Так как Z 20 =< 1

(t; 20) = 1. Т.е. образующими являются 1; 3; 7; 9; 11; 13; 17; 19.

Задача. В циклической группе порядка 20 найти все элементы a, такие

что a 5 = e и все элементы порядка 5.

g >= fe; g; g 2 ; . ; g 19 g. Имеем, (g k ) 5

0; 4; 8; 12; 16. Следовательно, элементы, которые в пятой

степени равны единичному, это g 0 = e; g 4 ; g 8 ; g 12 ; g 16 .

(k; 20) = 4. Следовательно, k = 4; 8; 12; 16. Т.е. элементы порядка 5 в G

это g 4 ; g 8 ; g 12 ; g 16 .

(1) Любая подгруппа циклической группы сама является циклической.

(2) Существует взаимно-однозначное соответствие между всеми подгруппами конечной циклической группы и всеми делителями порядка группы.

Если G =< g > и H — неединичная подгруппа в G, то H =< g m >,

где m = minfk > 0g. Если G – конечная группа, то число m является

делителем n = jGj. Более точно, jHj = m n .

Задача. Найти все подгруппы в Z 15 .

В группе классов вычетов образующим элементом всегда является класс

вычетов 1, но мы выберем другой образующий: 2, Z 15 =< 2 >.

Делителями 15 являются 1, 3, 5, 15. Подгруппами в Z 15 являются H 1 =<

m 1 2 >, H 2 =< m 2 2 >, H 3 =< m 3 2

>, H 4 =< m 4 2 >, где m 1

= 1. Таким образом, H 1

H 2 =< 5(2) >=< 10 >= f0; 10; 2(10)g = f0; 5; 10g, H 3

Задача. Найти все подгруппы в Z.

Z — бесконечная циклическая группа с операцией сложения, образующим

является 1 и -1. Т.е. Z =< 1 >. Любая подгруппа, согласно теореме 2, имеет вид < a >, где a — некоторое кратное 1, т.е. a = m1 = m; m 2 N или a = 0. Таким образом, подгруппы в Z это < m >= f. ; 2m; m; 0; m; 2m; . g = mZ, где m 2 N [ f0g.

2.1. Доказать, что ordxy = ordyx и ordx = ordyxy 1 .

2.2. Найти порядок элемента группы:

6 2 3 9 8 11 12 10

2.3. Сколько элементов порядка 6 содержится в группе:

2.4. Сколько элементов порядка 2 содержится в группе:

2.5. Найти порядок каждого элемента в группах Z 12 , Z 8 , Z 12 , Z 8 , Z 7 (здесь через K обозначена группа обратимых элементов кольца K).

2.6. В циклической группе порядка 24 найти все элементы a, такие что a 6 = e, и все элементы порядка 6.

2.7. Найти все образующие группы Z 14 .

2.8. Для каждой из следующих групп определите, является ли она циклической группой: Z, 8Z, Q, Q , Z 10 , Z 13 , S n (n 3).

2.9. Найдите в группе C циклическую подгруппу, порожденную эле-

ментом 2 3 + 1 2 i.

2.10. Найдите в группе Z 30 циклическую подгруппу, порожденную элементом 25; в группе Z 42 – циклическую подгруппу, порожденную элементом 30.

2.11. Найдите в группе Z 14 циклическую подгруппу, порожденную элементом 5.

2.12. Найти все подгруппы в Z 10 , в Z 24 , в Z 100 .

2.13. Найти все конечные подгруппы в R и C .

2.14. Доказать, что в группе кватернионов Q 8 все подгруппы, кроме самой Q 8 , являются циклическими.

2.15. Доказать, что в группе четного порядка имеется элемент порядка

2.16. Доказать, что любая бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.

2.17. Доказать, что циклическая группа не может иметь более одного элемента порядка 2.

§3 Гомоморфизмы групп

Пусть (G; ) и (H; ) — группы. Отображение f : G ! H называется

гомоморфизмом групп, если для любых a; b 2 G

Ядром гомоморфизма групп f : G ! H называется множество

Kerf = fg 2 G j f(a) = eg;

где e — единица в H.

Образом гомоморфизма f называется множество всех элементов вида f(g) :

Imf = fb 2 H j 9 a 2 G; f(a) = bg:

Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом, сюръективный — эпиморфизмом, биективный — изоморфизмом.

1. Пусть G = (R n ; +); H = (R m ; +); f : R n ! R m линейное отображение. Тогда f гомоморфизм групп.

