Как считать синусы и косинусы без калькулятора

7

Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы .

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла \(30^°\). Отложим на круге угол в \(30^°\) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна \(0,866\)… , что равно числу \(\frac<\sqrt<3>><2>\) , а ордината равна \(0,5\), то есть \(\frac<1><2>\).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают \(0,1\); \(0,2\); \(0,3\) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: \(±\frac<1><2>=±0,5\); \(±\frac<\sqrt<2>> <2>≈±0,707\); \(±\frac<\sqrt<3>> <2>≈±0,866\).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

• Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

Градусная мера окружности равна \(360^°\), полуокружности \(180^°\), а четверти \(90^°\);

Углы в \(0^°\), \(30^°\), \(45^°\) и \(60^°\) выглядят так:

• Одна точка может соответствовать разным углам;
• Угол может быть больше \(360^°\). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно \(360^°\) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в \(90^° \) и \(-90^°\).
Решение:

Пример. Отметьте угол в \(225^° \) и \(-135^°\).
Решение: \(225^°=180^°+45^°\)
\(-135^°=-90^°-45^°\)

Пример. Отметьте угол в \(420^° \) и \(-390^°\).
Решение: \(420^°=360^°+60^°\)
\(-390^°=-360^°-30^°\)

Задание 1 . Отметьте на окружности точки соответствующие углам: \(720^°\), \(225^°\), \(300^°\), \(870^°\), \(900^°\), \(-330^°\), \(-630^°\), \(-210^°\).

Как находить синус и косинус любого угла?

1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример. Вычислите \(\sin⁡300^°\) и \(\cos⁡300^°\) .
Решение: \(⁡300^°=360^°-60^°\)

\(-540^°\) на тригонометрическом круге совпадает с \(-1\) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: \((-1;0)\). Значит, \(\cos⁡(-540^°)=-1\), а \(\sin⁡(-540^° )=0\).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье .

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения \(-18\sqrt<2>\sin⁡(-135^°)\).
Решение. \(-135^°=-90^°-45^°\)

Пример . Найдите значение выражения \(54\sqrt<3>\cos⁡(510^°)\).
Решение. \(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.\)

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .

Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z — любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Для каждой группы соответствуют свои значения.

При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .

Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.

Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.

Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 и cos ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.

Выполняем вычисления: t g ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 0 , 62 ≈ — 1 , 26 и c t g ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 — 0 , 78 ≈ — 0 , 79 .

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 — 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .

Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 — 1 .

Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 — 1 = 2 + 1 ( 2 — 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 — 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 — 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = = 2 — 2 2 · ( 2 2 — ( 2 ) 2 ) = 2 — 2 4

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 — 2 4 = 2 — 2 2 . sin π 8 = 2 — 2 2 .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = — sin 30 ° = — 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° — 60 ° ) = — cos 60 ° = — 1 2 .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Найдите значение t g π 8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 = 1 — 2 2 1 + 2 2 = 2 — 2 2 + 2 = = ( 2 — 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = ( 2 — 2 ) 2 2 2 — ( 2 ) 2 = ( 2 — 2 ) 2 2

Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 — 2 ) 2 2 = 2 — 2 2 = 2 — 1

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Варварский способ найти sin, cos и tan без калькулятора ⁠ ⁠

Что бы найти синус, косинус и тангенс, нам понадобиться запомнить таблицу значений углов каждые 10 градусов, и уметь делать базовые операции в математике.

Все не так ужасно как выглядит.

Присмотритесь внимательно к значениям синусов и косинусов, они повторяются, только в противоположном направлении.

То есть косинус можно записать как cos a = sin (90 — a)

(Вместо 90 может быть и 180, и 270, главное угол привести к диапазону a < 90°)

0° и 90° и столбец cos можно убрать, тогда будем иметь:

Пример для sin:

Чтобы найти sin 48 ° надо найти ближайшие два значения между которыми этот угол находится — 40 ° и 50 °.

Отнимает меньшее число от большего и полученный результат делим на 10.

(0.766 — 0.642) ÷ 10 = 0.0124

теперь берем результат и умножаем на количество единиц в нашем угле, то есть 8.

0.0124 × 8 = 0.0992

И добавляем этот результат к наименьшему значению угла, в нашем случае это 40 °.

sin 48 = 0.642 + 0.0992 = 0.7412

Пример для cos:

Чтобы найти cos 34 ° надо сделать почти тоже самое — берем 30 ° и 40 °.

Отнимает меньшее число от большего и полученный результат делим на 10.

(0.866 — 0.766) ÷ 10 = 0.010

теперь берем результат и умножаем на количество единиц в нашем углу, то есть 4.

И отнимаем(!) этот результат от наибольшего значения угла, в нашем случае это 30°

cos 34 ° = 0.866 — 0.040 = 0.826

Ну и tan вычисляют просто деля cos A на sin A.

