Системы неравенств с двумя переменными
Найти на координатной плоскости множество решений системы неравенств: $$ \left\< \begin
п.2. Примеры
Пример 1. Найдите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.
Выразим y(x) в явном виде
Строим прямые, заштриховываем области над ними, находим пересечение.
Выразим y(x) в явном виде
Заштриховываем область под первой параболой и над второй параболой.
Выразим y(x) в явном виде
Строим гиперболу и прямую. Заштриховываем области под гиперболой и над прямой.
Заштриховываем области вне первой окружности и внутри второй.
Находим пересечение – кольцо.
Пример 2. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами
A(2; 3), B(4; 4), C(3; 0)
Уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:
Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
Метод подстановки. В каком-либо неравенстве выражаем одну неизвестную через другую и подставляем в другое неравенство с целью исключения одной неизвестной.
Метод сложения. В результате умножения одного из неравенств системы на число и прибавления ко второму неравенству, получается равносильная система. Метод используют с целью, чтобы в результате сложения одна из неизвестных исчезла или было получено более простое неравенство.
Графический метод. Строят графики функций (или кривые), которые соответствуют уравнениям системы. Находят координаты точек пересечения этих графиков. Данным метод решения не всегда дает точное решение.
Эти приемы обобщаются на решение систем с большим количеством уравнений и неизвестных.
9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня или под дробным показателем.
Основной метод решения таких уравнений – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, чтобы корни исчезли. Иногда приходится возводить в степень несколько раз. При этом следует анализировать, какие корни надо оставлять в левой части уравнения, а какие корни перенести в правую часть (если корней несколько). От этого часто зависит рациональность решения.
Поскольку корни нечетной степени определены для любых по знаку подкоренных выражений и принимают любые по знаку значения, то возведение уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием (т. е. мы не теряем решений и не получаем посторонних).
Корни с четным показателем определены для f(x) 0. Возведение уравнения, содержащего такие корни, в четную степень может изменить ОДЗ уравнения и привести к посторонним решениям. В таком случае итоговым моментом в решении уравнения является проверка полученных решений подстановкой в заданное уравнение. Проверка решения по ОДЗ такого уравнения недостаточна.
ОДЗ иррационального уравнения следует находить в том случае, если предполагается, что она состоит только из нескольких чисел или может быть пустым множеством. Если ОДЗ состоит из одного, двух и т. д. чисел, то уравнение можно не решать, а эти числа проверять (являются ли они решением) подстановкой в заданное уравнение. Если ОДЗ есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.
При решении иррациональных уравнений используют также метод замены переменной и другие методы.
Если имеется уравнение вида где с 0, то оно не имеет решений, так как корни с четным показателем понимаем в арифметическом смысле, т. е. как неотрицательные.
Некоторые типы иррациональных уравнений
I тип: уравнение вида (1). Возведение в -ю степень приводит к равносильному уравнению
Уравнение (2) после возведения в -ю степень сводится к равносильному уравнению
Уравнение (3) после возведения в степень 2n приводит к уравнению-следствию (4) Найденные корни уравнения (4) проверяют подстановкой в уравнение (3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (3).
Уравнение (5) после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию (6) Корни уравнения (6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5).
II тип: уравнения, решаемые заменой переменной.
В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.
Если уравнение имеет вид (10) где F – некоторое алгебраическое выражение относительно то заменой оно сводится к уравнению (11)
После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (10).
III тип: уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.
Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.
1. Если и для всех , то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для x X, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.
3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение равносильно уравнению
4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение равносильно уравнению
Решение систем неравенств
Прежде чем перейти к разбору темы «Как решать систему линейных неравенств» обязательно внимательно изучите урок «Как решать неравенства».
Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.
Важно! 
Системой неравенств называют два или более неравенства, которые объединены фигурной скобкой.
Рассмотрим пример системы неравенств.
| x > 2 |
| x > 5 |
Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.
Как решить систему неравенств
Запомните! 