2. Пусть (G; ) и (H; ) — произвольные группы. Отображение f : G ! H определим следующим образом: f(g) = e для любого элемента g 2 G: Здесь e единица в H. Покажем, что f гомоморфизм групп. Действительно,

f(a b) = e = e e = f(a) f(b):

Ядро гомоморфизма Kerf = G; а образ Imf = feg:

3. Пусть G = (R; +); H = (R ; ); f : G ! H; f(x) = 2 x : Покажем, что f гомоморфизм. Действительно,

f(x + y) = 2 x+y = 2 x 2 y = f(x) f(y):

Так как 2 x = 1 только при x = 0, то Kerf = f0g и, следовательно, f мономорфизм.

Как известно, 2 x 2 R + для любого x 2 R. Поэтому Imf R + . Кроме того, любое положительное число y можно записать в виде y = 2 x = f(x),

где x = log 2 y 2 R. Следовательно, Imf = R + :

4. Пусть G = (GL n (R); ); H = (R ; ); f : G ! H; f(A) = det A:

Покажем, что f гомоморфизм групп. В самом деле,

f(A B) = det(A B) = det A det B = f(A) f(B):

Найдем ядро и образ гомоморфизма f :

Kerf = fA 2 GL n (R) j det A = 1g = SL n (R); Imf = R :

В самом деле, для любого ненулевого действительного числа 2 R существует невырожденная матрица A с определителем, равным ; например, такая:

Таким образом, f – эпиморфизм.

Свойства гомоморфизмов групп

Пусть (G; ) и (H; ) – группы, f : G ! H – гомоморфизм групп.

(1) Единица группы G переходит в единицу группы H, то есть f(e) = e.

(2) Для любого элемента a 2 G справедливо: f(a 1 ) = (f(a)) 1 :

(3) Для любого элемента a 2 G выполняется: f(a n ) = (f(a)) n :

(4) Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда ядро Kerf тривиально, то есть состоит только из нейтрального элемента.

(5) Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой в G, образ гомоморфизма является подгруппой в H:

(6) Композиция гомоморфизмов групп является гомоморфизмом групп.

(7) Если f : G ! H – изоморфизм групп, то f 1 : H ! G – тоже изоморфизм групп (существует в силу биективности).

Изоморфизм f : G ! G называется автоморфизмом. Множество Aut(G) всех автоморфизмов группы G образует группу относительно операции композиции отображений.

Пример. Пусть G – группа. Для произвольного элемента g 2 G зададим отображение g : G ! G правилом g (x) = gxg 1 . Отображение g является автоморфизмом группы G. Такие автоморфизмы называются внутренними.

Например, если G = S n , 2 S n , = (i 1 ; i 2 ; : : : ; i k ) 2 S n , то ( ) = ( (i 1 ); (i 2 ); : : : ; (i k )). Т.е. автоморфизм сохраняет структуру независимых циклов в разложении подстановки.

Автоморфизм, который не является внутренним, называется внешним. Например, : GL n (R) ! GL n (R), (A) = (A 1 ) t является внешним автоморфизмом. Действительно, при внутреннем автоморфизме характеристи-

ческие числа не меняются. Матрицы

различные характеристические числа, поэтому не является внутренним автоморфизмом GL 2 (R)

Если существует изоморфизм f : G ! H, то группы G и H называются

изоморфными. Обозначение: G H.

Пусть f : G ! H – гомоморфизм групп. Тогда:

1) для любого g 2 G порядок элемента f(g) делит порядок g;

2) если f – изоморфизм, то порядки g и f(g) совпадают;

3) циклические группы одного порядка изоморфны. Доказательство. 1) Пусть g – любой элемент группы G: Обозначим

порядок g через k : ord g = k: Тогда g k = e; где e – единица группы G: Рассмотрим элемент f(g k ): С одной стороны, f(g k ) = f(e) = e – единица группы H; по свойству (1) гомоморфизмов групп. С другой стороны, f(g k ) = f(g) k по свойству (3) гомоморфизмов групп. Таким образом, f(g) k = e: Согласно предложению из x2 ord(f(g)) делит k = ord g:

2) Пусть теперь f : G ! H – изоморфизм групп. Если h = f(g); то f 1 (h) = g: По 1) пункту ord h делит ord g: По свойству (7) f 1 : H ! G

– тоже изоморфизм групп. Следовательно, по 1) ord(f 1 (h)) делит ord h. Но f 1 (h) = g; то есть ord g делит ord h: Таким образом, получаем, что ord hjord g и ord gjord h: Поскольку порядок – натуральное число, то ord g = ord h:

3) Пусть G =< g >, H =< h >, jGj = jHj. Тогда f : G ! H, f(g k ) = h k

Задача. Найти все гомоморфизмы из Z n в Z m .

