Какие из перечисленных величин являются случайными величинами

0

Установите соответствие между случайными величинами и их законами распределения:

На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии с законом Пуассона при л=2. Станция может обслужить в единицу времени не более 2-х заявок. Найти вероятность того, что в течение единицы времени на станции не образуется очередь (ответ округлить до сотых, табличные значения функции Пуассона при =2 P(0)=0.135; P(1)=0.271; P(2)=0.271). *1) 0,68

Случайная величина х имеет математическое ожидание а и дисперсию у2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины *1) M(y)=0; D(y)=1

ОТК должен проверить 100 комплектов, состоящих из четырех изделий каждый. Найти математическое ожидание числа комплектов, состоящих из стандартных деталей, если каждая деталь может быть стандартной с вероятностью 0,8 *2) 40,96

Складываются 1000 случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0, 10]. Математическое ожидание суммы равно *4) 5000

На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии с законом Пуассона при л = 2. Станция может обслужить в единицу времени не более 2-х заявок. Вероятность того, что в течение единицы времени на станции не образуется очередь (ответ округлить до сотых, табличные значения функции Пуассона при =2 P(0)=0.135; P(1)=0.271; P(2)=0.271) равна *1) 0,68

Случайная величина х имеет математическое ожидание а и дисперсию у2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны *1) M(y)=0; D(y)=1

Опыт, который удается только с вероятностью 0,25, повторяется до тех пор, пока не будет получен удачный результат. Математическое ожидание числа попыток равно *3) 4

На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии с законом Пуассона при л = 2. Мощность станции позволяет обслуживать не более двух заявок в течение единицы времени. Вероятность того, что в течение данной единицы времени станция будет простаивать или работать не на полную мощность (ответ округлить до сотых, табличные значения функции Пуассона при =2 P(0)=0.135 и P(1)=0.271) равна *1) 0,41

Опыт, который удается только с вероятностью 0,25, повторяется до тех пор, пока не будет получен удачный результат. Найти математическое ожидание числа попыток. *3) 4

Дана случайная величина х, имеющая равномерное распределение, множество значений которой заполняет промежуток [2; 4]. Математическое ожидание х равно: *5) 3

“Законом редких событий” называют распределение *3) Пуассона

Дискретная случайная величина принимает значения = 0, 1, … с вероятностями . Ее дисперсия равна *2) 9

Сдача экзамена по некоторому предмету производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена равно *4) 5

Дискртная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, если она принимает целые значения m=0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми формулой: *1) Бернулли

Случайная величина х распределена по закону Пуассона с математическим ожиданием 4. Дисперсия х равна: *1) 4

Складываются 100 независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0, 12]. Дисперсия суммы равна *3) 1200

Сдача экзамена по некоторому предмету производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена. *4) 5

Отрезок 12 см случайным образом разрезается на две части. Расстояние от одного из концов отрезка до точки разреза – равномерно распределенная случайная величина по всей длине отрезка. Тогда средняя длина меньшей части отрезка равна *5) 3 см

Функция распределения случайной величины Х определяется формулой: *3) F(x)=P(X<x)

Плотность вероятности обладает свойствами: *1) *4)

Отметить случайные величин: *2) Число бракованных изделий, выпускаемых предприятием за определенное время*4) Время ожидания в очереди*5) Число грузовых машин, проезжающих за один час через контрольный пункт ГАИ

Функция распределения обладает свойствами: *2) функция распределения непрерывна слева

Если случайная величина является непрерывной, то ее множество значений: *3)несчетно

Функция распределения существует *3) у любой случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины – это правило, определяющее *4) возможные значения случайной величины и вероятности этих значений

К случайным величинам относятся

*2) Число бракованных изделий, выпускаемых предприятием за определенное время

*4) Время ожидания в очереди

*5) Число грузовых машин, проезжающих за один час через контрольный пункт ГАИ

Из перечисленных случайных величин дискретными являются *1)

биномиальная случайная величина*2) пуассоновская случайная величина

Из перечисленных случайных величин выберите непрерывные: *1) равномерно распределенная случайная величина*4) нормально распределенная случайная величина

Дискретная случайная величина х принимает как положительные, так и отрицательные значения, причем М(х) и D(x) – существуют. Какие из указанных утверждений являются всегда справедливыми? *2) D(x) может быть только неотрицательной; *3) М(х) может быть или положительным, или отрицательным, или нулем;

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений: *4) счетно или конечно

Соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется … данной случайной величины *1) законом распределения

F(x) является функцией распределения некоторой случайной величины. Какие утверждений из перечисленных ниже являются справедливыми в любом случае? *3) F(x) не убывает на всей числовой прямой

Из перечисленных случайных величин выберите дискретные: *1) биномиальная случайная величина*2) пуассоновская случайная величина

F(x) является функцией распределения некоторой случайной величины. Для нее всегда справедливы следующие утверждения *3) F(x) не убывает на всей числовой прямой

Если множество всех значений случайной величины конечно, то она является: *3)дискретной

Функция, значение которой для любого числа на числовой прямой равно вероятности появления в результате испытания значения меньшего, чем то, от которого зависит функция, называется: *2) функцией распределения

К непрерывным случайным величинам относятся *1) равномерно распределенная случайная величина*4) нормально распределенная случайная величина

При каком k функция является плотностью распределения? *4) 0

Из перечисленных свойств выберите те, которые относятся к функции распределения: *2) функция распределения непрерывна слева*3)

Из перечисленных свойств выберите те, которые относятся к плотности вероятности: *1) *4)

К свойствам функции распределения относятся *1) *4)

Дискретная случайная величина х принимает как положительные, так и отрицательные значения, причем М(х) и D(x) – существуют. Всегда справедливыми для данной случайной величины являются утверждения 1) Функция распределения может быть отрицательной только для отрицательных значений х.*2) D(x) может быть только неотрицательной; *3) М(х) может быть или положительным, или отрицательным, или нулем;

Для непрерывной случайной величины вероятность того, что она примет конкретное числовое значение, равна … *1) 0

Законом распределения случайной величины называется: *3) соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями

Отметить случайные величин: *1) Количество выпадений герба при десятикратном бросании монеты*3) Выигрыш в лотерее*5) Момент отказа технической системы

Функция может являтся плотностью распределения вероятностей при k равном *4) 0

Если функция распределения F(x) случайной величины непрерывна, то эта величина называется …*4) непрерывной

Гистограмма – это наглядное изображение группированного статистического ряда

в виде столбчатой диаграммы, состоящей из прямоугольников, у которых *4) основаниями являются полуинтервалы , а площади пропорциональны

Данные по 100 проданным парам обуви:Мода распределения по размеру проданной обуви равна: *1) 41

