Что такое нормальная подгруппа

Нормальная подгруппа и факторгруппа

Элемент группы далеко не всегда перестановочен с другими элементами этой группы. Легко видеть, что множество всех элементов группы, перестановочных с каждым элементом группы, является подгруппой. Введем название для этой подгруппы.

Определение 1.12. Множество всех элементов группы G, перестановочных с каждым ее элементом, называется центром группы и обозначается C(G).

Таким образом, C(G) = <с е G | Vg е G cg = gc>. Понятно, что абелева группа совпадает со своим центром. В группе S₃ центр является единичной подгруппой.

Если Я — C(G), то для любого элемента g е G имеет место равенство gH = Hg. Введем обобщающее понятие.

Определение 1.13. Подгруппа Я группы G называется нормальной, если она перестановочна с любым элементом группы, т.е. gH = Hg для любого g е G.

Обозначение: Н =4 G. Читается: Я — нормальная подгруппа группы G.

Равенство gH = Hg совсем не означает, что gh = hg для любого h е Я. Оно означает лишь, что для любого элемента gh е gЯ существует элемент h_x е Я, такой что gh = h^g. Например, в равенстве (12)Л₃ = Л₃(12) левая часть есть множество

а правая часть есть множество

Видим, что (12) • (123) = (13) = (132) • (12), и это демонстрирует равенство gh = h^g при g = (12), h = (123), Я_г = (132).

1. В коммутативной группе всякая подгруппа нормальна.
2. В любой группе единичная подгруппа и сама группа нормальны.
3. Центр группы C(G) является нормальной подгруппой.
4. В группе S₃ возьмем подгруппу Н_х всех подстановок, оставляющих символ 1 на месте. Тогда Н_х не является нормальной подгруппой, так как (12) • Н_х * Н₁? (12).
5. Докажем, что А_п =4 S_nдля любого п. Пусть g е S_n. Если g — четная подстановка, то gA_n= А_п= A_ng. Пусть g — нечетная подстановка. Тогда смежный класс gA_nсостоит из нечетных подстановок и всякая нечетная подстановка содержится в gA_n(докажите). Следовательно, разложение группы S_nна левые смежные классы по подгруппе А_пимеет вид S_n=А_пи gA_n. Аналогично получаем разложение группы S_nна правые смежные классы: S„ = A_n u A_ng. Отсюда делаем вывод, чтоgA_n=A_ng. Следовательно, А_п =4 S_n.

Замечаем, что в этом доказательстве решающую роль сыграло то обстоятельство, что |S„ : А„| = 2. Докажем, что в произвольной группе подгруппа Н индекса 2 является нормальной. В самом деле, по условию, для любого g е G имеем G = HugH = Hu Hg. ОтсюдаgH = Hg. Следовательно, Н ^4 G.

Чтобы сформулировать критерий нормальной подгруппы, введем одно новое понятие, играющее в теории групп важную роль.

Определение 1.14. В группе G элемент а е G называется сопряженным с элементом Ъ е G, если существует элемент# е G, такой что а = g

Теорема 1.9 (критерий нормальной подгруппы). Подгруппа Н группы G является нормальной тогда и только тогда, когда она вместе с каждым своим элементом содержит и всякий сопряженный с ним элемент:

Доказательство. (=>) Пусть H^.GnheH,geG. Докажем, что g

^hg е Н. Используя определение нормальной подгруппы, получаем hg е Hg = gH. Следовательно, существует элемент h] е Я, такой что hg = gh₁. Отсюда g^hg = h_: е Н.

( y hg е Н. Докажем, что gH = Hg. Произвольный элемент из Hg имеет вид hg, где he Н. Имеем: hg = g ? g- l hg = g^ е gH, где g-‘hg = hj e e H. Следовательно, Hg c gH. Аналогично доказывается обратное включение. Таким образом, gH = Hg для любого g е G, т.е. Н 4 G.

Рассмотрим примеры.