Этот способ является приблизительным и имеет погрешность, которая может повлиять на результат ваших вычислений.

Объясните, пожалуйста, от чего зависит отнимаем или прибавляем результат к числу

Давайте подарим ТСу «Таблицу Брадиса»))))

А ещё синусы малых углов (градусов до 10) примерно равны значению самих углов в радианах.

Работа в офисе⁠ ⁠

Про блогеров инстаграма⁠ ⁠

Иногда кажется, что их делают на одной фабрике.

Фразу про “поле” переписала слово в слово, даже придумывать не пришлось!

Если вспомним еще шаблонные фразы, могу нарисовать вторую часть!

В следующий раз хочу еще и с портретным сходством 🙂

Что такое счастье?⁠ ⁠

Это, когда вы живёте вместе уже 28 лет, всё о друг друге знаете, всё умеете. А она вам пятки больные диклофенаком мажет. А завтра приедут дети, и мы все снова будем сидеть и говорить, и выпивать, и говорить, и снова говорить. А она мне так и будет мазать пятки. А я ей крестец массировать. Ну и немного воротниковую зону, и спину, и поясничную. И просто, буду обнимать.И она меня. И мне больше ничего в этой жизни не нужно. Лишь-бы, только, длилось вечно. Любимая и дети.Что может быть прекраснее?

Не все герои носят плащи…⁠ ⁠

Проработал год в Пивной Лавке. Тухлятина, люди это понимают, но ходят⁠ ⁠

Доброго времени суток, меня зовут Иван. Последний год я отдал местной Уральской сети разливаек Пивлавка (она же ПЛ, Пивная лавка). Сеть насчитывает около 40 магазинов в Екатеринбурге и городах спутник.

Чем дольше я находился в компании, тем больше не понимал как эта адская компания по спаиванию населения работает 24 на 7, при этом не имея ни одного официального сотрудника, трудовая инспекция ГДЕ ЖЕ ТЫ?

Если брать по срокам, просрочено до трети пива. Если брать рекомендуемый срок разлить за 5 дней после подключения то уже больше половины. Если смотреть на температуру хранения, то просроченно абсолютно всë, кроме сладких алк. напитков. Загадка, которую я ещё не могу разгадать, зачем компания пихает в магазины пиво, которое по сроку выходит сегодня-завтра, и не одну кегу, а сразу по 2-5, я отказываюсь это понимать.

Аналогично я не понимаю зачем нам 40 видов пива, кранов 30. То есть продавца вынуждают ждать, когда что то закончится, пока это кончается, пиво благополучно тухнет в кегераторе ожидая свободного крана. 3е моё недопонимание зачем везти так много, чем больше везут, тем больше тухнет, это бомбило меня больше всего, кегератор ломится от тонн пива, по срокам ему и так плохо, но вы привозите ещё дохилиард кег, которые будут тухнуть, пока подключенное тухлое пиво наконец купят.

Пивная лавка просто не даëт шанса пиву быть свежим, ведь новая партия ждёт когда вы купите просроченное, паралельно становясь несвежим с каждым днëм и это адский круг.

Рыба.
Проработав год, я благодарен ПЛ за скил изучения десятков видов рыбы, хотя на рыбалке был пару раз за 5 лет. С рыбой повторяется всë тот же адский круг, пока продаем тухлую, свежая либо лежит под несвежей, либо в коробках, параллельно начиная портиться. А, вообще, я скажу очень сложно найти свежую копченую\вяленую рыбу, в Перекрëстоке, там не лучше, в Рыбный 1 (местная специализированная сеть по рыбе) — не сильно лучше. Но то что творится в пивлавке это мрак, рыба не списывается до тех пор, пока не покроется всеми видами плесени, выделений и слизи, либо иссыхая до состояния археологической находки.

Тара не тарится. Если по сыру и сухарям вы переплачиваете 5-10 рублей, то на сухой рыбе за 1500 переплата за тару уже10-40 рублей. СРОКА ГОДНОСТИ НЕТ. Даже если она стоит, то не волнуйтесь, продавцы бережно меняют дату в среднем раз в неделю на новую. Если нет плесени и сильно не воняет, то оно будет перефасовываться вечность. Сыр вообще как правило просроченый уже на стадии фасовки приходит в негерметичных полиэтиленовых пакетах от непонятного ИПэшника. Санитарная книжка, что это такое, ни у кого её не было, и даже если бы была, то её при фейковом трудоустройстве по филькиным бумажкам не спрашивают.

PS. Пост имеет информативный характер, как его воспринимать — только ваше дело. Это не исповедь бывшего работника и уж тем более не месть работодателю. Я бы назвал это советом покупать заранее и не пользоваться услугами подобных сетей.