Вариационным рядом называются элементы выборки, вместе с соответсвующими им частотами, расположенные в порядке *2) возрастания

Выборка представлена в виде статистического ряда:

Объем выборки равен *1) 11

По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:Тогда значение а равно: *3) 16

Выборка представлена в виде группированного статистического ряда:Объем выборки равен *4) 20

Испытания Бернулли – это независимые испытания, в каждом из которых *1) с вероятностью может произойти некоторое событие А

Проводятся 11 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной . Наивероятнейшее число наступлений успехов равно

Проводятся 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной . Наивероятнейшее число наступлений успехов равно *4) 3

Вероятность рождения мальчика 0,51, девочки — 0 ,49 . Вероятность того, что из 3-х новорожденных – 2 мальчика равна *3) 0,3823

Схема Бернулли: имеется n независимых испытаний, в каждом из которых

*3) появляется событие с вероятностью p и с вероятность q, причем p+q=1

Пусть имеется n независимых испытаний, в каждом из которых появляется событие с вероятностью p и с вероятностью q, причем p+q=1. Такие испытания называются испытаниями … *4) Бернулли

Вероятность рождения мальчика 0,51, девочки 0,49. Найти вероятность того, что из 3-х новорожденных – 2 мальчика. *3) 0,3823

Установить соответствие между свойством «хорошей» точечной оценки параметра и определением этого свойства: 1) при Состоятельность2) имеет наименьшую дисперсию Эффективность Несмещенность

Случайная величина Х распределена по закону Пуассона , где m=0, 1, 2… По результатам 10-ти наблюдаемых значений х: 2, 1; 1; 3; 1; 4; 2; 5; 1; 7 неизвестный параметр Л (лямбда) равен:*4) 2,7

Вероятность, с которой интервал (б;в) накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности , называется *1) доверительной вероятностью*2) надежностью *4) коэффициентом доверия

Признак х распределен в генеральной совокупности нормально, х=N(а;0,4), (уГ=0,4). Найти доверительный интервал для генеральной средней с надежностью г=0,99, если n=20, =6,34 (из таблицы Лапласа ) *3) (6,11; 6,57)

Признак Х распределен в генеральной совокупности нормально, n = 20, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S = 0,4 , по таблице значений qг,n-1 найдено q095;19=0,38, тогда доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95 : *4) (0,25; 0,55)

Задача математической статистики – *4) по результатам измерения или наблюдений сделать выводы о характере распределения исследуемых случайных величин

В итоге четырех измерений некоторой величины одним прибором были получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Тогда: а) выборочная средняя результатов измерений;

б) смещенная оценка генеральной дисперсии; в) исправленная выборочная дисперсия равны: *3)=10; D(X) = 2,5; S2 = 3,33

Пусть исследуемая величина имеет нормальное распределение с параметрами и по выборке вычисляется исправленная выборочная дисперсия . Тогда имеет распределение с степенями свободы*3) величина

Признак х распределен в генеральной совокупности нормально, х=N(а;0,4). Доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 0,99, при n = 20, =6,34 имеет вид:(из таблицы Лапласа ) *3) (6,11; 6,57)

«Хорошей» точечной оценкой генеральной средней является: *3) выборочное среднее арифметическое

В итоге четырех измерений некоторой величины одним прибором были получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Тогда: а) выборочная средняя результатов измерений; б) смещенная оценка генеральной дисперсии; в) исправленная выборочная дисперсия равны: *3) =10; у2=2,5; S2=3,33

Надежность интервальной оценки определяется *1) доверительной вероятностью

Множество элементов, из которого отбирают элементы для обследования, называют: *2) генеральной совокупностью

Случайная величина Х распределена по закону Пуассона , где m=0, 1, 2… По результатам 10-ти наблюдаемых значений х: 2, 1; 1; 3; 1; 4; 2; 5; 1; 7 неизвестный параметр л равен: *4) 2,7

В результате пяти измерений длины стержня были получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106. Несмещенная оценка длины стержня равна: *3) 100

Точность интервальной оценки определяется *3) длиной доверительного интервала

Установить соответствие между формулами и названиями формул. Формулы для доверительных интервалов:

генеральной средней при известном генеральном среднем квадратическом отклонени

генеральной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении;

генерального среднего квадратического отклонения

Выборочная дисперсия это: *1) состоятельная, но смещенная оценка генеральной дисперсии*2) средний квадрат отклонения выборочных данных от среднего значения*3) характеристика разброса выборочных данных относительно

Известно, что x=N(a, уГ).По выборке объема n=20 найдены =6,34 и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S=0,4. Найти доверительный интервал для генеральной средней с надежностью г=0,99 (по таблице Стьюдента t0,99;19=2,861). *5) (6,08; 6,60)

Случайная величина Х распределена по нормальному закону X=N(a;?) и имеет следующие результаты наблюдаемых значений: 35, 15, 5, 25, 5. Оценка параметра а равна: *1)17

Параметры генеральной совокупности – это: *4) постоянные числа

Известно, что x=N(a,б).По выборке объема n = 20 найдены =6,34 и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S = 0,4. Доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 0,99: (по таблице Стьюдента t0,99;19=2,861). *5) (6,08; 6,60)

Параметры генеральной совокупности: *2) *3) *4) DГ5) S2

Случайная выборка объема – это полученные в результате независимых измерений или наблюдений, проведенных в одинаковых условиях, чисел , которые мы считаем *1) значениями случайной величины с неизвестным нам распределением

Вероятность, с которой интервал (а;в) накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности , называется *1) доверительной вероятностью*2) надежностью *4) коэффициентом доверия

Известно, что x=N(a, уГ).По выборке объема n = 20 найдены =6,34 и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S = 0,4. Доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 0,99:(по таблице Стьюдента t0,99;19=2,861). *5) (6,08; 6,60)

Выбрать случайные величины из следующих показателей: *2) выборочная средняя; *3)исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение *4) выборочная дисперсия;

Известно, что x=N(a, ?Г).По выборке объема n = 20 найдены =6,34 и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S = 0,4. Доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 0,99:(по таблице Стьюдента t0,99;19=2,861). *5) (6,08; 6,60)

Случайная величина Х распределена по нормальному закону X=N(a;?) и имеет следующие результаты наблюдаемых значений: 35, 15, 5, 25, 5. Оценка параметра а равна: *1) 17

Пусть исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и по выборке вычисляется выборочное среднее . Тогда имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1) *2) величина

Пусть значение параметра неизвестно. Доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности , – это интервал , для которого *4)

Признак Х распределен в генеральной совокупности нормально, n = 20, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S = 0,4 , по таблице значений qг,n-1 найдено q0,95;19=0,38, тогда доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95 : *4) (0,25; 0,55)