1. С использованием критерия нормальной подгруппы совсем просто доказывается нормальность подгруппы четных подстановок А_п в группе всех подстановок п символов S_n. В самом деле, если а е А,„ то для любой подстановки 5 е S„ подстановка s _1 as является четной, а значит, принадлежит А, Следовательно, А_п =4 S_n.
2. Докажем, что в группе G = GL_n(M) обратимых квадратных матриц порядка п над полем R подгруппа Я, состоящая из матриц с определителем, равным единице, является нормальной. Пусть матрица Л е Я, это значит, что ее определитель |А| =1. Для любой матрицы В е G имеем

Следовательно, В^АВ е Н и Н =4 G.

Теорема 1.10. Пересечение двух нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть Н_г и Я₂ — нормальные подгруппы группы G и Я=Н± п Я₂. По теореме 1.2 Я есть подгруппа группы G. Для любых h е Н и g е G имеем g

Нормальная подгруппа

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, у которой левый и правый смежные классы совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Содержание

Определения

Подгруппа группы называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента из и любого из , элемент :

$N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, g\in G \,$ $gng^<-1>\in<N>» width=»» height=»» /></p> <p>Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:</p> <ol> <li>Для любого <img decoding=$ из , $gNg^<-1>\sube N» width=»» height=»» />.</li> <li>Для любого <img decoding=$ из , в совпадают.
Для любого из , .

— объединение классов сопряженных элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

$\< e \>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ — всегда нормальные подгруппы . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа называется простой.

— нормальная подгруппа.

группы — нормальная подгруппа.

Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

Все подгруппы абелевой группынормальны, так как . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

В группе кубика Рубика, подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

Нормальность сохраняется при сюрьективныхгомоморфизмах и взятии обратных образов. — нормальная подгруппа.

Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.

Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.

Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если — наименьший простой делитель порядка, то любая подгруппа индекса нормальна.

Если — нормальная подгруппа в , то на множестве левых (правых) смежных классов можно ввести групповую структуру по правилу

нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах .

§ 10. Нормальные подгруппы

О п р е д е л е н и е. Подгруппа некоторой группы называется нормальной подгруппой, если она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Иными словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого элемента g из G элемент gag −1 содержится в N.

Таким образом, подгруппа вращений является нормальной подгруппой в группе симметрий треугольника, а подгруппа отражений относительно высоты, опущенной из вершины A на сторону BC (состоящая из двух элементов), нормальной подгруппой группы симметрий треугольника не является.

99. Докажите, что в коммутативной группе всякая подгруппа является нормальной подгруппой.

100. Является ли нормальной подгруппой группы симметрий квадрата подгруппа центральных симметрий, состоящая из элементов (примеры 3, 4, стр. 17 – 18 )?

Те о р е м а 2. Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое

и правое разложения (см. § 8) группы G по подгруппе N совпадают *) .

101. Доказать сформулированную теорему.

102. Пусть n — порядок группы G, m — порядок подгруппы H и m = n/2. Доказать, что H является нормальной подгруппой группы G.

103. Доказать, что пересечение (см. сноску на стр. 28 ) любого числа нормальных подгрупп некоторой группы G является нормальной подгруппой группы G.

104. Множество элементов группы G, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы G. Доказать, что центр — подгруппа и, более того, нормальная подгруппа группы G.

105. Пусть N 1 и N 2 — нормальные подгруппы соответственно в группах G 1 и G 2 . Доказать, что N 1 × N 2 — нормальная подгруппа в группе G 1 × G 2 .

Следующий пример показывает, что нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы G может не быть нормальной подгруппой самой группы G.

П р и м е р 11. Рассмотрим подгруппу группы симметрий квадрата, состоящую из отражений относительно диагоналей и центра (см. примеры 3, 4, стр. 17 – 18 , подгруппа ). Эта подгруппа содержит половину элементов группы симметрий квадрата и является поэтому

нормальной подгруппой в ней (см. 102). Подгруппа , состоящая из отражений относительно одной из диагоналей, содержит половину элементов подгруппы и является, следовательно, нормальной подгруппой в ней. С другой стороны, подгруппа не является нормальной подгруппой всей группы симметрий квадрата, так как при внутренних автоморфизмах d переходит в отражение

*) В этом случае получающееся разложение будет называться просто разложением по нормальной подгруппе.

относительно другой диагонали: bdb −1 = f.