Пусть f : Z n ! Z m гомоморфизм. Рассмотрим любой образующий в циклической группе Z n , например, 1. Имеем, f(1) = t 2 Z m . Тогда по свой-

ству (3) гомоморфизмов f(k) = kf(1) = kt для любого k 2 Z n . Поэтому

для задания гомоморфизма f достаточно указать образ 1.

Так как порядок 1 в Z n равен n, то согласно предложению ordf(1) делит n. Из предложения x2 имеем ordt = (m;t m ) . Таким образом, если f : Z n ! Z m

– гомоморфизм и f(1) = t, то (m;t m ) jn.

Условие ordtjn является достаточным для того, чтобы отображение f : Z n ! Z m , заданное правилом f(k) = kt, было определено корректно и являлось гомоморфизмом. Действительно, если k = s, то nj(k s). Так как ordtjn, то ordtj(k s). Тогда из предложения x2 имеем (k s)t = 0 и, следовательно, f(k) = f(s). Поэтому отображение определено корректно. Так как f(k 1 + k 2 ) = f(k 1 + k 2 ) = (k 1 + k 2 )t = k 1 t + k 2 t = f(k 1 ) + f(k 2 ), то f является гомоморфизмом.

Например, найдем все гомоморфизмы из Z 3 в Z 36 . Согласно сказанному выше, если f(1) = t, то (36 36 ;t) j3. Поэтому (36; t) = 36 или (36; t) = 12, где

0 t 35. Следовательно,

2 f0; 12; 24g. Таким образом, существует

всего 3 гомоморфизма из Z 3 в Z 36 : f 1 , f 2 и f 3 , где f 1

3.1. Проверить какие из отображений групп f

3.2. Проверить какие из отображений являются гомоморфизмами групп:

а) f : R ! R ; где f(x) = e x ;

б) f : R ! C ; где f(x) = cos 2 x + i sin 2 x;

в) f : M n (R) ! R ; где f(A) = a 11 ;

3.3. Найти ядро и образ гомоморфизмов из задач 3.1 и 3.2.

3.4. Какие из отображений задачи 3.1 являются изоморфизмами?

3.5. Для каких групп G отображение f : G ! G; определенное правилом

(а) f(x) = x 2 или (б) f(x) = x 1 , является гомоморфизмом? При каком условии эти отображения являются изоморфизмами?

3.6. Построить изоморфизм между группами:

j x; y 2 Rg (относительно сложения).

3.7. Доказать, что не существует эпиморфизма f : Q ! Z аддитивных групп.

3.8. Доказать, что R + R и Q + Q: (Здесь R + = fa 2 R j a > 0g):

3.9. Доказать, что а) группа 4-го порядка либо циклическая, либо изоморфна четверной

б) группа 6-го порядка либо абелева, либо изоморфна S 3 :

3.10. Выяснить, какие из перечисленных циклических групп

< a >, порожденных элементом a 2 G, изоморфны:

б) G = C ; a = cos 6 5 + isin 6 5 ;

д) G = S 6 ; a = (3 2 6 5 1); е) G = Z; a = 3;

3.11. Найти все гомоморфные отображения:

3.12. Найти все изоморфизмы между группами (Z 4 ; +) и (Z 5 ; ):

3.13. Найти группу автоморфизмов группы:

3.14. Найти порядок группы автоморфизмов группы

3.15. Найти группу автоморфизмов группы:

г) V 4 = fe; (12)(34); (13)(24); (14)(23)g;

д) Q 8 (группа кватернионов).

§4 Факторгруппа. Теоремы о гомоморфизмах

Пусть G – группа, H – подгруппа в G: Левым смежным классом элемента g 2 G называется множество gH = fghj h 2 Hg = g: Правым смежным классом элемента g называется множество Hg = fhgj h 2 Hg: Любой элемент из смежного класса называется его представителем.

Левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают, причем gH = gH тогда и только тогда, когда g 1 g 2 H. Группа G является объединением непересекающихся левых смежных классов.

