Как решать систему уравнений с 3 переменными

8

Система линейных уравнений с тремя переменными

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; \frac<1> <2>x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ <\left\< \begin 3x+2y-z = 8 \\ x-y+z = -2 \\ 2x-3y-5z = 1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3(y-z-2)+2y-z = 8 \\ x = y-z-2 \\ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ 5y-4z = 14 \\ -y-7z = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ 5(-7z-5)-4z = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ -39z = 39 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = 2-(-1)-2 = 1 \\ y = -7\cdot(-1)-5 = 2 \\ z = -1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 2 \\ z = -1 \end \right.> $$

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ <\left\< \begin a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 \end \right.> $$

Определим главный определитель системы:

$$ \Delta = \begin a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end $$

и вспомогательные определители :

$$ \Delta_x = \begin d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end, \Delta_y = \begin a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end, \Delta_z = \begin a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end $$

Тогда решение системы:

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ \Delta = \begin a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end = a_1 = \begin b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end — b_1 = \begin a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end + c_1 = \begin a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$$<\left\< \begin z = 3x+2y-13 \\ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \\ x+2y-(3x+2y-13) = 9 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin z = 3x+2y-13 \\ 11x+5y = 37 \\ -2x = -4 \end \right.> \Rightarrow $$

$$\Rightarrow <\left\< \begin z = 3\cdot2+2\cdot3-13 = -1 \\ y = \frac<37-11\cdot2> <5>= 3 \\ x = 2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 2 \\ y = 3 \\ z = -1 \end \right.> $$

$$ <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ -7y-7z = -7 |:(-7) \\ y-8z = -17 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ y+z = 1 \\ y-8z = -17 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ 9z = 18 \\ y = 1-z \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1-6+6 = 1 \\ z = 2 \\ y = 1-2 = -1 \end \right.> \Rightarrow$$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$$ \Delta_y = \begin 3 & 13 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 9 & -1 \\ \end = 3 = \begin -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end — 13 = \begin 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end — 1 = \begin 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end = $$

$$ \Delta_z = \begin 3 & 2 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 9 \\ \end = 3 = \begin -1 & -2 \\ 2 & 9 \\ \end — 2 = \begin 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end + 13 = \begin 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta_y = \begin 1 & 16 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & -11 & -5 \\ \end = 1 = \begin 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end — 6 = \begin 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end + 3 = \begin 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end = $$

$$ \Delta_z = \begin 1 & 1 & 6 \\ 2 & -5 & 5 \\ 1 & 2 & -11 \\ \end = 1 = \begin -5 & 5 \\ 2 & -11 \\ \end — 1 = \begin 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end + 6 = \begin 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ a \neq b, b \neq c, a \neq c $$

Решаем методом замены:

$$ <\left\< \begin z = -(a^3+a^2 x+ay)\\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \\ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \beginz = -(a^3+a^2 x+ay)\\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \\ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 \end \right.> $$

Т.к. $ a \neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) \neq 0$

Т.к.$ a \neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) \neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

§ 3. Системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений называется совокупность рассматриваемых совместно нескольких линейных уравнений.

В системе может быть любое число уравнений с любым числом неизвестных.

Решением системы уравнений называется совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, то есть обращающая их в тождества.

Система, имеющая решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.

Для решения системы применяют различные методы.

Решение систем линейных уравнений снеизвестными

Пусть (число уравнений равно числу неизвестных).

Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

(7)

Для нахождения неизвестных применим формулу Крамера:

(8)

где — определитель системы, элементы которого есть коэффициенты при неизвестных:

.

получается путём замены первого столбца определителя столбцом свободных членов:

.

;.

Пример 1. Решить систему по формуле Крамера:

.

Решение: Воспользуемся формулами (8):

;

;

;

;

Ответ: .

Для любой системы линейных уравнений снеизвестными можно утверждать:

Если определить системы , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера.

Если , то правило Крамера неприменимо. В этом случае система может иметь бесчисленное множество решений, еслиили не иметь их, если хотя бы один из определителейне равен нулю.

Матричный способ решения

Рассмотрим решение системы (7) трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.

Используя правила умножения матриц, данную систему уравнений можно записать в виде: , где

.

Пусть матрица невырожденная, т.е.. Умножая обе части матричного уравнения слева на матрицу, обратную матрице, получим:.

Учитывая, что , имеем

(9)

Пример 2. Решить систему матричным способом:

.

Решение: Введём матрицы:

— из коэффициентов при неизвестных;

— столбец свободных членов.