Случайная величина Х распределена по нормальному закону X=N(a;б) и имеет следующие результаты наблюдаемых значений: 35, 15, 5, 25, 5. Оценка параметра а равна: *1) 17

В итоге четырех измерений некоторой величины одним прибором были получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Найти: а) выборочное среднее результатов измерений; б) смещенную оценку генеральной дисперсии; в) исправленную выборочную дисперсию. *3) =10; у2=2,5; S2=3,33

Признак Х распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения с надежностью г=0,95, если n=20, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S=0,4 (по таблице значений qг,n-1 найдено q095;19=0,38). *4) (0,25; 0,55)

Пусть исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и по выборке вычисляются выборочное среднее и выборочная дисперсия . Тогда имеет распределение Стьюдента с степенями свободы *3) величина

Критические точки находят исходя из того, что вероятность попадания критерия в критическую область *1) равна уровню значимости *4) равна вероятности ошибки первого рода

При проверке статистической гипотезы вероятность попадания критерия в критическую область называют: *3) уровнем значимости;

Если в результате статистической проверки принимается ошибочная нулевая гипотеза, то совершается *5) ошибка второго рода

Точки, разделяющие область допустимых значений и критическую область при проверке статистических гипотез, называются: *5) критическими

Критической областью при проверке статистических гипотез называют множество значений критерия, таких, что при справедливости Н0 а) вероятность принять эти значения велика; б) вероятность попадания в эту область мала; в) при попадании значений критерия в критическую область Н0 отвергают; г) при попадании критерия в критическую область Н0 принимают. Справедливы высказывания *5) б, в

Если в результате статистической проверки отвергается верная нулевая гипотеза, то совершается *1) ошибка первого рода

Вероятность ошибки первого рода называют: *4) уровнем значимости;

Если в результате статистической проверки принимается ошибочная нулевая гипотеза, то это: *5) ошибка второго рода

При проверке статистической гипотезы вероятность попадания критерия в критическую область называют: 1 *3) уровнем значимости

Критерий имеет распределение: *2) нормированное нормальное

Критической областью при проверке статистических гипотез называют множество таких значений критерия, что при справедливости Н0 а) вероятность принять эти значения велика;

б) вероятность попадания в эту область мала;

в) при попадании значений критерия в критическую область Н0 отвергают;

г) при попадании критерия в критическую область Н0 принимают.

Справедливы высказывания *5) б, в

Критической областью при проверке статистических гипотез называют множество значений критерия, таких, что при справедливости Н0 *2) при попадании значений критерия в критическую область Н0 отвергают*4) вероятность принять эти значения равна уровню значимости

Критические точки находят исходя из того, что вероятность попадания критерия в критическую область *1) равна уровню значимости *4) вероятности ошибки первого рода

Критические точки находят следующим образом: вероятность попадания критерия в критическую область *1) приравнивают к уровню значимости; *4) приравнивают к вероятности ошибки первого рода;

Критической областью при проверке статистических гипотез называют множество значений критерия, таких, что при справедливости Н0 1*2) при попадании значений критерия в критическую область Н0 отвергают*4) вероятность принять эти значения равна уровню значимости

Статистической гипотезой называется… *3) предположение о виде распределения или о значении параметра генеральной совокупности

Критерий имеет распределение: *2) Стьюдента

Если в результате статистической проверки отвергается верная нулевая гипотеза, то это: *1) ошибка первого рода

Статистической гипотезой называется… *3) предположение о виде распределения или о параметре генеральной совокупности

Множество значений равномерно распределенной случайной величины х заполняет промежуток [– 1; 1]. Найти М(х+3) *1) 3

Если , то среднеквадратическое отклонение случайной величины равно *1) 3

Эксцесс характеризует: *2) остроту пика максимума плотности

Если P(X<a)=P(X>a), то число а называется: *1) медианой

Найдите математическое ожидание числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02: *3) 100

Множество значений равномерно распределенной случайной величины х заполняет промежуток [– 1; 1].D(3x+1) равна *2) 3

Из перечисленных свойств выберите те, которые относятся к дисперсии *2)*4)

Если , то равно *1) 0

Математическое ожидание характеризует: *4) некоторое среднее значение случайной величины

Математическое ожидание случайной величины х, заданной плотностью вероятности

Найдите математическое ожидание случайной величины х, заданной плотностью вероятности *4) 2

Ряд распределения случайной величины х имеет вид:Найти M(x) и D(x) *4)M(x)=11; D(x)=33

Если , , то равно *4) 9

Дан совместный закон распределения случайных величин X и YЗакон распределения случайной величины Z = XY имеет вид: *2)

Дисперсия характеризует: *4) меру рассеивания случайной величины

Дан ряд распределения случайной величины х:Найти M(x) и D(x). *2) M(x)=8; D(x)=8

Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету 0,3. *2) 6

Дана дискретная случайная величинаМ(Х) равно *4) 3,6

Дисперсия случайной величины обладает свойствами: *1) *4)

Остроту пика максимума плотности характеризует: *4) эксцесс

Установите соответствие между характеристиками случайных величин и их определениями:1) Степень отклонения плотности вероятности от симметричной Асимметрия

2) Острота пика максимума плотности Эксцесс

3) Точка максимума плотности вероятности Мода

4) Число, которое делит распределение на две равные части Медиана

Ассиметрия характеризует: *4) степень отклонения плотности вероятности от симметричной

Среднее значение случайной величины при большом числе испытаний примерно равно её *3) математическому ожиданию

Приобретено 20 лотерейных билетов, вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3. Математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши равно *2) 6

Случайные величины — определение и вычисление с примерами решения

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение. Случайная величина называется дискретной (в узком смысле), если множество всех возможных значений ее конечно.

Геометрически множество всех возможных значений дискретной случайной величины представляет конечную систему точек числовой оси.

Пусть X — дискретная случайная величина, возможными и единственно возможными значениями которой являются числа

вероятности этих значений (т. е. есть вероятность события, состоящего в том, что X принимает значение ).

События , очевидно, образуют полную группу событий, поэтому

Определение: Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

В простейших случаях закон распределения дискретной случайной величины X удобно задавать таблицей:

Здесь первая строка таблицы содержит все возможные значения случайной величины, а вторая — их вероятности.

Заметим, что таблицу значений дискретной случайной величины X, если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями X с вероятностями, равными нулю.

Пример:

В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Решение:

Здесь возможные значения для X есть

Вероятности их соответственно будут

Закон распределения для выигрыша X может быть задан таблицей:

Число появлений т события А при независимых испытаниях можно рассматривать как случайную величину X со значениями Закон распределения этой величины дается биномиальной формулой

где <биномиальное распределение).

В частности, если р мало и п велико, причем — ограниченная величина, заключенная между двумя фиксированными положительными числами, то приближенно справедливо распределение Пуассона

Определение случайной величины

Определение 29. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (СВ) обозначаются большими буквами X, Y.