Все e левые смежные классы группы

G по подгруппе H имеют одинако-

вую мощностьравную мощности подгруппы H. Отсюда следует

Теорема Лагранжа. Пусть G конечная группа. H подгруппа в G: Тогда порядок подгруппы H делит порядок группы G:

Соответствие gH 7!Hg 1 является биекцией между множеством левых смежных классов и множеством правых смежных классов, следовательно, количество левых смежных классов равно количеству правых смежных классов группы G по подгруппе H. Оно называется индексом группы G по подгруппе H и обозначается (G : H):

Следствие. G конечная группа. H подгруппа в G; тогда jGj = (G : H)jHj:

Подгруппа H G называется нормальной подгруппой, если для любого g 2 G

Подгруппа H в группе G нормальна тогда и только тогда, когда для любого g 2 G и любого h 2 H ghg 1 2 H: Т. е. нормальная подгруппа

– это подгруппа, которая сохраняется относительно любого внутреннего автоморфизма группы G.

Задача. Доказать, что SL n (R) нормальная подгруппа в GL n (R): Возьмем A 2 GL n (R) и B 2 SL n (R): Найдем определитель матрицы

det ABA 1 = det A det B det A 1 = det A (det A) 1 = 1: Получаем, что ABA 1 2 SL n (R): Таким образом, SL n (R) – нормальная подгруппа.

Пусть H – нормальная подгруппа в G: Введем бинарную операцию на

множестве смежных классов следующим образом: a b = ab. Множество смежных классов с введенной операцией является группой, которая называется факторгруппой группы G по подгруппе H и обозначается через

Отображение p : G ! G=H : a 7!a является эпиморфизмом групп и называется канонической проекцией. Ядро канонической проекции совпадает с подгруппой H.

Подгруппа H = feg нормальна в G. Так как Kerp = H = feg, то каноническая проекция в данном случае является изоморфизмом между G и G=feg. Смежный класс g любого элемента g по подгруппе H по определению состоит из одного элемента g: g = fgg, поэтому G и G=feg отождествляют. Аналогично, G=G отождествляют с feg.

Основная теорема о гомоморфизмах. Пусть ‘ : G ! K – гомоморфизм групп с ядром H = Ker’: Существует единственный гомоморфизм

Какие из перечисленных групп являются циклическими

Группа О называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного и того же элемента Этот элемент называется образующей циклической группы О. Любая циклическая группа, очевидно, абелева.

Циклической группой является, например, группа целых чисел по сложению. Эту группу мы будем обозначать символом 2. Ее образующей является число 1 (а также число — 1). Циклической группой является также группа, состоящая только из одного элемента (единицы).

В произвольной группе О степени любого элемента g составляют циклическую подгруппу с образующей g. Порядок этой подгруппы, очевидно, совпадает с порядком элемента g. Отсюда в силу теоремы Лагранжа (см. стр. 32) следует, что порядок любого элемента группы делит, порядок группы (заметим, что все элементы конечной группы являются элементами конечного порядка).

Поэтому для любого элемента g конечной группы порядка имеет место равенство

Это простое замечание часто бывает полезно.

Заметим, далее, что конечная группа О порядка тогда и только тогда является циклической группой, когда она обладает элементом порядка . Этот элемент является образующей.

Действительно, если группа О циклическая и ее образующая, то порядок элемента равен . Обратно, если группа О обладает элементом порядка , то среди степеней этого элемента имеется различных, и поэтому эти степени исчерпывают всю группу О.

Мы видим, таким образом, что циклическая группа может иметь несколько различных образующих (именно, любой элемент порядка является образующей).

Задача. Доказать, что любая группа простого порядка является циклической группой.

Задача. Доказать, что циклическая группа порядка имеет ровно образующих, где — число положительных чисел, меньших и взаимно простых с .

Наряду с порядком любой конечной группе можно отнести число — наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Задача. Доказать, что для любой конечной группы О число делит порядок группы.

Очевидно, что для циклической группы число совпадает с порядком. Обратное, вообще говоря, не верно. Тем не менее имеет место следующее утверждение, характеризующее циклические группы в классе конечных абелевых групп:

конечная абелева группа О, для которой число равно ее порядку , является циклической группой.

— порядки всевозможных отличных от единицы элементов конечной абелевой группы О порядка , и пусть — их наименьшее общее кратное.

Разложим число в произведение степеней различных простых чисел:

Пусть Поскольку число является, по определению, наименьшим общим кратным чисел (1), среди этих чисел существует хотя бы одно число, делящееся точно на т. е. имеющеевид , где b взаимно просто с . Пусть это число является порядком элемента g. Тогда элемент имеет порядок (см. следствие 1) на стр. 29).