Тогда систему можно записать матричным уравнением: .

Воспользуемся формулой (9). Найдём обратную матрицу по формуле (6):

;

.

Получили:

.

Ответ: .

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Основная идея применяемого метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Допустим, что (если, то изменим порядок уравнений, выбрав первым уравнением то, в котором коэффициент прине равен нулю).

Первый шаг: а) делим уравнение на; б) умножаем полученное уравнение наи вычитаем из; в) затем полученное умножаем наи вычитаем из. В результате первого шага будем иметь систему:

,

Второй шаг: поступаем с уравнением иточно так же, как с уравнениями.

В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.

Замечание. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов, при неизвестных, и свободных членов.

Пример 3. Решить методом Гаусса систему:

.

Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака эквивалентности

.

По полученной матрице выписываем преобразованную систему:

.

Ответ: .

Замечание: Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система приводится к треугольной, то есть к такой, в которой последнее уравнение будет содержать одно неизвестное. В случае неопределённой системы, то есть такой, в которой число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, треугольной системы не будет, так как последнее уравнение будет содержать более одного неизвестного (система имеет бесчисленное множество решений). Когда же система несовместна, то, после приведения её к ступенчатому виду, она будет содержать хотя бы одно значение вида, то есть уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля (система решений не имеет). Метод Гаусса применим к произвольной системе линейных уравнений (при любыхи).

Теорема существования решения системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений методом гаусса ответ на вопрос, совместна или несовместна данная система может быть дан лишь в конце вычислений. Однако часто бывает важно решить вопрос о совместности или несовместности системы уравнений, не находя самих решений. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Кронекера-Капелли.

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными:

(10)

Для того, чтобы система (10) была совместной, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы

.

был равен рангу её расширенной матрицы

.

Причём, если , то система (10) имеет единственное решение; если же, то система имеет бесчисленное множество решений.

Линейная, однородная система уравнений снеизвестными

Рассмотрим однородную систему (все свободные члены равны нулю) линейных уравнений:

.

Эта система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение .

В следующей теореме даны условия, при которых система имеет также решения, отличные от нулевого.

Терема. Для того, чтобы однородная система линейчатых уравнений имела нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю:

.

Таким образом, если , то решение— единственное. Если, то существует бесконечноё множество других ненулевых решений. Укажем один из способов отыскания решений для однородной системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными в случае.

Можно доказать, что если , а первое и второе уравнения непропорциональны (линейно независимы), то третье уравнение есть следствие первых двух. Решение однородной системы трёх уравнений с тремя неизвестными сводится к решению двух уравнений с тремя неизвестными. Появляется так называемое свободное неизвестное, которому можно придавать произвольные значения.

Пример 4. Найти все решения системы:

.

Решение. Определитель этой системы

.

Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

.

Полагая, например, , получим

.

Решая систему двух линейных уравнений, выразим ичерез:. Следовательно, решение системы можно записать в виде:, где— произвольное число.

Пример 5. Найти все решения системы:

.

Решение. Нетрудно видеть, что в данной системе только одно независимое уравнение (два других ему пропорциональны). Система из трёх уравнений с тремя неизвестными свелась к одному уравнению с тремя неизвестными. Появляются два свободных неизвестных. Найдя, например, из первого уравнения при произвольныхи, получим решения данной системы. Общих вид решения можно записать, гдеи— произвольные числа.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений снеизвестными.

В чём сущность матричного способа решения систем?

В чём заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?

Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

Сформулируйте необходимое и достаточноё условие существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.

Примеры для самостоятельного решения

Найдите все решения систем:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10.;

11. ; 12.;

13. ; 14. ;

15. .

Определите, при каких значениях исистема уравнений

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решения;

в) имеет бесконечно много решений.

16. ; 17.;

Найти все решения следующих однородных систем:

18. ; 19.;

20. ; 21.;

22. ; 23.;

Ответы к примерам

1. ; 2.; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5. — произвольное число.

6. , где— произвольное число.

7. ; 8.; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11. , где— произвольное число.

12. , гдеи— произвольные числа.

13. ; 14.гдеи— произвольные числа.

15. Ǿ; 16. а) ; б); в).

17. а) ; б); в);

18. ; 19.; 20., где— произвольное число.

21. , где— произвольное число.

22. , где— произвольное число.

23. , гдеи— произвольные числа.

Системы уравнений

Система уравнений – это совокупность двух и более уравнений с одной или несколькими переменными, объединённые фигурной скобкой.

