обратным показателю степени. Уравнение log x = 100 — это другой способ записи 10 x = 100. Это соотношение позволяет удалить логарифмы из уравнения, подняв обе стороны до того же показателя, что и основание логарифма. Если уравнение содержит более одного логарифма, они должны иметь одну и ту же базу, чтобы это работало.
Примеры
В простейшем случае логарифм неизвестного числа равен другому числу: log x = y. Поднимите обе стороны до показателей 10, и вы получите 10 (log x) = 10 y . Поскольку 10 (log x) — это просто x, уравнение становится x = 10 y .
Когда все члены в уравнении являются логарифмами, возведение обеих сторон в степень дает стандартное алгебраическое выражение. Например, возведите log (x 2 — 1) = log (x + 1) до степени 10, и вы получите: x 2 — 1 = x + 1, что упрощается до x 2 — x — 2 = 0. Решения х = -2; х = 1
В уравнениях, которые содержат смесь логарифмов и других алгебраических терминов, важно собрать все логарифмы на одной стороне уравнения. Затем вы можете добавить или вычесть условия. Согласно закону логарифмов, верно следующее:
-
log x + log y = log (xy)
Вот процедура для решения уравнения со смешанными членами:
-
Начните с уравнения: например, log x = log (x — 2) + 3
Расчет логарифмов
Логарифм — это математическая функция, тесно связанная с экспонентами. На самом деле логарифм является инверсией экспоненциальной функции. Общая форма — log_b (x), которая читает «log base b of x». Часто log без оснований подразумевает log 10 log_10, а ln ссылается на «натуральный log» log_e, где e — это .
Как избавиться от кислоты
Как избавиться от кислоты. За определенный период времени большинство из нас накопили несколько отходов, которые имеют кислую природу. Не стоит избавляться от этих вещей, просто выливая их на землю, чтобы смыть следующим дождем. В большинстве случаев фактически закон запрещает распоряжаться этими продуктами в .
Как избавиться от хлорида кальция
Хлорид кальция — это соль кальция и хлора. Он используется в аквариумах с морской водой и на дорогах для таяния льда. Обычно это не опасно и может быть утилизировано в мусорном ведре или в канализацию.
Как решать логарифмические уравнения – подробный разбор
ЕГЭ профильный
Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.
или число 3 (показатель степени) мы можем записать так , таким образом
Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма – строго больше нуля.
Теперь переходим непосредственно к вопросу – как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.
Пример 1 Найдите корень уравнения.
Пример 2 $$ \log_<3>(2x+5)=\log_<3>(11) $$
Опять имеем два логарифма с одинаковым основанием \(3\). Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:
Кажется, что все очень просто. Но есть несколько непростых нюансов, которые необходимо обсудить. Давайте посмотрим еще один пример:
Пример 3 $$ \log_<2>(1+3x)=\log_<2>(2x-3) $$
Смотрим на основания — они одинаковые, значит убираем логарифмы и решаем уравнение:
Мы решили уравнение, но я хочу позанудствовать и проверить, действительно ли получившийся корень является корнем исходного уравнения. Для этого подставим его в логарифмическое уравнение:
Мы получили слева и справа два одинаковых логарифма, вот только эти логарифмы НЕ СУЩЕСТВУЮТ, потому что нельзя взять логарифм от отрицательного числа.
Значит, с нашим решением что-то не так — мы нашли корень, подставили его в уравнение, но получили логарифм от отрицательного числа, который не существует!
Тут самое время вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ). В логарифмах нужно всегда внимательно следить за тем, чтобы не нарушались ограничения, которые вытекают из определения логарифма. Рассмотрим логарифм от некоторой функции:
Область допустимых значений (ОДЗ) для него будет задаваться системой неравенств:
И при решении любых логарифмических уравнений или неравенств всегда первым делом записываем ОДЗ для каждого логарифма в уравнении.
В нашем примере 3, ОДЗ будет выглядеть вот так: $$ \begin
Следующая трудность при решении логарифмических уравнений возникает, когда у нас сравниваются логарифмы с разными основаниями:
Пример 4 $$ \log_<2>(x)=\log_<4>(9).$$
Запишем ОДЗ: \(x>0\). У логарифма слева основание \(2\), а у логарифма справа основание \(4\). Чтобы воспользоваться способом решения, аналогичным первым трем примерам, необходимо привести логарифмы к одинаковому основанию.
Вспоминаем, что в самом начале к уравнению мы записывали ОДЗ \(х>0\). Тогда корень \(x=-3\) не удовлетворяет ОДЗ. Обратите внимание, что без учета ОДЗ в этом случае, мы бы получили неправильный ответ.
Подробнее про свойства логарифмов можно посмотреть тут. Логарифмические уравнения с разными основаниями встречаются в ЕГЭ регулярно, поэтому важно уметь применять все свойства логарифмов.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 5 $$\log_<5>(x)=2$$
Как видим, в примере есть только логарифм в левой части равенства, а справа стоит просто число 2. Давайте постараемся привести к такому же виду, как и в прошлых примерах. То есть сделаем так, чтобы справа появился логарифм с основанием 5.
Оказывается, любое число \(a\) можно представить в виде логарифма с нужным вам основанием \(b\) по формуле: $$a=\log_(b^a);$$ Эту формулу можно просто запомнить. А въедливым читателям, я бы рекомендовал посидеть и подумать откуда берется данное выражение. Подсказка — оно напрямую вытекает из определения логарифма. Задайте себе вопрос — «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?»
