Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней

7.2. Построение доверительного интервала для оценки среднего значения генеральной совокупности

Чтобы найти границы доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности необходимо выполнить следующие действия:

1) по полученной выборке объема n вычислить среднее арифметическое и стандартную ошибку среднего арифметическогопо формуле:

;

2) задать доверительную вероятность 1 – α, исходя из цели исследования;

3) по таблице t-распределения Стьюдента (Приложение 4) найти граничное значение t_α в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 1;

4) найти границы доверительного интервала по формуле:

.

Примечание: В практике научных исследований, когда закон распределения малой выборочной совокупности (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для приближенной оценки доверительных интервалов.

Доверительный интервал при n ≥ 30 находится по следующей формуле:

,

где u_ – процентные точки нормированного нормального распределения, которые находятся по таблице 5.1.

8. Порядок работы на V этапе

1. Проверить на нормальность распределения малую (n < 30) выборку, составленную из разностей парных значений результатов измерений исходного показателя скоростных качеств у «спортсменов» (эти результаты обозначены индексом В) и показателя, достигнутого после двухмесячных тренировок (эти результаты обозначены индексом Г).

2. Выбрать критерий и оценить эффективность метода тренировки, используемого для ускоренного развития скоростных качеств у «спортсменов».

3. Рассчитать и графически построить на числовой прямой доверительные интервалы генеральных средних арифметических выборок В и Г.

Отчет о работе на V этапе игры (образец)

Тема: Оценка эффективности методики тренировки.

Ознакомиться с особенностями нормального закона распределения результатов тестирования.

Приобрести навыки по проверке выборочного распределения на нормальность.

Приобрести навыки оценки эффективности методики тренировки.

Научиться рассчитывать и строить доверительные интервалы для генеральных средних арифметических малых выборок.

Сущность метода оценки эффективности методики тренировки.

Нормальный закон распределения. Сущность, значение.

Основные свойства кривой нормального распределения.

Правило трех сигм и его практическое применение.

Оценка нормальности распределения малой выборки.

Какие критерии и в каких случаях используются для сравнения средних попарно зависимых выборок?

Что характеризует доверительный интервал? Методика его определения.

Вариант 1: критерий параметрический

Примечание: В качестве примера возьмем приведенные в таблице 5.2 результаты измерения показателя скоростных качеств у спортсменов до начала тренировок (они обозначены индексом В, были получены в результате измерений на I этапе деловой игры) и после двух месяцев тренировок (они обозначены индексом Г).

От выборок В и Г перейдем к выборке, составленной из разностей парных значений d_i = N_i Г – N_i В и определим квадраты этих разностей. Данные занесем в расчетную таблицу 5.2.

Таблица 5.2 – Расчет квадратов парных разностей значений d_i 2

N_i В , уд

N_i Г , уд

d_i = N_i Г – N_i В , уд

8. Статистические оценки параметров генеральной совокупности.
Доверительный интервал и доверительная вероятность

Вспомним первый урок по теме (там же внизу оглавление) и основной метод математической статистики. Он состоит в том, что для изучения генеральной совокупности объёма из неё производится выборка, состоящая из элементов, которая хорошо характеризует всю совокупность (свойство представительности). И на основании исследования этой выборочной совокупности мы с высокой достоверностью можем оценить генеральные характеристики. Чаще всего требуется выявить закон распределения генеральной совокупности (о чём пойдёт речь позже) и оценить его важнейшие числовые параметры, такие как генеральная средняя , генеральная дисперсия и среднее квадратическое отклонение .

Очевидно, что для оценки этих параметров нужно вычислить соответствующие выборочные значения. Так, выборочная средняя позволяет нам оценить генеральную среднюю , причём, оценить её точечно. Почему точечно? Потому что – это отдельно взятое, конкретное значение. Если из той же генеральной совокупности мы будем проводить многократные выборки, то в общем случае у нас будут получаться различные выборочные средние, и каждая из них представляет собой точечную оценку генерального значения .

Аналогично, несмещённой точечной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия , и соответственно, стандартного отклонения – исправленное стандартное отклонение .

…что-то не понятно / недопонятно в терминах? Срочно изучать предыдущие уроки!

Недостаток точечных оценок состоит в том, что при небольшом объёме выборки (как оно часто бывает), мы можем получать выборочные значения, которые далеки от истины.
И в этих случаях логично потребовать, чтобы выборочная характеристика (средняя, дисперсия или какая-то другая) отличалась от генерального значения не более чем на некоторое положительное значение . А точнее, менее.