§ 11. Факторгруппы

Начнем с примера. Рассмотрим разложение группы симметрий квадрата по нормальной подгруппе, состоящей из центральных симметрий e и a (см. примеры 3, 4, стр. 17 – 18 ). Легко получить, что разложение нашей группы на 4 смежных класса имеет вид, указанный в табл. 2 .

Та б л и ц а 2 Обозначим каждый смежный класс ка- кой-нибудь буквой, например, E, A, B, C.

Если умножить любой элемент из клас-

са A на любой элемент из класса B, то

результат оказывается в одном и том же классе C независимо от того, какие именно элементы классов A и B взяты. Из решения следующей задачи вытекает, что это не случайно.

106. Пусть есть разложение группы G по нормальной подгруппе N, и пусть элементы x 1 и x 2 лежат в одном смежном классе и элементы y 1 и y 2 также лежат в одном смежном классе. Доказать, что элементы x 1 y 1 и x 2 y 2 лежат в одном смежном классе.

Таким образом, взяв по представителю из двух смежных классов и перемножив их в определенном порядке, мы попадем в смежный класс, который не будет зависеть от того, каких именно представителей мы выбрали. Следовательно, при разложении группы по нормальной подгруппе N на множестве смежных классов можно определить бинарную операцию следующим образом: если A = xN, B = yN, то положим A · B = (xy)N. Результат задачи 105 показывает, что эта операция определена однозначно и не зависит от выбора элементов x и y, порождающих смежные классы A

и B. Так, в рассмотренном выше примере A · B = C.

В задачах 107–109 речь идет о разложениях по нормальной подгруппе.

107. Пусть T 1 , T 2 , T 3 — смежные классы. Доказать, что

(T 1 T 2 )T 3 = T 1 (T 2 T 3 ).

108. Пусть нормальная подгруппа обозначена буквой E. Доказать, что ET = T E = T для любого смежного класса .

109. Доказать, что для любого смежного класса T найдется класс T −1 такой, что T T −1 = T −1 T = E.

Из утверждений задач 107–109 следует, что множество смежных классов с описанной выше бинарной операцией образует группу. Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе N и обозначается G/N.

Очевидно, что G/ G и G/G <>. Очевидно так-

же, что порядок факторгруппы равен натуральному числу n/m, где n — порядок группы G, а m — порядок нормальной подгруппы N. Например, факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий содержит 4 элемента.

110. Выяснить, будет ли факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий изоморфна группе вращений квадрата или группе симметрий ромба.

111. Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы *) по ним в следующих группах: а) группа симметрий

треугольника, б) Z 2 × Z 2 , в) группа симметрий квадрата, г) группа кватернионов (стр. 125 ).

112. Описать все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним для групп: а) Z n , б) Z.

113. Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним в группе вращений тетраэдра.

114. В прямом произведении групп G 1 × G 2 рассмотрим подгруппу G 1 × . Доказать, что это нормальная подгруппа и что факторгруппа по ней изоморфна группе G 2 .

§ 12. Коммутант

Напомним, что два элемента a и b группы G называются

перестановочными (или коммутирующими), если ab = ba. Степень некоммутативности двух элементов группы можно измерять с помощью произведения aba −1 b −1 , которое равно единице тогда и только тогда, когда a и b перестановочны (докажите).

О п р е д е л е н и е. Элемент aba −1 b −1 называют коммутатором элементов a и b. Коммутантом K(G) группы G

называется множество всевозможных произведений конечного числа коммутаторов группы G.

*) В дальнейшем найти факторгруппу означает указать какуюлибо группу, рассмотренную ранее, которой искомая факторгруппа изоморфна.

115. Доказать, что коммутант является подгруппой.

116. Доказать, что коммутант является нормальной подгруппой группы.

117. Доказать, что коммутант совпадает с единичной подгруппой тогда и только тогда, когда группа коммутативна.

118. Найти коммутант в группах: а) симметрий треугольника, б) симметрий квадрата, в) в группе кватернионов (стр. 125 ).

119. Доказать, что коммутант в группе симметрий правильного n-угольника изоморфен группе Z n при n нечетном

и группе Z n/2 при n четном.