Примеры СВ: X — число попаданий при трех выстрелах, Y — абсцисса точки попадания при выстреле.

Случайные величины характеризуются своими возможными значениями, которые обозначаются маленькими буквами, соответствующими случайной величине: х,у.

Например, случайная величина X — число попаданий при трех выстрелах характеризуется следующими возможными значениями: .

Определение 30. Случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга возможные значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными случайными величинами (ДСВ).

Примеры ДСВ. 1) В приведенном выше примере СВ X. 2) Случайная величина Z- число вызовов скорой помощи за сутки. Ее возможные значения .

Определение 31. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток (который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще — расплывчатые, неопределенные), называются непрерывными случайными величинами (НСВ).

Примеры НСВ. 1) В приведенном выше примере СНВ Y — абсцисса точки попадания при выстреле. Ее возможные значения заполняют некоторый промежуток . 2) СНВ В — ошибка взвешивания тела на весах. Ее возможные значения заполняют некоторый промежуток .

Замечание. В классической теории вероятностей рассматриваются события, в современной теории вероятностей — случайные величины.

Определение 32. Случайная величина X называется характеристической случайной величиной события А.

Примеры перехода от событий к случайным величинам

1). Рассмотрим событие А, которое в результате опыта происходит или нет. Введем в рассмотрение случайную величину X такую, что если А происходит, то Х= 1, если А не происходит, то Х=0. Следовательно, Х — дискретная случайная величина с возможными значениями .

Если происходит ряд таких опытов, то общее число появлений события А равно сумме характеристических случайных величин X события А во всех опытах.

2). Пусть в действительности точка М совпадает с началом координат — точкой О. При измерении координат точки М были допущены ошибки. Событие А = <Ошибка в положении точки М не превзойдет заданного значения r>. Пусть X, Y — случайные ошибки при измерении координат точки. Это непрерывные случайные величины, так как их возможные значения непрерывно заполняют некоторые промежутки. Событие А равносильно попаданию точки M(X,Y) в пределы круга радиуса r с центром в точке О. Т.е. для выполнения события А случайные величины должны удовлетворять неравенству: . Вероятность события А равна вероятности выполнения неравенства, которая может быть определена, если известны свойства X, Y.

Законы распределения случайных величин

Для описания случайной величины (т.е. для возможности сказать, как часто следует ожидать появления тех или других возможных значений случайной величины в результате повторения опыта в одних и тех же условиях) необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины.

Определение 33. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рассмотрим дискретную случайную величину (ДСВ) Xс возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и X может принять каждое из них с некоторой вероятностью.

В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий: X = или X = или . X = .

Обозначим . Т.к. несовместные события образуют полную группу, то

— сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ.

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями ДСВ. Задать это распределение, т.е. указать, какой вероятностью обладает каждое из событий, значит установить закон распределения СВ.

Говорят, что СВ подчинена данному закону распределения.

Формы закона распределения ДСВ

1. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, называемая рядом распределения ДСВ.

Для элементов нижней строки должно выполняться условие: .

2. Формой задания закона распределения является многоугольник распределения — фигура, получаемая при графическом изображении ряда распределения.

Механическая интерпретация ряда распределения ДСВ: Распределение единичной массы в нескольких изолированных точках по оси (Ох). (В отдельных точках сосредоточены соответственно массы , сумма которых равна 1.)

Пример №1

Рассмотрим опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Р(А) = 0,3. Рассмотрим случайную величину X — число появлений события А в данном опыте, т.е. возможные значения данной величины: = 0 (А не появится), = 1 (А появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины X.

Решение.

Проверка: .

Пример №2

Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывастся 5 очков. Построить ряд и многоугольник распределения числа выбитых очков.

Решение.

ДСВ X — число выбитых очков. Вероятность попадания (успеха) равна р = 0,4, вероятность промаха (неудачи) равна q = 1 — 0,4 = 0,6. Количество испытаний n = 3.

Возможные значения X: = 0 (0 очков), = 1 (5 очков), = 2 (10 очков), = 3 (15 очков).

По формуле Бернулли найдем вероятности этих возможных значений:

Ряд распределения имеет вид:

Проверка: .

Замечание. Ряд распределения является удобной формой представления закона распределения для ДСВ с конечным числом возможных значений. Однако эта характеристика не универсальна, так как ряд или многоугольник нельзя построить для непрерывной случайной величины (НСВ). Действительно, НСВ имеет бесчисленное множество возможных значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток, и перечислить их в какой-нибудь таблице нельзя.

Кроме того (это будет доказано позднее) каждое отдельное значение НСВ обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для НСВ не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для ДСВ.

Однако различные области возможных значений НСВ все же не являются одинаково вероятными, и для НСВ существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для ДСВ.

В силу этого, желательно иметь такую характеристику распределения вероятностей, которая была бы применима для самых разнообразных случайных величин.

Пример №3

Вероятности того, что студент сдаст экзамены в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х − числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:

Найдем вероятности этих значений. Обозначим события:

– студент сдаст экзамен по математическому анализу;

– студент не сдаст экзамен по математическому анализу;

– студент сдаст экзамен по органической химии;

– студент не сдаст экзамен по органической химии.
По условию:

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

Пример №4

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти функцию распределения F(x) и построить её график, а также
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Найдем функцию распределения
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Если то F(х)=0, так как на промежутке (− ∞; х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если то F(х) = Р(Х = −1) = 0,1, так как в промежуток (−∞; х) попадает только одно значение = −1;

Если так как в промежуток (−∞; х) попадают два значения

Если то так как в промежуток (−∞; х) попадают три значения

Если то

=0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, так как в промежуток (−∞; х) попадают четыре значения

Если то F(х)=Р(Х = −1)+Р(Х = 0)+Р(Х = 1)+Р(Х = 2)+Р(Х = 3) =

=0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, так как в промежуток (−∞; х) попадают пять значений
Итак,

Изобразим функцию F(x) графически (рис. 4.3):

Найдем числовые характеристики случайной величины:

Пример №5

Составить закон распределения случайной величины Х − числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить этой величины.

Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n = 3.
Вероятность события А − «выпадение пятёрки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е. где − «выпадения не пятёрки».
Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.
Вероятность каждого из возможных значений Х найдём по формуле Бернулли:

Таким образом закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

Пример №6

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.
Решение: Число n = 1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р = 0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Найдем =np=1000·0,002=2.

а) Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей среди отобранных (m = 5):

б) Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь среди отобранных.
Событие А − «хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию— «все отобранные детали не бракованные». Следовательно, Отсюда искомая вероятность равна:

Математическое ожидание

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных ее значений на их вероятности.