Справка: – греческая буква «тета», – греческая буква «дельта».

Значение называется точностью оценки, и озвученное выше требование можно записать с помощью модуля:

Обозначение: точность оценки также обозначают через («эпсилон»).

Но статистические методы не позволяют 100%-но утверждать, что рассчитанное значение будет удовлетворять этому неравенству – ведь в статистике всегда есть место случайности, когда мы можем «выиграть в лотерею» в плохом смысле этого слова. Таким образом, можно говорить лишь о вероятности , с которой это неравенство осуществится: .

А теперь я раскрою модуль:

и сформулирую суть:

Интервал называется доверительным интервалом и представляет собой интервальную оценку генерального значения по найденному выборочному значению . Данный интервал с вероятностью «накрывает» истинное значение . Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки

Надёжность «гамма» часто задаётся наперёд, популярные варианты

На данном уроке будут рассмотрены:

• доверительный интервал для… – заголовок параграфа в поле зрения; – быстрая ссылка для опытных читателей.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней
нормально распределённой генеральной совокупности

И мы сразу разберём распространённую и «заезженную» задачу, которую предлагают даже студентам-гуманитариям:

…да-да, пример уже 21-й!

Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если выборочная средняя , а объем выборки .

Внимание! Важное замечание: если в задаче указан тип выборки (повторная / бесповторная), то решение будет иметь свои особенности – читайте 10-ю статью об оценках по повторной и бесповторной выборке.

А теперь принципиальный момент непосредственно по задаче:

здесь известно стандартное отклонение генеральной совокупности.

Дело в том, что в похожих задачах оно бывает не известно, и тогда решение будет отличаться!

Но сейчас решение таково, разбираемся в ситуации:

– из генеральной совокупности попугаев проведена выборка в особей и по её результатам найдена выборочная средняя: (средняя масса попугая, например).

Выборочная средняя – это точечная оценка неизвестной нам генеральной средней . Как отмечалось выше, недостаток точечной оценки состоит в том, что она может оказаться далёкой от истины. И по условию, требуется найти интервал , которой с вероятностью накроет истинное значение .

Именно так! Здесь будет неверным сказать, что попадёт в этот интервал.

Решаем. Точность оценки рассчитывается по формуле , где – коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения , где – функция Лапласа.

В данном случае , следовательно:

И по таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным макетом (пункт 5*), выясняем, что значению соответствует аргумент .

Таким образом, точность оценки:

и искомый доверительный интервал:

Этот интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение среднего веса попугая. Но всё же остаётся 5%-ная вероятность, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.

Ответ: .

И тут возникает светлая мысль уменьшить этот интервал – чтобы получить более точную оценку. Что для этого можно сделать? Давайте посмотрим на формулу .

Очевидно, что чем меньше стандартное отклонение (мера разброса значений), тем короче доверительный интервал. Но это в отдельно взятой задаче ни на что не влияет – ведь нам известно конкретное значение , и изменить его нельзя.

Поэтому для уменьшения «дельты» можно уменьшить коэффициент доверия, например, вместо рассмотреть и тогда: , и доверительный интервал действительно станет в 2 раза короче. Но засада в том, что упадёт и доверительная вероятность:

, то есть о том, что этот более узкий интервал накроет генеральную среднюю, мы теперь можем утверждать лишь с вероятностью 68,26%. Что, конечно, неудовлетворительно, для серьёзного статистического исследования.

Поэтому для уменьшения доверительного интервала (при том же значении ) остаётся увеличивать объём выборки . Что совершенно понятно и без формулы , ведь чем больше объём выборки, тем точнее она характеризует генеральную совокупность (при прочих равных условиях). Об объёме мы поговорим на уроке об оценках по повторной и бесповторной выборке, ну а пока продолжаем.

Творческая задача для самостоятельного решения:

По результатам выборочного исследования объектов найдена выборочная средняя .

1) С какой вероятностью можно утверждать, что генеральная средняя отличается от найденного значения менее чем на 3, если известно, что генеральная совокупность распределения нормально с дисперсией 400?

2) Определить доверительный интервал, который с надежностью накроет истинное значение генеральной средней.

Расчётный макет (пункты 5 и 5*) – в помощь. Краткое решение в конце урока.

И тут, наверное, у вас назрели вопросы – а откуда известно, что генеральная совокупность распределена нормально, и тем более, откуда известно её стандартное отклонение?

