Что такое эпсилон в математике

Эпсилон

Ε , ε (название: э́псилон, греч. έψιλον ) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы — hé. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е. Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое») было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.

Использование

Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.

В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:

• в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;
• в алгебре — предельное порядковое число последовательности

  —>

  —> —>МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ —>

  —>

  Когда говорят об эпсилонах или о языке эпсилон-дельта, речь идет вовсе не о секретных кодах Министерства обороны, а о сложном математическом аппарате, который напрямую связан с понятием предела. Первое определение понятию предела сформулировал Бернард Больцано (1781–1848), не получивший, к сожалению, при жизни должного признания. Первым, кто использовал это понятие на практике, был Огюстен Луи Коши (1789–1857), однако окончательное строгое определение предела дал Карл Вейерштрасс. Определение предела на языке эпсилон-дельта является чрезвычайно точным в той части, которая касается делимости на бесконечное множество частей. Хотя это определение очень сложно понять тому, кто не владеет некоторыми математическими знаниями, оно тем не менее долгое время использовалось в учебниках для средней школы. Мы не хотим сказать, что старшеклассники недостаточно умны, чтобы понять его, но не стоит ожидать, что все поймут его с одинаковой легкостью. Во многих учебниках оно приводится мелким шрифтом, и преподаватели обходят его молчанием.

  

  Карл Вейерштрасс на литографии 1895 года. Этот немецкий математик был первым, кто использовал на практике язык эпсилон-дельта.

  СПОРЫ ГЕНИЕВ

  Переписка, несомненно, является древнейшей формой общения между учеными. С ее помощью формулируется и решается множество задач. По сравнению с другими формами общения письма обладают преимуществом — конфиденциальностью: они адресуются конкретному человеку или группе людей. В виде переписки проходили многие научные дискуссии.

  Одной из самых известных стало жаркое противостояние между Ньютоном и Лейбницем об авторстве математического анализа. Абсолютно независимо друг от друга они получили аналогичные результаты, однако Ньютон опубликовал свои работы первым, что дало ему основания обвинить Лейбница в плагиате. Это привело к ожесточенному и абсурдному спору, не имевшему аналогов в истории науки.

  Попробуем сделать понятие предела более ясным, несколько упростив его.

  По сути оно имеет много общего с понятием накопления. Представим, что перед входом в помещение образовалась очередь. Можно заметить, что люди постепенно становятся ближе ко входу и друг к другу. Это совершенно естественно: изначально, когда в очереди немного людей, они стараются сохранять комфортное расстояние между собой, но по мере того как число людей растет, расстояние между ними уменьшается. Интересно, что мы говорим о двух разных расстояниях, которые, однако, тесно связаны между собой: о расстоянии между началом очереди и входом и о расстоянии между людьми в очереди, которое по мере того как мы приближаемся к концу, увеличивается. Это логично, так как те, кто становится в очередь, стараются сохранять комфортное расстояние между собой, но по мере того как очередь движется вперед, люди чувствуют давление тех, кто находится позади. Можно сказать, что люди скапливаются у входа.

  Можно определить степень скопления людей с помощью параметра, который будет описывать, например, изменение расстояния между людьми в очереди по мере приближения к ее началу. Как правило, этот параметр будет постепенно уменьшаться.

  

  В очереди, например у входа в кинотеатр, люди собираются у дверей, где расстояние между ними будет минимальным. По мере отдаления от входа расстояние между людьми увеличивается.

  Степень скопления людей можно определить, выбрав в качестве единицы измерения конкретное расстояние, например 50 см. Если в 50 см от входа находятся люди, это будет соответствовать определенной степени скопления. В зависимости от величины этой единицы измерения число людей будет изменяться. Аналогично можно измерить степень скопления людей, оценив расстояние между ними.

  Здесь возникает первый интересный вопрос: когда мы видим скопление людей, логично предположить, что они собрались по какой-то причине, то есть это скопление возникает вокруг определенного места, где происходит что-то важное. Когда мы видим на дороге скопление муравьев, то сразу же понимаем, что где-то поблизости находится еда или вход в муравейник. Еще один пример — скопление машин на автомагистрали, которое служит признаком того, что поблизости находится пункт оплаты проезда или произошла авария. Эти примеры помогут нам понять одно из самых интересных открытий в истории математики. Оно касается существования определенных чисел, которые в течение веков скрывались в мире бесконечно малых.

  В предыдущих примерах речь шла о дискретных множествах. Рассмотрим непрерывные величины, так как они допускают возможность бесконечного деления.