120. Найти коммутант в группе вращений тетраэдра.

121. Доказать, что если нормальная подгруппа в группе вращений или в группе симметрий тетраэдра содержит хотя бы одно вращение вокруг оси, проходящей через вершину, то она содержит всю группу вращений тетраэдра.

122. Найти коммутант в группе симметрий тетраэдра. Рассмотрим еще 2 группы: группу вращений куба и груп-

пу вращений правильного октаэдра (рис. 7 ).

123. Сколько элементов в каждой из этих групп? Перечислить элементы группы вращений куба.

124. Доказать, что группы вращений куба и октаэдра изоморфны.

125. Сколькими различными способами можно закрасить грани куба 6 цветами (каждую грань своим цветом), если различными считаются раскраски, которые нельзя совместить друг с другом вращением куба? Тот же вопрос для спичечного коробка.

алгебра — Нормальная подгруппа

Элементы группы диэдра бывают двух типов: повороты и осевые симметрии. Первые не меняют ориентацию плоскости, а вторые меняют. Поэтому произведение поворота и осевой симметрии всегда является осевой симметрией.

Пусть $%h$% — поворот, и $%g\in D_n$% — произвольный элемент. Если $%g$% тоже поворот, то $%g^<-1>hg=h$%, так как любые два поворота коммутируют. Если $%g$% — осевая симметрия, то $%g^2=e$% и $%(gh)^2=e$%, так как $%gh$% — тоже осевая симметрия. Отсюда $%g^<-1>hg=ghg=h^<-1>$%, то есть в любом из случаев имеет место равенство $%g^<-1>hg=h^<\pm1>$%.

Из сказанного следует, что любая подгруппа $%H$%, состоящая из поворотов, нормальна в $%D_n$%. Таких подгрупп столько же, сколько подгрупп в циклической группе $%\mathbb Z_n$%, и их количество равно числу натуральных делителей $%n$%. Если $%a$% — это поворот на угол $%\frac<2\pi>n$%, то все подгруппы рассматриваемого типа цикличны и имеют вид $%H=\langle a^d\rangle$%, где $%d|n$%.

Теперь рассмотрим подгруппы, состоящие не только из поворотов, то есть такие, которым принадлежит хотя бы одна осевая симметрия. Здесь нужно отдельно рассмотреть случаи нечётного и чётного $%n$%.

Если $%n$% нечётно, то все осевые симметрии устроены одинаково: ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Все такие симметрии сопряжены в группе диэдра, так как их оси переходят друг в друга при помощи поворотов. Нормальная подгруппа $%H$%, содержащая хотя бы одну из осевых симметрий, должна содержать все такие симметрии. Тогда она совпадает с $%D_n$%, что достаточно очевидно.

Пусть теперь $%n$% чётно. Здесь оси симметрий могут быть двух типов. В одном случае ось проходит через две диаметрально противоположные вершины. В другом случае она проходит через середины противоположных сторон. Как и в предыдущем случае, симметрии каждого из двух типов сопряжены в $%D_n$%, хотя симметрии первого типа не сопряжены симметриям второго типа. Если нормальная подгруппа $%H$% содержит симметрии обоих типов, то она содержит их все, и совпадает со всей группой. Поэтому рассматриваем два подслучая.

В одном из них $%H$% содержит все симметрии только первого типа. Композиция двух симметрий первого типа с «соседними» осями даёт поворот на угол $%\frac<4\pi>n$% (это удвоенный угол между осями); это элемент $%a^2$%. Поэтому пересечение с подгруппой поворотов есть циклическая подгруппа порядка $%n/2$%, порождённая элементом $%a^2$%. Легко видеть, что все повороты не могут принадлежать такой подгруппе, при наличии осевых симметрий, так как подгруппа всех поворотов имеет индекс 2.

Таким образом, получается подгруппа индекса 4, состоящая из всех поворотов на углы, кратные $%\frac<4\pi>n$%, а также осевых симметрий первого типа. Аналогично, рассматривая второй подслучай и беря осевые симметрии второго типа, мы получаем ещё одну нормальную подгруппу индекса 4. Это даёт полное описание.

Читать:
Как отключить рекламу на сайте wordpress