Если есть (полный) набор всех значений дискретной случайной величины — соответствующие им вероятности, то, обозначая буквой М математическое ожидание, будем иметь

Очевидно, математическое ожидание случайной величины X не изменится, если таблицу значений ее пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание М (X) случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины X.

Пример №7

Найти математическое ожидание выигрыша X.

Решение:

Пользуясь помещенной там таблицей, имеем

Как нетрудно сообразить, М(Х) = 21 коп. есть «справедливая» цена билета.

Замечание 1. Отдельные слагаемые суммы (1) представляют собой математические ожидания случайных величин , возможными значениями которых являются с вероятностями соответственно .

Замечание 2. Пусть —соответственно наименьшие и наибольшие возможные значения случайной величины X. Имеем

Таким образом, математическое ожидание случайной величины является некоторым ее средним значением.

Замечание 3. Математическое ожидание числа появлений события А при одном испытании совпадает с вероятностью этого события Р(А) = р.

Действительно, пусть X — число появлений события А в данном испытании. Случайная величина X может принимать два значения: (событие А наступило) с вероятностью и (событие А не наступило) с вероятностью

Основные свойства математического ожидания

Укажем важнейшие свойства математического ожидания. Доказательства будут проведены для дискретных случайных величин. Однако соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин, поэтому при формулировках этих теорем мы не будем упоминать, что рассматриваемые случайные величины дискретны.

Нам понадобится выяснить смысл арифметических операций и т. п., где X и У — дискретные случайные величины. Нетрудно дать соответствующие определения.

Например, под суммой X + У понимается случайная величина Z, значениями которой являются допустимые суммы — все возможные значения соответственно случайных величин X и У, причем соответствующие вероятности равны

Если какая-нибудь из комбинаций невозможна, то условно полагают ; это не отразится на математическом ожидании суммы.

Аналогично определяются остальные выражения.

Различают также независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае они называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

Теорема: Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, т. е. если С — постоянная величина, то

Доказательство: Постоянную величину С можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение С с вероятностью р = 1. Поэтому

Теорема: Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т. е. если X и У — случайные величины, то

Доказательство: 1) Пусть случайная величина X принимает значения с вероятностями а случайная величина У принимает значения с вероятностями 1, 2, . m). Тогда возможными значениями случайной величины X + У будут суммы вероятности которых равны

Как было отмечено выше, все комбинации можно считать допустимыми, причем если сумма невозможна, то полагаем .

Воспользовавшись очевидными свойствами суммы: 1) сумма не зависит от порядка слагаемых и 2) множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы, из (4) получим

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X принимает значение xt при условии, что случайная величина У принимает одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что X принимает значение xt и поэтому

Тогда из формулы (5) получаем

что и требовалось доказать.

2) Для нескольких случайных величин, например для трех X, У и Z, имеем

Следствие. Если С — постоянная величина, то

Теорема: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.

где X и У — независимые случайные величины.

Доказательство: Пусть — законы распределения соответственно случайных величин X и У. Так как X и У независимы, то полный набор значений случайной величины XY состоит из всех произведений вида , причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны .

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин X, У, Z имеем

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Если С — постоянная величина, а X — любая случайная величина, то, учитывая, что С и X независимы, на основании теоремы 1 получим

Следствие 3. Математическое ожидание разности любых двух случайных величин X и Y равно разности математических ожиданий этих величину т. е.

Действительно, используя теорему о сумме математических ожиданий и следствие 2, получим

Дисперсия

Пусть X — случайная величина, М(Х) — ее математическое ожидание (среднее значение). Случайную величину X — М(Х) называют отклонением.

Теорема: Для любой случайной величины X математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т. е.

Локазательство. Действительно, учитывая, что М(Х) — постоянная величина, имеем

Определение: Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

Отсюда, обозначая дисперсию буквой D, для случайной величины X будем иметь

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т. е. является числовой характеристикой этой величины.

Если случайная величина X имеет закон распределения , то, обозначая для краткости , из формулы (1) будем иметь

Пример №8

Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

Определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение . Имеем

Дисперсия D также малы. Отсюда следует, что если не обращать внимания на значения, имеющие малую вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значения мало отклоняются от . Таким образом, при малой дисперсии D(X) почти достоверно, что значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, быть может, сравнительно малого числа отдельных значений). В частности, если D(X) = 0, то, очевидно, X = и случайная величина представляет собой точку на числовой оси. Если D(X) велика, то концентрация значений случайной величины X около какого-нибудь центра исключается.

Теорема: Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания, т. е.

Доказательство: Используя основные теоремы о математических ожиданиях случайных величин, имеем

Теорема: Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, если С — постоянная величина, то М(С) = С и, следовательно,

Результат этот очевиден, так как постоянная величина изображается одной точкой на числовой оси Ох и не имеет рассеяния.

Теорема: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т. е.

Доказательство: Так как

— так называемый корреляционный момент величин X и У. Если случайные величины X и У независимы, то случайные величины X — М(Х) и У — М(У), отличающиеся от X и У на постоянные величины, очевидно, также независимы. Поэтому в силу теорем 3 имеем

и, следовательно, справедлива формула (5).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если С — постоянная величина, то

Таким образом, случайные величины X и X + С имеют одинаковую меру рассеяния.

Теорема: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т. е.

Доказательство: Если С — постоянный множитель, то в силу теоремы 2 имеем

Таким образом, рассеяние величины СХ в С 2 раз больше рассеяния величины X.

Следствие. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т. е. если случайные величины X и У независимы, то

Действительно, на основании теорем 4 и 5 имеем

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

Пример №9

Определить математическое ожидание и дисперсию для числа X появления события А при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события Р(А) = р постоянна.

Случайная величина X принимает значения и распределена по биномиальному закону

где

Величину X можно рассматривать как сумму независимых случайных величин

где — число появлений события А в -м испытании. Случайная величина X, принимает лишь два значения: 1, если событие А появилось в i-м испытании, и 0, если событие А не произошло в i-м испытании. Вероятности этих значений . Отсюда

. Отсюда, используя теорему о математическом ожидании суммы, будем иметь

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события А в условиях схемы Бернулли совпадает со «средним числом» появления этого события в данной серии испытаний. Для дисперсии случайной величины X, получаем

Отсюда по свойству дисперсии суммы независимых случайных величин (теорема) будем иметь

Поэтому среднее квадратичное отклонение (стандарт)

Формулы (8) и (9) дают математическое ожидание и дисперсию для биномиального закона распределения.

Замечание. Теперь становится понятным смысл случайной величины

в приближенных формулах Лапласа, а именно, t представляет собой отклонение числа появлений события А от его математического ожидания, измеренное в стандартах (так называемое нормированное отклонение).