Ищу брата/сестру⁠ ⁠

Если тебе 43-44 года, отец подводник и в момент зачатия был на рейсе, а мать работала кладовщицей на военной базе Шамора (Владивосток, бухта Лазурная, 8км от станции Океанская) — возможно ты мой брат или сестра. Если так — напишите в комментариях. Предполагаемое имя мамы — Люба, Люда, Люся, Лида.

На старости лет отец начал выдавать порционно информацию о возможных родственниках. Просьба поднять в топ.

Не оправдала семейных надежд⁠ ⁠

Так ли это?⁠ ⁠

Сидел человек , гладил котика , никого не трогал⁠ ⁠

Новинка. ⁠ ⁠

Довели⁠ ⁠

Ответ на пост «Ситуации, когда человек строит из себя эксперта, не зная, что вы в этом деле профессионал»⁠ ⁠

Когда-то давно, в период моей учебы в университете, я очень эпично прокололась на этом.

Снимали мы тогда с подружкой квартиру, а так как компа и интернета у нас не было, ибо это были нулевые, то изрядную часть свободного времени я читала. Обычно брала книги в библиотеке, но в сьемной квартире был шкаф, забитый самой разной литературой — от медицинской до технической.

И как-то я решила полистать книгу по ядерной физике. Полистала да и полистала, в голове осело немного информации, вроде уравнения ядерных реакций. Хотя я гуманитарий гуманитарный.

Так вот, однажды вечером подружка пришла домой не сама, а с двумя молодыми людьми и немалым количеством алкоголя в виде легендарного портвейна. Один из парней был похож на классического гопника — небольшой, вертлявый, стрижка с челочкой, изобилующая матом речь. Не понравился он мне, в общем. И в момент изрядного алкогольного оьянения я зачем-то возьми да и поддень его — типа, дружище, а чем ты по жизни интересуешься вообще?
Он мне — да так, а ты?
Я — да всем понемногу. И в качестве несокрушимого аргумента нацарапала на листе бумаги уравнение тех самых ядерных реакций, которое уже и не вспомню.

Тут у парня загорелись глаза, улетучилось опьянение, он исправил в моем уравнении ошибку и до самого утра мы слушали его увлекательнейшую лекцию по ядерной физике, излагаемую грамотным языком. После чего такие лекции на всю ночь стали частыми, потому что это было нереально интересно.

Кто ж знал, что он уже на тот момент был совершенно упорот на физике, да и не только) Общались с ним много лет потом, он так и продолжил работать по профилю ядерной физики.

Расчет значения синуса простой математикой

Навязчивая идея посчитать синус угла, используя простые мат. операции появилась еще давно, и я, тихим вечером копаясь в Desmos’е, обнаружил сходство графика обычной функции-треугольника, возведенной в некоторую степень, с полу периодом синуса, тогда-то ко мне и пришло просветление!

Начало

Для начала была создана та самая функция с периодом в, которая должна в дальнейшем станет нашей синусоидой:

Результат деления с остатком имеет диапозон , что не соответствует диапазону значений синуса , так что делим результат на , что дает нам необходимый диапазон , который в дальнейшем позволит нам получить необходимую форму графика.

После приведения диапазона к необходимому виду — превращаем функцию к необходимой форме треугольника. Для этого необходимо вычесть из нее единицу и взять модуль от получившегося числа.

Сходство

На выше приведенном изображении можно увидеть 2 графика:
Зеленый — синус
Красный — наша функция ( функция инвертирована ), возведенная в степень 1.7, подобранную методом тыка.

После сопоставления графиков отлично видно их сходство. Из-за сходства сложно разглядеть график синуса, так сильно они сходятся с подобранной степенью.

Знак периода

Нашей функции не хватает знака периода. его очень просто получить, используя то же самое деление с остатком:

Ее период не совпадает с необходимым, так что инвертируем ее:

И получим ее знак, используя функцию калькулятора:

Получаем следующий график:

Теперь умножим нашу функцию-«недосинус» на функцию знака:

Получаем следующий график:

Уже очень похоже, но не то. Нужно избавиться от магической константы 1.7.

Магическая константа

Особо заморачиваться на станем. Просто выдернем необходимый кусок функции и найдем необходимую степень через логарифм:

Таким образом считаем значение магической константы. Дадим имя константе, например .

Таким образом наша функция стала выглядеть следующим образом:

И отличие от графика «калькуляторного» синуса стало совсем незаметно на графике.

Погрешность

Данная формула имеет незначительную погрешность относительно «калькуляторной». Стоит ее посчитать.

Для подсчета возьмем угол 45 градусов, поскольку именно при таком значении наблюдается наибольшая погрешность.

Для измерения погрешности просто посчитаем расстояние от точек на окружностях, нарисованный с помощью «калькуляторного» синуса и нашей формулы.

Получаем следующее значение:

Погрешность крайне мала, потому, считаю, ей можно пренебречь.

Заключение

Создание данной функции не было подкреплено каким-либо поводом. Она была создана исключительно в целях саморазвития и утешения внутренней навязчивой идеи.