Какие из перечисленных групп являются циклическими

Циклические группы

Рассмотрим мультипликативную группу всех целых степеней двойки (2Z, •), где 2Z= <2 n | п е Z>. Аналогом этой группы на аддитивном языке является аддитивная группа четных целых чисел (2Z, +), 2Z = <2n | п е Z>. Дадим общее определение групп, частными примерами которых являются данные группы.

Определение 1.8. Мультипликативная группа (G, •) (аддитивная группа (G, +)) называется циклической, если она состоит из всех целых степеней (соответственно, всех целых кратных) одного элемента а е G, т.е. G = <а п | п е Z> (соответственно, G — <па| п е Z>). Обозначение: (а), читается: циклическая группа, порожденная элементом а.

• 1. Примером мультипликативной бесконечной циклической группы может служить группа всех целых степеней некоторого фиксированного целого числа а Ф ±1, она обозначается а г . Таким образом, а г — <а).
• 2. Примером мультипликативной конечной циклической группы является группа С„ корней n-й степени из единицы. Напомним, что корни n-й степени из единицы находятся

по формуле e_k = cos———hisin^—, где к = 0, 1, . п — 1. Следо- п п

вательно, С„ =(е_х)= <е_х = 1, е_х, ef = е₂. е» -1 = ?„__х>. Вспомним, что комплексные числа е_к, к = 1, . п — 1, изображаются точками единичной окружности, которые делят ее на п равных частей.

• 3. Характерным примером аддитивной бесконечной циклической группы является аддитивная группа целых чисел Z, она порождается числом 1, т.е. Z = (1). Геометрически она изображается в виде целых точек числовой прямой. По существу так же изображается мультипликативная группа 2 7 — = (2), в общем случае a z = (а), где целое число а Ф ±1 (см. рис. 1.3). Это сходство изображений мы обсудим в параграфе 1.6.
• 4. Выберем в произвольной мультипликативной группе G некоторый элемент а. Тогда все целые степени этого элемента образуют циклическую подгруппу (а) = <а п п еZ> , то суще-

ствует целое число гс₀, такое что — = п₀ —. Но тогда т = n₀kb,

откуда т :Ъ — пришли к противоречию.

Б. Докажем, что два произвольных рациональных числа —

и — принадлежат циклической подгруппе (—), где т есть наи- d т/

меньшее общее кратное чисел b и d. В самом деле, пусть т-Ьи

, а аи 1 /1 с cv 1 /1

и m = av, u, v е Z,тогда — = — = аи—е(—)и — = — = cv— е ( —).

b Ьи т т/ a dv т т/

Теорема 1.3. Порядок циклической группы равен порядку порождающего элемента этой группы, т.е. |(а)| = |а|.

Доказательство. 1. Пусть |а| = «>. Докажем, что все натуральные степени элемента а различны. Предположим противное: пусть а к = а т и 0 т

к = е. Но это противоречит тому, что | а =°°. Таким образом, все натуральные степени элемента а различны, откуда следует бесконечность группы (а). Следовательно, | (а)| = °° = |а |.

2. Пусть | а | = п. Докажем, что (а) = <е - а 0 , а, а 2 ,. а» -1 >. Из определения циклической группы вытекает включение <а 0 , а, а 2 , . o' 1-1 >с (а). Докажем обратное включение. Произвольный элемент циклической группы (а) имеет вид а т , где те Z. Разделим шнапс остатком: m-nq + r, где 0 п = е, то а т = а п я +г = а п ч ? а г = а г е <а 0 , а, а 2 , . а»- 1 >. Отсюда (а) с <а 0 , а, а 2 . Таким образом, (а) = <а 0 , а, а 2 . а" -1 >.

Циклическая группа

В теории групп группа