Переменная – это неизвестное число, обозначенное буквой

То есть, это уравнения, состоящие из одной и более переменных и выполняющиеся одновременно. Чтобы решить такую систему уравнений, нужно найти все её решения или доказать, что их нет. Решениями называют комбинации значений переменных, при которых все уравнения системы становятся верными

Рассмотрим примеры таких систем:

Существует три метода решения систем уравнений:

Методы решения систем

Графический метод решения систем уравнений заключается в построении графика для каждого уравнения, решения будут точки пересечения графиков, на практике такой метод очень неточный и удобен только для нахождения количества решений

Чтобы решить систему методом сложения, нужно умножить обе стороны одного или нескольких уравнений на число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными друг другу числами, далее нужно сложить уравнения системы и записать новую систему с использованием полученного уравнения и одного из более легких уравнений изначальной системы

Давайте рассмотрим на примере:

Перенесём у в левую часть уравнения

Умножим обе части первого уравнения на — 12

Сложим первое и второе уравнения и составим систему из нового уравнения и первого

Решим первое уравнение по теореме Виета и получим корни х = 3 и х = 4, рассмотрим случаи для каждого из корней и решим второе уравнение

Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)

Можно решить систему уравнений методом подстановки, для этого нужно выразить одну переменную из любого уравнения системы и подставить в другое, в новую систему нужно записать получившееся уравнение и более легкое в решении уравнение изначальной системы

Давайте рассмотрим на примере того же уравнения:

Во втором уравнение уже выражена переменная y, подставим её в первое уравнение и запишем систему из нового уравнения с одной переменной и первого уравнения с двумя переменными

Раскроем скобки у первого уравнения и приведём подобные слагаемые

Разделим обе стороны первого уравнения на -2 и найдём корни по теореме Виета, х = 3 и х = 4 , рассмотрим случаи для каждого из этих корней и решим второе уравнение

Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)

К решению систем уравнений, состоящих из большего количества уравнений тоже можно применять эти методы

Фактчек

Системой уравнений являются несколько уравнений с одной и более переменными, выполняющиеся одновременно.

Для решения систем уравнений используют три метода: графический, метод сложения и метод подстановки. Графический метод очень неточный, поэтому он удобен только для нахождения количества решений.

Метод сложения заключается в сложении двух уравнений так, чтобы получить одно из уравнений в системе с одной переменной и второе уравнение перенести из прошлой системы.

Для метода подстановки нужно выразить из любого уравнения одну неизвестную, подставить ее значение вместо этой переменной в другое уравнение и аналогично составить систему из нового уравнения и одного из уравнений начальной системы

Проверь себя

Задание 1.
Решить систему уравнений

1. (-7; -44), (1; 4)
2. (8; 15), (4; 1)
3. (11; -4), (1; 2)
4. (-7; -4), (3; 4)

Задание 2.
Решить систему уравнений

1. (7; -2), (6; -1)
2. (0; -2), (5; -11)
3. (-7; 0), (6; 0)
4. (0; -7), (6; -1)

Задание 3.
Решить систему уравнений

1. (2; 3)
2. (0; -8)
3. (0; -5)
4. (2; -5)

Задание 4.
Решить систему уравнений

1. (15;1)
2. (10;2)
3. (8;2)
4. (15;2)

Задание 5.
Решить систему уравнений

1. (-2; -3), (1; 1), (1; 0), (-2; 2)
2. (-2; -2), (-1; 1), (1; -1), (2; 2)
3. (-1; -2), (1; 2), (1; 0), (-1; 2)
4. (-2; -2), (1; 1), (1; -1), (-2; 2)

Ответы: 1. — 1; 2. — 4; 3. — 3; 4. — 2; 5. — 4.

Решить систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными онлайн

Этот онлайн калькулятор предназначен для решения систем из трёх уравнений с тремя неизвестными. Вы можете быть уверены, что калькулятор выдаёт точный результат.

Калькулятор

Инструкция

Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

Шаг 1. Введите в поля три уравнения.

Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить систему”.

Шаг 3. Получите точный результат.

В калькулятор нужно вводить только латинские буквы и любые цифры с клавиатуры.

Что такое система из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными

Решение систем из трёх уравнений с тремя неизвестными – это то же линейное уравнение, которое, чаще всего решается методом Крамера. Однако метод Крамера можно использовать только в том случае, если определитель системы не равняется нулю. Если же определитель системы равен нулю, тогда нельзя использовать этот метод.