Рассмотрим п дискретных попарно независимых случайных величин , дисперсии которых равномерно ограничены:

Эти величины, возможно, имеют значительный разброс, однако их среднее арифметическое

ведет себя достаточно «кучно».

А именно, при указанных выше условиях имеет место замечательная теорема:

Теорема Чебышева: Для любого положительного > 0 вероятность неравенства

сколь угодно близка к 1, если число случайных величин п достаточно велико, т. е.

(закон .больших чисел в форме Чебышева).

Теорема Чебышева находит применение в теории ошибок, статистике и т. п.

Непрерывные случайные величины. Функция распределения

Случайную величину X будем называть непрерывной, если все ее возможные значения целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Предполагается, что при каждом испытании случайная величина X принимает одно и только одно значение . Заметим, что дискретные и непрерывные случайные величины не исчерпывают все типы случайных величин.

Для характеристики непрерывной случайной величины X вводят функцию распределения

называемую интегральным законом распределения.

Если значения случайной величины X рассматривать как точки числовой оси Ох, то Ф(х) представляет собой вероятность события, состоящего в том, что наблюдаемое значение случайной величины X принадлежит интервалу , т. е. находится левее точки х. Этот интервал зависит от правого конца его х, и поэтому естественно вероятность является функцией от х, определенной на всей оси .

Заметим, что функция распределения имеет смысл также для дискретных случайных величин.

Функция распределения Ф(х) обладает следующими свойствами:

I.Функция Ф(х) есть неубывающая функция аргумента х, т. е. если то .

Действительно, если х’ > х, то из события очевидно, следует событие . Но тогда вероятность Ф(х’) второго события не меньше вероятности Ф(х) первого.

II.Так как Ф(х) — вероятность, то справедливо неравенство

III.

Действительно, событие очевидно, невозможно, а событие достоверно.

Зная функцию распределения Ф(х), можно для любого промежутка определить — вероятность попадания случайной величины X в этот промежуток (здесь принято левый конец а промежутка включать, а правый не включать в этот промежуток).

В самом деле, пусть А есть событие , В — событие и С — событие .

Тогда, очевидно, имеем

Так как события А и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей получаем Р(Б) = Р(А) + Р(С), отсюда

причем в силу свойства I.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее промежутку [a, b), равна приращению ее функции распределения на этом промежутке.

В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной лишь в том случае, когда ее функция распределения Ф(х) непрерывна на оси .

Теорема: Вероятность (до опыта) того, что непрерывная случайная величина X примет заранее указанное строго определенное значение а, равна нулю.

В самом деле, в силу формулы (2) имеем

Положим, что ; тогда в пределе промежуток [а, х) будет содержать единственную точку а. Кроме того, в силу непрерывности функции Ф(х) в точке а имеем

Переход я к пределу при в равенстве (3), получим

Таким образом, при непрерывной функции распределения вероятность «попадания в точку» равна нулю.

Следствие. Для непрерывной случайной величины X справедливы равенства

где — ее функция распределения. Действительно,

Аналогично доказывается второе равенство.

Замечание. В общем случае невозможные события и события с нулевой вероятностью могут оказаться неэквивалентными.

Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины X ее функция распределения Ф(х) имеет непрерывную производную

Функцию ф(х) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальным законом распределения случайной величины X.

Термин плотность вероятности имеет следующий смысл. Пусть — бесконечно малый промежуток. Тогда в силу формулы (2′) имеем

Заменяя бесконечно малое приращение функции ее дифференциалом , получаем приближенное равенство

Таким образом, плотность вероятности представляет собой отношение вероятности попадания точки в бесконечно малый промежуток к длине этого промежутка.

Так как плотность вероятности ф(х) является производной неубывающей функции Ф(х), то она неотрицательна: . В отличие от вероятности, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения.

Так как Ф(х) является первообразной для ф(х), то на основании формулы Ньютона—Лейбница имеем

Отсюда в силу (3′) получаем

Геометрически (рис. 271) эта вероятность представляет собой площадь S криволинейной трапеции, ограниченной — графиком плотности вероятности у = ф(х), осью Ох и двумя ординатами

Полагая получаем достоверное событие , вероятность которого равна единице. Следовательно,

Полагая в формуле (6) и обозначая для ясности переменную интегрирования х другой буквой, например t (это законно для определенного интеграла), получаем функцию распределения

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Будем рассматривать бесконечно малый промежуток как «жирную точку» х оси Ох. Тогда вероятность того, что случайная величина X принимает значение, совпадающее с этой «жирной точкой» х, равна y(x)dx и математическое ожидание этого события есть

Представляя прямую как бесконечное множество таких жирных точек, по аналогии с определением математического ожидания дискретной случайной величины, получаем естественное определение математического ожидания непрерывной случайной величины (только здесь суммирование заменяется интегрированием).

Определение: Под математическим о жид а ни ем непрерывной случайной величины X понимается число

(конечно, это определение имеет смысл лишь для таких случайных величин X, для которых интеграл (1) сходится).

Для дисперсии непрерывной случайной величины X сохраним прежнее определение

Из формулы (1) вытекает

(конечно, в предположении, что интеграл (2) сходится). Можно также пользоваться формулой

Можно доказать, что основные свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются также и для непрерывных случайных величин.

Пусть теперь все возможные значения непрерывной случайной величины X целиком заполняют конечный отрезок . Тогда ф(х) = 0 при и при и, следовательно,

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X, все возможные значения которой заполняют конечный промежуток , называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности ф(х) постоянна на этом промежутке.

Иными словами, для равномерно распределенной случайной величины все ее возможные значения являются равновозможными.

Пусть, например, . Так как в этом случае ф(х) = const при , то

Пусть (рис. 272). Тогда

где L — длина (линейная мера) всего отрезка и — длина частичного отрезка .

Значения случайной величины X, т. е. точки х отрезка , можно рассматривать как всевозможные элементарные исходы некоторого испытания. Пусть событие А состоит в том, что результат испытания принадлежит отрезку . Тогда точки отрезка есть благоприятные элементарные исходы события А.

Согласно формуле (1) имеем геометрическое определение вероятности: под вероятностью события А понимается отношение меры множества элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к мере L множества всех возможных элементарных исходов в предположении, что они равновозможны:

Это определение естественно переносит классическое определение вероятности на случай бесконечного числа элементарных исходов.

Аналогичное определение можно ввести также тогда, когда элементарные исходы испытания представляют собой точки плоскости или пространства.

Пример №10

В течение часа (t —- время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус. Какова вероятность того, что пассажиру, пришедшему на эту остановку в момент времени t = 0, придется ожидать автобус не более 10 мин?

Решение:

Здесь множество всех элементарных исходов образует отрезок [0, 1], временная длина которого L = 1, а множество благоприятных элементарных исходов составляет отрезок [0,1/6] временной длины = 1/6.