  Оставим скопления людей и автомашин и рассмотрим возможные множества точек на прямой. Допустим, что дана последовательность точек а₁, a₂, а₃, а_n…, которые обладают одним свойством: соседние члены последовательности располагаются все ближе и ближе друг к другу. Очевидно, что они скапливаются вокруг некоторой точки — обозначим ее Р. Допустим, что выбранной нами основной мерой длины является отрезок длиной d. Если мы поместим один конец этого отрезка в точку Р, то увидим, что некоторые точки последовательности окажутся внутри этого отрезка длиной d.

  

  Более того, мы сможем найти точку а_n, после которой все точки будут располагаться внутри отрезка d. Если мы уменьшим длину отрезка и сделаем ее равной d’ < d, то все точки, начиная с более удаленной, а_m, будут располагаться внутри этого нового отрезка. Именно такое значение имеет эпсилон в математическом анализе.

  Мы можем гарантировать, что для любой величины d всегда найдется такое n, начиная с которого все элементы последовательности будут находиться внутри отрезка d. В этом случае говорят, что последовательность сходится в точке Р. Это означает следующее: во-первых, эта последовательность бесконечна, во-вторых, расстояние между точкой Р и произвольным членом последовательности может быть сколь угодно малым.

  Когда мы работаем с дискретными множествами, все изложенное выше практически неприменимо. Рассмотрим последовательность чисел 100, 50, 25, 12, 6, 3, 1 (можно представить эту последовательность как очередь из семи чисел у входа, которым, например, является ноль). Очевидно, что разница между произвольным членом последовательности и нулем постепенно уменьшается, равно как и разница между двумя соседними членами последовательности. Например, между 100 и 50 находится 49 чисел, между 6 и 3 — всего два. Тем не менее нельзя сказать, что члены последовательности скапливаются в окрестности точки 0. Очевидно, что если мы возьмем отрезок длиной 1/2 и поместим один из его концов в точку 0, на этом отрезке не будет находиться ни один член последовательности. А если мы рассмотрим последовательность

  

  то вблизи нуля всегда будет находиться какой-либо ее член, сколь бы малым ни было расстояние до нуля.

  На языке математики эти расстояния называются окрестностями. Окрестность подобна скобкам, в которые заключена точка Р. Основная идея заключается в том, что сколь малыми ни были бы эти скобки (то есть радиус окрестности), в них всегда будут находиться элементы последовательности. В языке эпсилон-дельта основную роль играет соотношение между двумя числами: шириной скобок (радиусом окрестности, который обычно обозначают ε — эпсилон) и числом n, определяющим элемент а_n, начиная с которого все элементы последовательности будут располагаться внутри заданной окрестности. На языке математики это звучит так: «Для любого эпсилон существует n, такое что…»

  Именно так определяется понятие бесконечного деления, очень близкое к понятию предела. Когда в одном из парадоксов Зенона интервал делится пополам бесконечное число раз, мы формируем последовательность, подобную описанной в предыдущем примере. Теперь мы можем воспользоваться строгим определением перехода к пределу и подтвердить, что последним членом последовательности будет 0. Это не помогает разрешить парадокс, так как ситуация, по сути, не изменилась: точки образуют бесконечную последовательность и скапливаются вблизи нуля, и мы считаем, что существует последняя точка последовательности, 0, но в действительности 0 не является членом этой последовательности. Это утверждение не является оправданным, но четко определено на языке математики. Как говорил Бертран Рассел, «математика может быть определена как доктрина, в которой мы никогда не знаем ни о чем говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим».

  В действительности Коши в своем определении предела использовал не точки, которые скапливаются вокруг некоторой данной точки, а точки, которые скапливаются рядом друг с другом. Иными словами, скопление точек, которое рассматривал Коши, подобно скоплениям автомобилей на разных участках дороги, вызванным множеством аварий в разных местах. Ситуация значительно осложняется тем, что если мы рассматриваем исключительно рациональные числа, то прямая, на которой они располагаются, не будет заполнена — на ней останутся промежутки. Например: дана последовательность точек (теперь мы связываем точки на прямой с рациональными числами), которые скапливаются все плотнее и плотнее. Эту ситуацию можно четко определить на языке математики, что сделал Коши. Однако проблема заключается в том, что эти точки могут скапливаться вокруг пустого места на прямой, точнее вокруг точки, которой не соответствует никакое рациональное число.

