Как найти точку ферма

Точка Ферма — Fermat point

В геометрии , то точка Ферма из треугольника , которая также называется точкой Торричелли или точкой Ферма-Торричелли , является точкой , так что общее расстояние от трех вершин треугольника до точки является минимально возможным. Он назван так потому, что эта проблема была впервые поднята Ферма в частном письме Евангелисте Торричелли , который решил ее.

Точка Ферма дает решение задач геометрической медианы и дерева Штейнера для трех точек.

СОДЕРЖАНИЕ

Строительство

Точка Ферма треугольника с наибольшим углом не более 120 ° — это просто его первый изогонический центр или X (13) , который строится следующим образом:

Постройте равносторонний треугольник на каждой из двух произвольно выбранных сторон данного треугольника.
Проведите линию от каждой новой вершины до противоположной вершины исходного треугольника.
Две прямые пересекаются в точке Ферма.

Альтернативный метод следующий:

На каждой из двух произвольно выбранных сторон постройте равнобедренный треугольник с основанием рассматриваемой стороны, 30-градусными углами у основания и третьей вершиной каждого равнобедренного треугольника, лежащей вне исходного треугольника.
Для каждого равнобедренного треугольника нарисуйте круг, в каждом случае с центром в новой вершине равнобедренного треугольника и с радиусом, равным каждой из двух новых сторон этого равнобедренного треугольника.
Пересечение внутри исходного треугольника между двумя окружностями и есть точка Ферма.

Когда треугольник имеет угол больше 120 °, точка Ферма располагается в вершине с тупым углом.

В дальнейшем «Случай 1» означает, что угол треугольника превышает 120 °. «Случай 2» означает, что угол треугольника не превышает 120 °.

Расположение X (13)

На рис. 2 показаны равносторонние треугольники ARB, AQC и CPB, прикрепленные к сторонам произвольного треугольника ABC. Вот доказательство, использующее свойства совпадающих точек, чтобы показать, что три прямые RC, BQ и AP на рис. 2 все пересекаются в точке F и пересекаются друг с другом под углом 60 °.

Треугольники RAC и BAQ совпадают, потому что второй — это угол поворота первого на 60 ° относительно A. Следовательно, ARF = ∠ABF и ∠AQF = ∠ACF. В силу обратной теоремы о вписанном угле, примененной к отрезку AF, точки ARBF примыкают друг к другу (лежат на окружности). Точно так же точки AFCQ совпадают.

∠ARB = 60 °, поэтому ∠AFB = 120 °, используя теорему о вписанном угле . Аналогично ∠AFC = 120 °.

Итак, ∠BFC = 120 °. Таким образом, ∠BFC и ∠BPC в сумме составляют 180 °. Используя теорему о вписанном угле , это означает, что точки BPCF совпадают. Итак, используя теорему о вписанном угле, примененную к отрезку BP, BFP = ∠BCP = 60 °. Поскольку ∠BFP + ∠BFA = 180 °, точка F лежит на отрезке AP. Итак, линии RC, BQ и AP параллельны (пересекаются в одной точке). QED

Это доказательство применимо только в случае 2, поскольку, если ∠BAC> 120 °, точка A лежит внутри описанной окружности BPC, которая меняет взаимное расположение точек A и F. Однако его легко изменить, чтобы охватить случай 1. Тогда ∠AFB = ∠AFC = 60 °, следовательно, ∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120 °, что означает, что BPCF является конциклическим, поэтому ∠BFP = ∠BCP = 60 ° = ∠BFA. Следовательно, A лежит на FP.

Линии, соединяющие центры окружностей на рис. 2, перпендикулярны отрезкам AP, BQ и CR. Например, линия, соединяющая центр круга, содержащего ARB, и центр круга, содержащего AQC, перпендикулярна сегменту AP. Итак, линии, соединяющие центры окружностей, также пересекаются под углом 60 °. Следовательно, центры окружностей образуют равносторонний треугольник. Это известно как теорема Наполеона .

Расположение точки Ферма

Традиционная геометрия

Для любого евклидова треугольника ABC и произвольной точки P пусть d (P) = PA + PB + PC, где PA обозначает расстояние между P и A. Целью этого раздела является определение точки P _0, такой что d (P ₀ ) <d (P) для всех P ≠ P ₀ . Если такая точка существует, то это будет точка Ферма. Далее ∆ будет обозначать точки внутри треугольника и включать его границу Ω.