И так, воспользуемся формулой и распишем 2-ку: $$2=\log_<5>(5^2);$$ Подставим в уравнение: $$\log_<5>(x)=\log_<5>(5^2);$$ Ура, у нас два логарифма с одинаковыми основаниями, теперь можно приравнять подлогарифмические выражения. $$x=5^2;$$ $$x=25.$$
Пример 6 $$\log_<3>(x+2)=0$$
Начинаем с ОДЗ: $$x+2>0;$$ $$x>-2.$$ Приступаем к решению уравнения. Что делать в случае, когда справа стоит \(0\)? Ничего страшного в этом нет, действуем по прежнему плану — представим \(0\) в виде логарифма по нашей формуле: $$a=\log_(b^a);$$ $$\log_<3>(x+2)=\log_<3>(3^0);$$ Вспоминаем, что любое число в нулевой степени это единица. $$\log_<3>(x+2)=\log_<3>(1);$$ $$x+2=1;$$ $$x=-1.$$ Корень удовлетворяет ОДЗ — записываем ответ. Ответ: \(x=-1\).
Подведем итоги. В большинстве случаев, для того, чтобы решить простейшее логарифмическое уравнение, необходимо привести логарифмы слева и справа к одинаковому основанию. Затем приравнять подлогарифмические выражения и решить получившееся уравнения. При этом ни в коем случае не забываем про ОДЗ. На ЕГЭ, если вы вдруг запишите в ответ хотя бы один корень, не удовлетворяющий ОДЗ, то вам поставят за это задание 0 баллов.
Обратите внимание на «или» в ОДЗ. Оказывается можно накладывать условие больше нуля только на одную функцию: либо на f(x), либо на g(x) — смотря какое неравенство вам кажется легче для решения. Дело в том, что если одна из функций будет больше нуля, то и другая автоматически тоже будет будет больше, ведь мы ищем корни, при которых \(f(x)=g(x)\).
Для того, чтобы закрепить материал, решим еще одно логарифмическое уравнение:
Здесь все несколько сложнее, чем в предыдущих примерах. Для того чтобы представить наше уравнение в виде (*), нужно избавиться от множителя \(2\) перед первым логарифмом, кроме этого, нам мешается отдельное слагаемое \(4\), и в придачу ко всем этим неприятностям у логарифмов разные основания!
Но перед тем как решать, запишем ОДЗ: $$ \begin
Логарифмические уравнения и неравенства
Иначе как объяснить то, что для понимания этой пугающей многих учеников темы, нужно запомнить единственный факт:
Степень и логарифм — разная запись одного и того же математического события.
Понятие логарифма
Логарифм отвечает на вопрос: “В какую степень возвести число a, чтобы получилось число b ?”
Например: log2 4 = 2, так как 22=4 .
Если понятие “степень” всё ещё звучит устрашающе, мы написали статью “Действия с натуральными числами”.
Что же такое логарифм во вселенной математики?
Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание a, чтобы получить число b.
Существуют такие понятия, как десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте их рассмотрим.
Десятичный логарифм – это логарифм числа по основанию 10.
Записывается это следующим образом
В случае с десятичным алгоритмом перед нами стоит задача понять, в какую степень возвести 10, чтобы получить нужное нам число.
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е (e ≈ 2,7).
Записывается это следующим образом
У натурального логарифма в основании стоит число e, которое называется числом Эйлера. Число e играет важную роль во многих разделах математики.
Нельзя обходить такую важную тему, как логарифмы, стороной. Они часто встречаются в заданиях 12 и 14 профильного ЕГЭ по математике. При умелом использовании их свойств можно упростить выражение или заменить запись логарифма на более удобную.
Свойства логарифмов
Основное логарифмическое тождество
Данное тождество следует из определения логарифма и используется для преобразований.
У логарифмов есть свойства. Каждое из рассмотренных в таблице свойств можно использовать для преобразований.
Простейшие логарифмические уравнения
Как же решать логарифмические уравнения?
Логарифмическое уравнение нужно привести к виду loga f(x) = loga g(x). При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице.
Алгоритм решения логарифмического уравнения:
- Написать ОДЗ.
- Упростить выражения слева и справа от знака равенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.
- Если основания логарифмов одинаковые избавиться от логарифмов, иначе, используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.
- Решить уравнение и сравнить с ОДЗ, выписать в ответ корни.
Рассмотрим на примере:
- ОДЗ: 5x — 4 > 0, x + 8 > 0
- Если в обеих частях уравнения находится логарифм по одинаковому основанию, то можно скинуть логарифмы и записать равенство аргументов
- Теперь решим систему и получим
- Подставим в ОДЗ и проверим, подходит ли корень, запишем ответ, х = 3.
Давайте рассмотрим ещё одно уравнение
- Добавим ОДЗ: х > 0, x — 4 > 0, 4x > 0, 4x ≠ 1
- По свойствам логарифма преобразуем правую часть уравнения
- Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2
- Скинем логарифмы
Проверим, подходит ли значение под ограничения, и запишем ответ, x = 6.
Простейшие логарифмические неравенства
Для решения логарифмических неравенств тоже можно избавляться от логарифмов.
Делается это уже известным способом, при этом нужно обращать внимание на основание логарифма.