Поэтому искомая вероятность есть

Пример №11

В квадрат К со стороной а с вписанным в него кругом S (рис. 273) случайно бросается материальная точка М. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг S?

Решение:

Здесь площадь квадрата есть К = а 2 , а площадь круга

За искомую вероятность естественно принять отношение

Эта вероятность, а следовательно, и число л, очевидно, могут быть определены экспериментально.

Нормальное распределение

Распределение вероятностей случайной величины X называется нормальным, если плотность вероятности подчиняется закону Гаусса

где — некоторые постоянные, причем а > 0 и b > 0. В этом случае график плотности вероятности представляет собой смещенную кривую Гаусса (рис. 274), симметричную относительно прямой и с максимальной ординатой

Для удобства выкладок эту кривую центрируем, введя новые координаты и . Тогда закон Гаусса примет вид

и будет представлять собой дифференциальный закон распределения случайной величины

Постоянные а и b в формуле (2) не являются произвольными, так как для плотности вероятностей должно быть выполнено условие

Делая замену переменной , будем иметь

Отсюда на основании формулы (3) находим

Для математического ожидания случайной величины будем иметь

(ввиду нечетности подынтегральной функции). Отсюда

Таким образом, при нормальном распределении случайной величины X ее математическое ожидание х₀ совпадает с точкой пересечения оси симметрии графика соответствующей кривой Гаусса с осью Ох (центр рассеивания).

Для дисперсии случайной величины X получаем

Полагая и интегрируя по частям, с учетом формулы (4) будем иметь

Таким образом, из формулы (9) получаем

Отсюда для среднего квадратичного отклонения величины X получим

Введя обозначение , будем иметь

Подставляя эти значения в формулу (1), получим стандартный вид нормального закона распределения случайной величины X в дифференциальной форме:

где

Таким образом, нормальный закон распределения зависит только от двух параметров: математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме имеет вид

Формулы (11) и (12) упрощаются, если ввести нормированное отклонение

. Полагая в интеграле (12) , получаем

где t определяется формулой (13) и — стандартный интеграл вероятностей.

Отсюда получаем, что для случайной величины X, подчиняющейся нормальному закону, вероятность попадания ее на отрезок есть

В частности, вероятность того, что отклонение величины X от ее математического ожидания х₀ по абсолютной величине будет меньше а, равна

Полагая , получаем

т. е. такое отклонение является почти достоверным (правило трех сигм).

Нормальный закон распределения вероятностей находит многочисленные применения в теории ошибок, теории стрельбы, физике и т. д.

Пример №12

Задана плотность распределения

Определить коэффициент к и функцию распределения

Отсюда

Построим график (рис. 2.12).

Найдем функцию распределения, используя (2.7):

Построим график (рис. 2.13).

Функция распределения — универсальный закон распределения (для ДСВ и НСВ)

Для количественной характеристики распределения вероятностей любой случайной величины удобнее пользоваться не вероятностью события X = х, а вероятностью X 1) = = 1 — [Р(Х или )

(по определению функции распределения).

Таким образом, медиана — это корень уравнения . (3)

Геометрически: медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Замечание. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с мат. ожиданием и модой.

Когда медиана входит в формулы как определенное число, то ее обозначают .

Моменты:

Данные характеристики описывают некоторые свойства распределения СВ. В механике, например, для описания распределения масс существуют статические моменты, моменты инерции.

Определение 43. Начальным моментом s — того порядка для ДСВ и НСВ называется математическое ожидание s — той степени этой случайной величины:

.

Замечание. При s = 1 , т. е. математическое ожидание — это первый начальный момент.

a) Для дискретных случайных величин: . (4)

Замечание. Определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси (Ох) в точках сосредоточены соответственно массы .

b) Для непрерывных случайных величин: . (5)

Определение 44. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

.

Рассмотрим математическое ожидание центрированной ДСВ:

.

Аналогично, для НСВ .

Центрирование СВ равносильно переносу начала координат в среднюю, центральную точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Определение 45. Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.

Определение 46. Центральным моментом s — того порядка для ДСВ и НСВ называется математическое ожидание s — той степени соответствующей центрированной случайной величины:

.

a) Для дискретных случайных величин: . (6)

b) Для непрерывных случайных величин: . (7)

Замечание. Для любой СВ центральный момент 1-го порядка равен 0: , так как мат. ожидание центрированной СВ равно 0.

Рассмотрим подробнее центральные моменты 2, 3, 4 порядков и выведем соотношения, связывающие начальные и центральные моменты.

— дисперсия

Определение 47. Дисперсией случайной величины X D[X] называется мат ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

a) Для дискретных случайных величин: . (8)

b) Для непрерывных случайных величин: .(9)

Дисперсия случайной величины — характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее мат. ожидания.

Когда дисперсия входит в формулы как определенное число, то ее обозначают

Механическая интерпретация D[X]: Дисперсия — момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (мат. ожидания).

Рассмотрим ДСВ. (Для НСВ получаем аналогично)

.

— связь между начальным и центральным моментом 2-го порядка. (10)

Свойства D[X].

1. D[C] = 0 , где С — постоянная.

2. .

3. .

4. для независимых СВ.

5. — постоянные.

Замечание. D[X] имеет размерность квадрата случайной величины. Для более наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из D[X] извлекают корень:

где — среднее квадратическое отклонение или стандарт случайной величины X.

Когда среднее квадратическое входит в формулы как определенное число, то его обозначают .

Замечание. Математическое ожидание и дисперсия характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания применяются моменты высших порядков.

— асимметрия

Асимметрия случайной величины — характеристика асимметрии или скошенности распределения значений случайной величины.

Теорема. Если распределение симметрично относительно мат. ожидания (т. е. масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.

Доказательство.

Действительно, для ДСВ в сумме при симметричном относительно законе распределения и нечетном s каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое так, что вся сумма равна 0. Аналогично. Для НСВ как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. (что и требовалось доказать).

В связи с этим, в качестве характеристики асимметрии и выбирают простейший нечетный момент — третий . Он имеет размерность куба СВ, для получения безразмерной характеристики рассматривают отношение к среднему квадратическому в третьей степени:

Определение 48. Коэффициентом асимметрии Sk случайной величины X называется величина

.

связь между начальными и центральным моментом 3-го порядка.

и эксцесс

Четвертый центральный момент служит для характеристики «крутости», т. е. островершинности или плосковсршинности распределения.

Это свойство описывается с помощью эксцесса.

Определение 49. Эксцессом случайной величины X называется величина

Число 3 вычитается из соотношения потому, что для наиболее распространенного нормального закона распределения НСВ (с которым познакомимся позднее).