Ключевой результат, который будет использоваться, — это правило изгиба, которое утверждает, что если треугольник и многоугольник имеют одну общую сторону, а остальная часть треугольника лежит внутри многоугольника, то треугольник имеет более короткий периметр, чем многоугольник.
[Если AB — общая сторона, расширьте AC, чтобы разрезать многоугольник в точке X. Тогда по неравенству треугольника периметр многоугольника> AB + AX + XB = AB + AC + CX + XB ≥ AB + AC + BC.]

Пусть P — любая точка вне Δ. Свяжите каждую вершину с ее удаленной зоной; то есть полуплоскость за (расширенной) противоположной стороной. Эти 3 зоны покрывают всю плоскость, за исключением самого Δ, а P явно лежит в одной или двух из них. Если P находится в двух (скажем, пересечении зон B и C), то установка P ‘= A влечет d (P’) = d (A) <d (P) по правилу изгиба. В качестве альтернативы, если P находится только в одной зоне, скажем, в A-зоне, тогда d (P ‘) <d (P), где P’ — пересечение AP и BC. Итак, для любой точки P вне Δ существует точка P ‘в Ω такая, что d (P’) <d (P) .

Случай 1. Треугольник имеет угол ≥ 120 °.

Без ограничения общности предположим, что угол при A ≥ 120 °. Постройте равносторонний треугольник AFB и для любой точки P в Δ (кроме самой A) постройте Q так, чтобы треугольник AQP был равносторонним и имел указанную ориентацию. Тогда треугольник ABP представляет собой поворот на 60 ° треугольника AFQ вокруг A, так что эти два треугольника конгруэнтны, и отсюда следует, что d (P) = CP + PQ + QF, что является просто длиной пути CPQF. Поскольку P ограничено лежать в пределах ABC, по правилу изгиба длина этого пути превышает AC + AF = d (A). Следовательно, d (A) <d (P) для всех P є Δ, P ≠ A. Теперь позвольте P выходить за пределы Δ. Сверху существует точка P ‘є Ω такая, что d (P’) <d (P), и поскольку d (A) ≤ d (P ‘), следует, что d (A) <d (P) для всех P вне ∆ . Таким образом, d (A) <d (P) для всех P ≠ A, что означает, что A — точка Ферма на ∆. Другими словами, точка Ферма лежит в тупоугольной вершине .

Случай 2. Треугольник не имеет угла ≥ 120 °.

Постройте равносторонний треугольник BCD и пусть P — любая точка внутри Δ, и постройте равносторонний треугольник CPQ. Тогда CQD — это поворот CPB на 60 ° относительно C, поэтому d (P) = PA + PB + PC = AP + PQ + QD, что является просто длиной пути APQD. Пусть P ₀ — точка пересечения AD и CF. Эту точку принято называть первым изогоническим центром. Выполните то же упражнение с P _0, что и с P, и найдите точку Q ₀ . Из-за углового ограничения P ₀ лежит внутри Δ, более того, BCF представляет собой поворот BDA на 60 ° относительно B, поэтому Q ₀ должен лежать где-то на AD. Поскольку CDB = 60 °, Q ₀ лежит между P ₀ и D, что означает, что AP ₀ Q ₀ D — прямая линия, поэтому d (P ₀ ) = AD. Более того, если P ≠ P _0, то либо P, либо Q не будут лежать на AD, что означает d (P ₀ ) = AD <d (P). Теперь позвольте P выйти за пределы Δ. Сверху существует точка P ‘є Ω такая, что d (P’) <d (P), а поскольку d (P ₀ ) ≤ d (P ‘), то d (P ₀ ) <d (P) для всех P вне Δ. Это означает, что P ₀ является точкой Ферма Δ. Другими словами, точка Ферма совпадает с первым изогоническим центром .