Обычно эта информация известна из предыдущих исследований. Классический пример – измерительный прибор. Очевидно, что его случайные погрешности удовлетворяют условию теоремы Ляпунова, а значит, распределены нормально. Кроме того, производитель, как правило, тестирует прибор, и указывает в его паспорте стандартное отклонение случайных погрешностей измерений, которое можно принять за .

Но если установить нормальность распределения достаточно просто (в том числе статистическими методами), то с генеральным значением всё сложнее – зачастую вычислить его трудно или невозможно.

В такой ситуации остаётся ориентироваться на исправленное стандартное отклонение , и решение несколько изменится. Ещё одна классическая задача, которая уже встретилась ранее:

В результате 10 независимых измерений некоторой величины , выполненных с одинаковой точностью, полученные опытные данные, которые представлены в таблице:

Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины при помощи доверительного интервала, покрывающего это значение с доверительной вероятностью 0,95.

Не путать со случайными ошибками измерительного прибора! Здесь речь идёт об измерениях и помимо технических, велико влияние других, в частности, человеческого фактора, особенно, если вы используете махрово-аналоговый прибор – что-нибудь вроде механического секундомера или линейки.

Решение следует начать с вычисления выборочных характеристик, и задача облегчается тем, что в Примере 13 они уже вычислены: и . По условию, требуется оценить генеральную совокупность (а именно, параметр ), и поэтому дисперсию нужно обязательно поправить:
– несмещённая оценка неизвестной генеральной дисперсии . И нас будет интересовать несмещённая оценка генерального стандартного отклонения :

Теперь построим доверительный интервал для оценки истинного (генерального) значения величины .

Если генеральное стандартное отклонение не известно

(наш случай), то этот интервал строится по похожей формуле:

, с той поправкой, что коэффициент доверия рассчитывается с помощью распределения Стьюдента. В рамках курса теорвера я не рассказывал об этом распределении, и поэтому ограничусь технической стороной вопроса.

Значение можно найти с помощью таблицы значений распределения Стьюдента, в частности, популярна таблица, специально адаптированная для данной задачи*. И, согласно этой таблице, доверительной вероятности и объёму выборки соответствует коэффициент доверия:

* В стандартной же таблице приводятся значения для так называемого уровня значимости и числа степеней свободы .

Другой, более универсальный способ – воспользоваться калькулятором, и чтобы далеко не ходить, я добавил этот функционал в расчётный макет: ищем Пункт 10б, забиваем значения , и получаем «на выходе» .

Вычислим точность оценки:

Таким образом, искомый доверительный интервал:

– данный интервал с вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины .

Ответ:

Для самостоятельного решения:

На основании испытаний установлено, что в среднем для изготовления шавермы полупроводникового диода требуется секунд, а исправленное среднее квадратическое отклонение составляет секунд. Предположив, что время изготовления диода есть нормальная случайная величина, определить с надежностью доверительный интервал для оценки среднего времени изготовления диода

Краткое решение и ответ в конце урока – расчётный макет (Пункт 10б) – в помощь.

Итак, что главное в разобранных задачах? Главное, обратить внимание, генеральное ли нам дано отклонение или исправленное выборочное . От этого зависит, какую формулу нужно использовать, эту:
, где ,
или эту:
, где отыскивается с помощью распределения Стьюдента.

Некоторые коварные авторы (вроде меня) могут предложить и «простое» выборочное отклонение , и тогда его следует поправить по формуле: , которая следует из соотношения дисперсий: . Иногда бывает предложена и дисперсия (та или иная). И поэтому именно здесь нужно проявить аккуратность, сами же вычисления достаточно примитивны.

И ещё один момент: при увеличении объёма выборки , распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, и поэтому уже при (2-й случай) допускается нахождение с помощью того же соотношения . Но я бы не рекомендовал так делать. Потому что если дано , то предполагается, что решать нужно именно через «Стьюдента», и при наличии Экселя с этим никаких проблем – можно рассчитать любые значения, которые отсутствуют в таблицах.

И быстренько более редкая задача:

Доверительный интервал для оценки
генеральной дисперсии и стандартного отклонения

Этот интервал можно построить несколькими способами, которые я постараюсь уместить буквально в пару экранов. И сейчас последует продолжение той же задачи об измерениях:

По равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения (генерального стандартного отклонения) с надёжностью .

Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не обязательно знать выборочную среднюю (хотя в Примере 23 мы её нашли).