Чтобы решить систему неравенств нужно:
- решить отдельно каждое неравенство;
- сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.
Вернемся к нашему примеру системы неравенств.
| x > 2 |
| x > 5 |
Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.
Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.
Важно!
Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.
Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число « 2 » будет находиться левее « 5 ».
После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные на осях числа перпендикулярные прямые.
Запомните!
При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:
- если точка не входит в область решения ( «пустая» точка), то рисуют пунктирную линию;
- если точка входит в область решения (« заполненная » точка), то рисуют сплошную линию.
Проведем прямые через числовые точки на осях.
Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.
Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет « x > 5 ». Запишем полученный ответ.
Рассмотрим другой пример системы неравенств.
Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства .
Запомните!
Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.
Знаки сравнения (« » или « ≤ ») в двойном неравенстве всегда смотрят влево .
Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.
Другие примеры решения систем неравенств
В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.
Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.
Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.
При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.
Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными
Решение неравенств с двумя неизвестными, а тем более их системы, на первый взгляд кажется сложной задачей. Рассмотрим алгоритм, с помощью которого можно легко справиться с этой задачей.
Неравенство с двумя неизвестными
Пусть имеется неравенство с двумя неизвестными вида $y $, $\le$, $\ge$).
Множество решений подобного неравенства можно изобразить на координатной плоскости. Для этого необходимо:
-
Построить график функции y=f(x), который разобьет координатную плоскость на две разные области.
Выбрать одну из этих областей и рассмотреть в ней любую точку. Проверить, выполняется ли для этой точки исходное неравенство:
- Если неравенство выполняется, следовательно, оно выполняется и для всей области, из которой выбирали точку. Таким образом, область, в которой лежит выбранная точка и есть множеством решений неравенства.
- Если неравенство не выполняется, то множество решений неравенства – область, в которой не лежит выбранная точка.
При решении строгих неравенств границы области, которыми являются точки графика функции $y=f(x)$, не включаются в множество решений, при этом граница изображается пунктирной линией. При нестрогих неравенствах границы области включаются в множество решений неравенства, при этом граница изображается сплошной линией.
Показать на графике множество точек, которое задается неравенством $xy>3$.
Построим график функции $xy=3$. Для этого разделим обе части уравнения на $х$, т.к. оно не может обращаться в нуль, что следует из уравнения (произведение числа на нуль не может равняться $3$):
График получившейся функции – гипербола, которая разобьет координатную плоскость на 2 области: одна находится между ветвями гиперболы, а другая – за ними.
Выберем из одной области любую точку, например, с координатами $(1; 2)$.
Подставим ее координаты в неравенство:
$2>3$ – неравенство неверное.
Следовательно, точки выбранной области не являются решением данного неравенства. Таким образом, решением неравенства будет другая область, из которой точку не выбирали.
Данное неравенство строгое, поэтому граничные точки, которыми являются точки графика функции y=3/x, наносятся на график пунктирной линией. Обозначим на графике множество точек, которые являются решением данного неравенства:
Система неравенств с двумя неизвестными
Рассмотрим пример решения системы неравенств с двумя неизвестными.
Показать на графике множество точек, которое задается системой неравенств
Построим графики функций, которые соответствуют данным неравенствам:
Изображаем функцию $x^2+y^2=49$ сплошной линией, т.к. она соответствует нестрогому неравенсту, а прямую $2х+y=5$ – пунктирной.
Рассмотрим каждое неравенство отдельно.
Первое неравенство $x^2+y^2 \le 49$:
Возьмем точку $(5; 8)$ выше графика данной функции. Проверим справедливость неравенства:
$89≤49$ – неравенство неверно.
Следовательно, решение данного неравенства – область, в которой не лежит выбранная точка, т.е. область внутри окружности.
Второе неравенство $2x+y > 5$:
Возьмем точку $(4; 3)$ выше графика данной функции. Проверим справедливость неравенства:
$11 > 5$ – неравенство верно.
Следовательно, решение данного неравенства – область, в которой лежит выбранная точка, т.е. область выше прямой.