Кривая нормального распределения, для которого эксцесс равен нулю, принята как бы за эталон, с которым сравниваются другие распределения. Кривые более островершинные имеют положительный эксцесс, более плосковершинные — отрицательный.

Абсолютные моменты:

— начальный абсолютный момент.

— центральный абсолютный момент.

Абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами. Из абсолютных моментов нечетного порядка чаще всего применяется первый абсолютный центральный момент:

— среднее арифметическое отклонение.

a) Для дискретных случайных величин: , (14)

b) Для непрерывных случайных величин: (15)

применяется как характеристика рассеивания (как и ).

Замечания.

1. Моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные) или математического ожидания (центральные), но и относительно произвольной точки а:

.

2. Во многих задачах полная характеристика случайной величины (закон распределения) не нужна или не может быть получена, поэтому ограничиваются приблизительным описанием СВ с помощью числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения. Иногда характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим.

Пример №17

Дан ряд распределения ДСВ:

Найти: 1) величину а, 2) математическое ожидание и дисперсию М[Х] и D[X] , 3) М[3Х + 2], D[2X + 3].

Решение.

1) Величину а найдем из условия: , отсюда а = 0,4.

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию:

По формуле (1) ,

По формуле (8) .

Дисперсию можно было найти, используя формулу (10) и (4):

3) М[ЗХ + 2] = (по 5 свойству мат. ожидания) = ,

D[2X + 3] = (по 5 свойству дисперсии) =

Пример №18

Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. СВ Х — число попаданий. Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднее квадратическое отклонение, 4) моду, 5) асимметрию, 6) среднее арифметическое отклонение.

Решение.

Ранее мы построили ряд распределения числа попаданий. Ряд распределения имеет вид:

1) . (по формуле 1).

2)

(по формуле 8. Можно было по формуле (4): ).

3) (по формуле 11).

4) Найдем моду М: , следовательно, М = 1.

Тогда коэффициент асимметрии по формуле (12) .

6) По формуле (14) найдем среднее арифметическое отклонение:.

Пример №19

Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью . Найти: 1) коэффициент А, 2) математическое ожидание, 3) дисперсию, 4) среднее квадратическос отклонение, 5) моду, 6) медиану, 7) асимметрию, 8) эксцесс.

Решение.

1) Если х 2, то f(x) = 0 и, следовательно в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке [0; 1] находим, используя свойство 2:

Пример №61

Методом произведений вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным выборки (табл. 3.1).

Решение. В качестве «ложного нуля» возьмем варианту 16.
Следовательно

Результаты вычислений сведем в табл. 3.2.

Контроль: 273 = 100 + 46 + 127.
Равенство выполнено, следовательно, таблица заполнена верно.
Вычислим условные начальные моменты:

Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию:

Определим исправленную выборочную дисперсию:

и исправленное среднее квадратическое отклонение:

Получим несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Какие из перечисленных величин являются случайными величинами

1. Формирование представление о случайной величине, дискретных и непрерывных случайных величинах.

2. Знакомство с законом распределения дискретной случайной величины, функцией распределения и плотностью распределения непрерывной случайной величины, числовых характеристиках случайных величин.

1. Виды случайных величин.

2. Закон распределения дискретной случайной величины.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины.

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

5. Математическое ожидание.

6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

1. Виды случайных величин.

Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.

Случайные величины обозначаются: X , Y , Z . Значения, которые они принимают: x , y , z .

По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно).

Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…

Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка.

Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в].

2. Закон распределения дискретной случайной величины.

Дискретную случайную величину Х можно характеризовать законом распределения .

Закон распределения дискретной случайной величины— это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.

При задании закона распределения таблично, в первую строку таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую- их вероятности.

Пример: Монету подбросили 3 раза. Запишите закон распределения числа выпадения «герба».

Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3.

Найдем вероятность того, что «герб» не появится (0 раз).

Найдем вероятность того, что «герб» появится 1 раз.

Найдем вероятность того, что «герб» появится 2 раза.

Найдем вероятность того, что «герб» появится 3 раза.

Тогда закон распределения данной дискретной случайной величины можно представить таблицей:

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (x_i ; p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Однако, такой способ задания (перечисление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей) не подходит для непрерывных случайных величин. Составить перечень их возможных значений невозможно.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины.

Дадим новый способ задания любых типов случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения случайной величины называют функцию F ( x ), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F ( x )< P ( X < x ).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F ( x ) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция».

Свойства функции распределения:

Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат интервалу [0; 1]: .

Свойство 2: F ( x )- неубывающая функция, т.е. при .

Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b ), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Пример: Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 2).

Следствие 2:

Свойство 3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то F ( x )=0 при (т.к. ; F ( x )=1 при (т.к. — достоверное событие.

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.

График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (1 свойство).

4. При возрастании значения х в интервале ( a ; b ), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график растет вверх (2 свойство).

5. При ординаты графика равны 0, при ординаты графика равны 1 (3 свойство).

Замечание: График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример: Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

Найдите функцию распределения и постройте ее график.

Решение: Если , то F ( x )=0 по 3 свойству. Если , то F ( x )= P ( X <4)=0,3 (левее 4 существует только одно значение, которое может принять случайная величина-1, вероятность этого равна 0,3). Если , то F ( x )= P ( X <8)=0,3+0,1=0,4 (левее 8 существует два значения, которые может принять случайная величина-1 и 2, эти события несовместны, вероятность наступления одного или второго вычисляется по теореме умножения и равна 0,3+0,1=0,4). Если х>8, то F ( x )=1. Действительно, событие Х < 8- достоверное, следовательно, его вероятность равна 1.

Итак, функция распределения имеет следующий вид:

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f ( x )- первую производную от функции распределения F ( x ).

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( a ; b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b .

Пример: Задана плотность вероятностей случайной величины Х.

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Свойства плотности распределения вероятностей:

Свойство 1: Плотность распределения- неотрицательная функция: f ( x ) > 0.

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен 1: .

Геометрический смысл этого свойства заключается в следующем: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то .

Часто, для того чтобы характеризовать случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.

5. Математическое ожидание.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х- это величина , где x_i— значения случайной величины, p_i— их вероятности, n — число возможных значений случайной величины.

Пример: Найдите математическое ожидание, зная закон распределения дискретной случайной величины.

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через *, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

* Иногда используют , а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

, либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро речь идёт о множестве действительных чисел, то случайная величина может принять несчётно много значений из некоторого числового промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ:

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

Найти , если известно, что . Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: по условию – вероятность попадания в мишень. Тогда:
– вероятность промаха.

Составим – закон распределения попаданий при двух выстрелах:

– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Ответ:

Примечание: можно было использовать обозначения – это не принципиально.

Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:

Вычислим математическое ожидание:

Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:

поменяем части местами и проведём упрощения:

таким образом:

Выполним проверку:

, что и требовалось проверить.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!