Способ первый. Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности определяется следующим образом (не пугаемся):
, где – распределение «хи-квадрат» (ещё один скелет в шкафу:)), а , – его критические значения, вычисленные для ,

Данный интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное значение . И если из всех частей неравенства извлечь корни, то получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения:

Значения известны, и осталось разобраться с нижним этажом. Во-первых, вычислим:

и теперь, по таблице критических значений распределения или с помощью расчётного макета (Пункт 11б) находим:

Обратите внимание, что получены различные значения, и наш доверительный интервал будет асимметричным (ввиду асимметрии распределения «хи-квадрат»):
– не забываем извлечь корни из знаменателей!
– таким образом, с вероятностью можно утверждать, что данный интервал накроет генеральное стандартное отклонение .

Как видите, интервал асимметричен относительно выборочного значения , и его широкий диапазон объясним малым объёмом выборки – велика вероятность, что при 10 измерениях полученное значение «эс» действительно далеко от истинного значения «сигма».

Способ второй. Другой, более простой подход состоит в построении симметричного интервала по формуле:
, где значение отыскивается по соответствующей таблице.

Согласно таблице, доверительной вероятности и объёму соответствует значение , таким образом:

В результате мы получили примерно такой же по размаху интервал. Для малых выборок может даже получиться , в таких случаях принимают ещё более грубую интервальную оценку:

Ответ: 1) , 2) .

Как и для распределения Стьюдента, при увеличении распределение хи-квадрат стремится к нормальному, и уже при можно использовать приближенную формулу:
, где коэффициент доверия определяется из знакомого лапласовского соотношения .

Иногда встречаются обратная задача – по известной точности оценки (т.е. известному интервалу) найти доверительную вероятность . Иногда требуется построить одностороннюю оценку. Но ввиду их исключительного «иногда», я передаю привет студентам Московского института статистики и продолжаю 🙂

Точнее завершаю, и ради исследовательского интереса предлагаю продолжить вам – экзаменационный Пример 20:

В результате обработки экспериментальных данных объёма мы получили следующие выборочные характеристики: .

В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью определить доверительные интервалы:

1) для оценки неизвестной генеральной средней ;

2) для оценки генерального среднего квадратического отклонения двумя способами – с помощью распределения хи-квадрат: и приближённо, по формуле , где .

И заметьте, что здесь «плакал» лёгкий способ построения интервала , так как в стандартной таблице отсутствуют значения для .

Краткое решение и примерный образец оформления в конце урока, который подошёл к концу. В следующей небольшой статье я разберу частную, но весьма популярную задачку по этой же теме – Оценка вероятности биномиального распределения, ну а если вам не терпится, то сразу к послеследующей статье.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 22. Решение:

1) По условию, точность оценки равна и дисперсия .
Из формулы найдём коэффициент доверия:

Вычислим соответствующую доверительную вероятность:
– таким образом, с вероятностью 86,64% можно утверждать, что генеральная средняя отличается от менее чем на (т.е. находится в доверительном интервале от 90 до 96)

2) Для доверительной вероятности :
– этому значению функции Лапласа соответствует аргумент: .
Вычислим точность оценки:

Определим доверительный интервал:

– данный интервал с вероятностью 99% накрывает истинное значение .

Пример 24. Решение: доверительный интервал для оценки истинного значения измеряемой величины имеет вид:

Для заданного уровня доверительной вероятности и количества степеней свободы по таблице распределения Стьюдента находим: .

Вычислим точность оценки:
сек.

Таким образом, искомый доверительный интервал:

– данный интервал с вероятностью 99,9% накрывает истинное значение среднего времени изготовления одного диода.

Пример 26. Решение: вычислим исправленное среднеквадратическое отклонение:

1) Определим доверительный интервал , где .
Для уровня доверительной вероятности и объёма выборки по соответствующей таблице найдём .
Вычислим точность оценки:

Таким образом:

– с вероятностью данный интервал накроет генеральное среднее значение .

2) Найдём доверительный интервал для генерального стандартного отклонения .

а) С помощью распределения :

Вычислим и с помощью соответствующей функции Экселя (Пункт 11б) найдём:

Таким образом:

– искомый интервал, накрывающий генеральное значение с вероятностью .

б) Дадим интервальную оценку приближенно, с помощью формулы:

Коэффициент доверия найдём из соотношения . В данном случае:
, и с помощью таблицы или расчётного макета (Пункт 5*), выясняем, что .
Таким образом:

– искомый интервал.