Таким образом, для любого в группе О существует хотя бы один элемент порядка Выбрав для каждого один такой элемент, рассмотрим их произведение. Согласно утверждению, доказанному на стр. 29—30, порядок этого произведения равен произведению порядков , т. е. равен числу . Поскольку последнее число по условию равно , тем самым доказано, что в группе О существует элемент порядка п. Следовательно, эта группа является циклической группой.

Пусть теперь О — произвольная циклическая группа с образующей и Н — некоторая ее подгруппа. Так как любой элемент подгруппы Н является элементом группы О, то его можно представить в виде , где d — некоторое положительное или отрицательное целое число (вообще говоря, определенное неоднозначно). Рассмотрим множество всех положительных чисел для которых элемент принадлежит подгруппе Н. Так как это множество непусто (почему?), то в нем существует наименьшее число Оказывается, что любой элемент h подгруппы Н является степенью элемента . Действительно, по определению, существует такое число d, что (число d может быть и отрицательным). Разделим (с остатком) число d на число

Так как , то в силу минимальности числа остаток должен быть равен нулю. Таким образом, .

Тем самым доказано, что элемент является образующей группы Н, т. е. что группа Н циклична. Итак, любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Задача. Доказать, что число равно индексу подгруппы Н и, следовательно, делит порядок группы О (если группа О конечна).

Заметим еще, что для любого делителя порядка конечной циклической группы Q в группе О существует одна и только одна подгруппа Н порядка (а именно подгруппа с образующей

Отсюда вытекает, что если конечная циклическая группа проста, то ее порядок является простым числом (или единицей).

Отметим наконец, что любая факторгруппа следовательно, любой гомоморфный образ) циклической группы Q является циклической группой.

Для доказательства достаточно заметить, что образующей группы служит смежный класс содержащий образующую группы О.

В частности, любая факторгруппа группы целых чисел Z является циклической группой. Изучим эти циклические группы более подробно.

Так как группа Z абелева, то любая ее подгруппа Я является нормальным делителем. С другой стороны, согласно доказанному выше, подгруппа Н является циклической группой. Так как факторгруппы по тривиальным подгруппам нам известны, то мы можем считать подгруппу Н нетривиальной. Пусть число является образующей подгруппы Н. Мы можем считать это число положительным (почему?) и, следовательно, большим единицы.

Подгруппа Н. состоит, очевидно, из всех целых чисел, делящихся на . Поэтому два числа тогда и только тогда принадлежат одному смежному классу по подгруппе Н, когда их разность делится на , т. е. когда они сравнимы по модулю (см. Курс, стр. 277). Таким образом, смежные классы по подгруппе Н суть не что иное, как классы чисел, сравнимых между собой по модулю .

Другими словами, факторгруппа группы Z по подгруппе Н является группой (по сложению) классов чисел, сравнимых между собой по модулю . Мы будем эту группу обозначать через Ее образующей является класс, содержащий число 1.

Оказывается, что любая циклическая группа изоморфна либо группе Z (если она бесконечна), либо одной из групп (если ее порядок конечен).

Действительно, пусть — образующая группы О. Определим отображение группы 2 в группу О, полагая

Из правил действий над степенями следует, что для любых чисел имеет место равенство

т. е. отображение гомоморфно. Его образ состоит из всех элементов группы О, являющихся степенями элемента т. е. совпадает с группой О. Таким образом, группа О является гомоморфным образом группы Z и, следовательно, изоморфна некоторой ее факторгруппе, т. е. либо самой группе О, либо одной из групп (мы предполагаем, что группа О не состоит только из единицы). Какой из групп изоморфна группа О, однозначно определяется тем, что изоморфные группы должны иметь одинаковый порядок.

Тем самым строение циклических групп полностью описано.

Важный пример циклических групп получается на основании следующих соображений.

Пусть — произвольное целое положительное число. Как известно (см. Курс, стр. 127), существует точно различных корней

степени из единицы:

Произведение любых двух корней степени из единицы и число, обратное к корню степени из единицы, очевидно, также являются корнями степени из единицы.

Следовательно, совокупность всех корней степени из единицы является группой порядка .

Известно (см. Курс, стр. 129), что любой корень степени из единицы является степенью так называемого первообразного корня. Следовательно, группа всех корней степени из единицы является циклической группой порядка . Ее образующими служат первообразные корни и только они.

Задача. Построить изоморфное отображение группы корней степени из единицы на группу