  Так происходит, например, в случае с последовательностью

  

  о которой мы говорили в главе 2 и которая сходится к числу √2, а оно не является рациональным. Разумеется, мы можем построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого будет равна √2, но так мы определим это число геометрически, а во времена Коши математики пытались дать определение числам чисто арифметическими или аналитическими методами. Рациональные числа, по сути, вообще не были определены как числа, пока Дедекинд и, позднее, Кантор не сформулировали для них точной дефиниции. Последний сделал не только это, но и устранил промежутки на числовой прямой, которых в действительности существует бесконечное множество, так как иррациональных чисел, равно как и рациональных, бесконечно много.

  Однако Кантор заслуживает отдельной главы, ведь он не только заполнил числовую прямую, устранив эти промежутки, но и первый встретился с бесконечностью лицом к лицу.

  Что такое эпсилон в математике

  Ε , ε (название: э́псилон, греч. έψιλον ) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы — hé. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е. Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое») было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.

  Использование

  Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.

  В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:

  • в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;
  • в алгебре — предельное порядковое число последовательности

  />Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

  Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

  Насколько понятно значение слова стан (существительное):

  Синонимы к слову «эпсилон&raquo

  Предложения со словом «эпсилон&raquo

  • Верный „Певень“, быстроходный и манёвренный, обжитый за шесть лет службы, будет потерян для флота, из зоны эпсилон ещё никто не возвращался.

  Понятия, связанные со словом «эпсилон»

  Спектрально-двойной — называют систему двойных звёзд, если двойственность обнаруживается при помощи спектральных наблюдений. Обычно это системы, у которых скорости компонентов достаточно велики, а расположены они настолько близко, что увидеть их раздельно с использованием современных телескопов невозможно. В результате орбитального движения звёзд вокруг центра масс одна из них приближается к нам, а другая от нас удаляется, их лучевые скорости (вдоль направления на наблюдателя) неодинаковы и, как.

  Эпсилон в математике значение

  Ε, ε (название: э́псилон, греч. έψιλον ) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы — hé. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е.

  Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое») было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.

  Использование

  Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.

  В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:

  • в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;
  • в алгебре — предельное порядковое число последовательности .
  • в теории множеств — отношение принадлежности элемента множеству (такое обозначение является устаревшим, сейчас для той же цели используется символ ∈);
  • в тензорном исчислении — символ Леви-Чивиты;
  • в теории автоматов — эпсилон-переход;
  • в физике — угловое ускорение; проводимость среды; электронный захват; относительное удлинение; диэлектрическая проницаемость среды; энергия активации; иногда — ЭДС; ε — универсальная электрическая постоянная.
  • в астрономии — пятая (как правило) по яркостизвезда в созвездии;
  • в программировании — точность численного типа данных;
  • в информатике — пустая строка;
  • в фонетике — гласный переднего ряда среднего подъёма.
  • в теории метаболического контроля — эластичность фермента

  Wikimedia Foundation . 2010 .

  Смотреть что такое "Эпсилон (буква)" в других словарях:

  буква — Знак (азбучный), письмена (множ. ч.), иероглиф (гиероглиф), каракуля, руны. Нагородил какие то каракули, и читай. .. Ср. знак. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. буква … Словарь синонимов

  Буква Е — Буква кириллицы Е Кириллица А Б В Г Ґ Д … Википедия

  эпсилон — сущ., кол во синонимов: 1 • буква (103) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

   

  Эпсилон — У этого термина существуют и другие значения, см. E. Греческий алфавит Αα Альфа … Википедия

  эпсилон — (др. греч. Е,ε έπσίλο.ν). 5 я буква др. греческого алфавита; – ε΄ ñо штрихом вверху справа обозначала 5 , Íε со штрихом внизу слева – 5000 … Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

  Е (буква) — E: E пятая буква латинского алфавита. Е буква кириллицы, шестая буква русского алфавита. e математическая константа. E модуль Юнга, коэффициент, характеризующий сопротивление Растяжение сжатие материала при упругой деформации. Е союз племён в… … Википедия

  Альфа (буква) — У этого термина существуют и другие значения, см. Альфа (значения). Греческий алфавит Αα Альфа … Википедия

  Омега (буква) — Греческий алфавит Αα Альфа Νν Ню … Википедия

  Бета (буква) — Греческий алфавит Αα Альфа Νν Ню … Википедия

  Эта (буква) — Греческий алфавит Α α альфа Β β бета … Википедия

  Объясните что такое Бесконечно малая последовательность.
  Я знаю, что При любом e>0, существует N(e) такое, что при любом n > N(e) у нас Бесконечно малая последовательность по модулю меняше чем e.
  Так на пальцах понимаю что тут предел плюс минус e, но что такое N(e).