Ответ:
1) ,
2) с помощью распределения и приближённо.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней

1) , (3.24)

2) (3.25)

имеющая распределение Стьюдента c m = N-1, если величина X распределена нормально, а значение s[X] заранее неизвестно, но его оценка может быть получена из опытных данных при помощи формулы (3.23);

3) (3.26)

Напомним, что параметры распределений m являются числами степеней свободы. Кроме того здесь использованы обозначения: — cреднее арифметическое значение, — среднее квадратическое значение, равное корню квадратному из дисперсии, [X] — оценка среднего кадратического значения, определяемая как корень квадратный из несмещенной оценки дисперсии, N — объем выборки.

Построим доверительный интервал для математического ожидания при условии, что в нашем распоряжении имеются результаты N наблюдений нормально распределенной величины Х, а среднее квадратическое значение заранее известно из независимых наблюдений. Поскольку функция Z распределена нормально, можно использовать соответствующую таблицу для определения значения z_a, такого, что за пределами — z_a и + z_a остается часть площади под кривой распределения в сумме равная a, тогда как в пределах [- z_a,+ z_a] заключена часть площади, равная 1 — a . Только что сказанное соответствует следующему вероятностному утверждению:

Рa££+z_a >= 1-a. (3.27)

Рa>= 1 — a

. (3.29)

Ф(z) =

Построение доверительного интервала.

Примером интервальной оценки является доверительный интервал. Доверительный интервал — это отрезок, центром которого является точечная оценка числовой характеристики, включающий истинное значение данной числовой характеристики с заданной вероятностью. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. Таким образом, доверительный интервал является мерой точности оценки, а доверительная вероятность характеризует достоверность оценки. Размер доверительного интервала зависит от того, каким значением доверительней вероятности задается экспериментатор. Чем больше доверительная вероятность, тем шире должен быть интервал, чтобы с заданной вероятностью включать в себя истинное значение числовой характеристики. В практической деятельности часто выбирают значение доверительной вероятности Р_д = 0,95, полагая таким образом, что это значение достаточно велико, чтобы считать, что доверительный интервал «практически всегда» накрывает истинное значение. Только иногда, в случае ответственных и очень ответственных исследований полагают Р_д = 0,99 и 0,999 соответственно.

Процедура построения доверительного интервала включает в себя два этапа:

• 1) записывается вероятностное утверждение относительно некоторой случайной функции, включающей в себя разность или отношение оценки и числовой характеристики. Такая функция несет информацию о степени близости этих величин. Необходимо, чтобы закон распределения упомянутой функции был известен;
• 2) вероятностное утверждение преобразуется к виду, при котором границы доверительного интервала числовой характеристики представлены в явном виде.

Примерами функций с известным распределением, которые удовлетворяют необходимым требованиям, являются следующие:

имеющая нормальное распределение;

имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы т = N-1;

имеющая распределение Пирсона % 2 с числом степеней свободы т = N — 1.

Здесь использованы обозначения: х — среднеарифметическое зна-

чение X; 2 [Х] — дисперсия X; С 2 [Х] — несмещенная оценка дисперсии, вычисляемая по формуле (1.14); а[Х] — среднее квадратическое отклонение (СКО), равное корню из дисперсии; о[Х] — оценка СКО, равная корню из 0 2 [Х]; N — объем выборки.

Построим доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии. Поскольку функция (1.17) распределена нормально, можно использовать соответствующую таблицу для определения значения Z_a, такого что за пределами -Z_a и +Z_a остается часть площади, равная а, тогда как в пределах [-Z_a , +Z_a] заключена часть площади, равная 1 — а (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Доверительный интервал при уровне значимости а

Приведенное выше положение можно записать в виде следующего вероятностного утверждения:

(вероятность выполнения неравенства, заключенного в фигурных скобках, равна 1 — а).

Преобразуем выражение в фигурных скобках: или

Величина 1 — а определяет доверительную вероятность Р_д: 1 — а = Р_д. Значению вероятности Р_д соответствует доверительный интервал, который для оценки М[Х], выраженной посредством х, задается нижним у V вШ — о[Х]

X-Z_a ,— и верхним X + Z_a ,— пределами соответственно. Таким л/ N л/N

образом, интервальная оценка задается выражением

Замечание. Таблицы нормального распределения в разных книгах строятся неодинаково. В справочниках приводится таблица

Ф₀Ос) = J/(x)dx. Ее можно использовать для наших целей, если поло- о

жить а = 1 — 2Ф₀(х), Z_a = х. Неудобств, связанных с проведением промежуточных расчетов, можно избежать, воспользовавшись табл. 1.1.

Вероятности /_ц при различных значениях а (нормальное распределение)