  Кто может просто объяснить и доступно, буду только очень рад

  задан 25 Фев ’17 22:40

  Романенко
  183 ● 2 ● 8
  60&#037 принятых

  @Романенко: Вы бы уточнили, что конкретно Вас интересует. Тогда можно было бы сделать пояснения. Нужно разъяснить смысл стандартного определения предела функции в точке, или что-то другое?

  Просто прокомментирую определение предела функции (вопроса не понял…). У каждой последовательности есть «хвост», в котором значения величины не выходят за границы промежутка определённого размера. Рассматриваем две такие последовательности: в одной последовательности каждый следующий элемент «ближе» к искомой точке «входной» переменной, чем предыдущий; а другая последовательность образована значениями функции для этих значений «входной» переменной. Соответствующие друг другу размеры промежутков, где заключены все значения величин в «хвостах» последовательностей, — это и есть эпсилоны и дельты.

  PS: в анализе неуч, но здесь, я думаю, ничего не напутал. В чём состоял вопрос — как видно, угадал… Можно воспринимать эпсилоны, дельты и прочую «шушеру» как своего рода обещания: найдутся, найдутся такие «хвосты», в которых «нечисти» больше не будет. «Нечисть» — это всё, что не попадает в отрезок заданного размера (фактически — $%delta cdot 2$%).

  @abracadabra10 , а можете пример какой ниб этого хвоста привести? хвост- это и есть эпсилон окресность?

  Возьмём последовательность $%1/n$% ($%n$% — целые). Все числа, начиная с $%1/4$%, входят в отрезок $%(0; 1/pi)$%. Это и будет «хвост», на который дано «обещание».

  @abracadabra10, а как величина может выходить за границы промежутка? и что значит :"в анализе неуч?"

  @abracadabra10 а, ну ясно,т.е. определение говорит,что если задана послед-ть и она стремится к определенному числу,то она за определенные пределы(промежуток) этого числа не выйдет?

  @Романенко: это верно с той оговоркой, что за пределы указанного промежутка последовательность не выйдет, начиная с некоторого достаточно большого номера своего члена. Начальные значения (их всегда конечное число) могут при этом вести себя как угодно.

  $%lim_ /x>$%. Одна последовательность — это иксы. Чётко указать один следующий элемент для каждого предыдущего нельзя, но, во всяком случае, если одно число по модулю меньше другого, то оно в последовательности дальше. Вторая последовательность — это игреки. Каждому эпсилону, за границы которого рядом с единицей не должен выходить хвост игреков, соответствует дельта, в границах которой рядом с нулём навсегда остаётся хвост иксов. Какой бы маленький ни был эпсилон, всегда можно выделить такой хвост в последовательности иксов, который отправит значения функции внутрь…

  Подумал ещё раз… Эти мои рассуждения — это костыли для «эпохи потенциальной бесконечности»… Если принимать актуальную бесконечность, то всё намного проще получается: никаких «хвостов» и никаких «обещаний». Так что прошу прощения за «философию».

  Означает разговор в режиме «студента со студентом». Два непонимающих могут здорово друг другу помочь иногда.

  Эпсилон

  Ε , ε (название: э́псилон, греч. έψιλον ) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы  — хе. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е, Ё, Є и Э. Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое») было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.

  Использование [ править ]

  Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.

  В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:

  • в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;
  • в алгебре — предельное порядковое число последовательности

  Что такое эпсилон в математике

  

  • в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;
  • в алгебре — предельное порядковое число последовательности

  Сообщение было отмечено mathus как решение

  

  – квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись следует прочитать «для любого положительного эпсилон»;

  – квантор существования, – существует значение , принадлежащее множеству натуральных чисел.

  – длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

  – для всех «эн», бОльших чем ;

  – знак модуля означает расстояние, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

  Хорошо, распишем последовательность :

  

  Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

  Примечание: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

  Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

  Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

  Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

  

  Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .

  Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерам окажутся внутри окрестности:

  Или короче: , если

  Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой.

  Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

  Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

  Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .

  Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

  Решение: рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

  

  Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

  Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

  

  

  Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

  Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

  А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

  Вывод: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать.

  К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

   
  Похожие публикации:

  1. Как найти r в геометрии описанной окружности
  2. Как скачать айтюнс на виндовс 10
  3. Как узнать причину зависания компьютера
  4. Почему таблица в ворде не переносится на следующую страницу