Векторный анализ

Пусть O , A , B , C , X — любые пять точек на плоскости. Обозначим векторы через a , b , c , x соответственно, и пусть i , j , k — единичные векторы из O вдоль a , b , c . Сейчас | а | = a⋅i = ( a — x ) ⋅i + x⋅i ≤ | а — х | + x⋅i и аналогично | б | ≤ | б — х | + x⋅j и | c | ≤ | с — х | + x⋅k . Добавление дает | а | + | б | + | c | ≤ | а — х | + | б — х | + | с — х | + x⋅ ( я + j + k ). Если a , b , c пересекаются в точке O под углом 120 °, тогда i + j + k = 0, поэтому | а | + | б | + | c | ≤ | а — х | + | б — х | + | с — х | для всех х . Другими словами, OA + OB + OC ≤ XA + XB + XC и, следовательно, O — точка Ферма треугольника ABC . Этот аргумент неверен, когда треугольник имеет угол ∠C > 120 °, потому что нет точки O, где a , b , c пересекаются под углами 120 °. Тем не менее, это легко исправить, переопределив k = — ( i + j ) и поместив O в C так, чтобы c = 0 . Обратите внимание, что | k | ≤ 1, поскольку угол между единичными векторами i и j составляет ∠C, что превышает 120 °. Поскольку | 0 | ≤ | 0 — х | + x⋅k третье неравенство остается в силе , два других не меняются. Доказательство продолжается, как указано выше (добавляя три неравенства и используя i + j + k = 0 ), чтобы прийти к такому же выводу, что O (или в данном случае C ) должна быть точкой Ферма треугольника ABC . О А → , О B → , О C → , О Икс → <\ displaystyle <\ overrightarrow <\ mathrm >>, <\ overrightarrow <\ mathrm >>, <\ overrightarrow <\ mathrm >>, <\ overrightarrow <\ mathrm >> >

Множители Лагранжа

Другой подход к нахождению точки внутри треугольника, от которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна, заключается в использовании одного из методов математической оптимизации ; в частности, метод множителей Лагранжа и закон косинусов .

Проведем линии от точки внутри треугольника к его вершинам и назовем их X , Y и Z . Кроме того, пусть длины этих линий равны x, y и z соответственно. Пусть угол между X и Y равен α, Y и Z равен β. Тогда угол между X и Z равен (2π — α — β). Используя метод множителей Лагранжа, мы должны найти минимум лагранжиана L , который выражается как:

L = x + y + z + λ ₁ ( x 2 + y 2 — 2 xy cos ( α ) — a 2 ) + λ ₂ ( y 2 + z 2 — 2 yz cos (β) — b 2 ) + λ _3. ( z 2 + x 2 — 2 zx cos ( α + β ) — c 2 )

где a , b и c — длины сторон треугольника.

Приравнивание каждой из пяти частных производных δ L / δx, δ L / δy, δ L / δz, δ L / δα, δ L / δβ к нулю и исключение λ ₁ , λ ₂ , λ _{3 в} конечном итоге дает sin (α) = sin (β) и sin (α + β) = — sin (β), поэтому α = β = 120 °. Однако устранение — долгое и утомительное дело, и конечный результат охватывает только случай 2.

Характеристики

Когда наибольший угол треугольника не превышает 120 °, X (13) является точкой Ферма.
Углы, образуемые сторонами треугольника в точке X (13), равны 120 ° (Случай 2) или 60 °, 60 °, 120 ° (Случай 1).
В окружности , три равносторонних треугольников , построенных пересекаются в одной точке на X (13).
Трилинейные координаты первого изогонического центра X (13):

Трилинейные координаты второго изогонического центра X (14):

Трилинейные координаты точки Ферма:

Изогональный конъюгат X (13) представляет собой первую Точку Аполлония , X (15):

Изогональный конъюгат X (14) является второй Точкой Аполлония , X (16):

Следующие треугольники равносторонние:

Прямые X (13) X (15) и X (14) X (16) параллельны прямой Эйлера . Три прямые пересекаются в точке бесконечности Эйлера X (30).
Точки X (13), X (14), центр описанной окружности и центр из девяти точек лежат на окружности Лестера .
Прямая X (13) X (14) пересекает линию Эйлера в середине X (2) и X (4).
Точка Ферма лежит в открытом ортоцентроидном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в нем.

Псевдонимы

В isogonic центры X (13) и Х (14) также известны как первая точка Ферма и вторая точка Фермы соответственно. Альтернативы — положительная точка Ферма и отрицательная точка Ферма . Однако эти разные имена могут сбивать с толку, и, возможно, их лучше избегать. Проблема в том, что большая часть литературы стирает различие между точкой Ферма и первой точкой Ферма, тогда как только в случае 2 выше они фактически одинаковы.

История

Этот вопрос был предложен Ферма как вызов Евангелисте Торричелли . Он решил проблему аналогично Ферма, но вместо этого использовал пересечение описанных окружностей трех правильных треугольников. Его ученица Вивиани опубликовала решение в 1659 году.

Точка Ферма

Точка Ферма — точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Точка Ферма даёт решение проблемы Штейнера для вершин треугольника.

Содержание

Построение

Теорема (Э. Торричелли, Б. Кавальери, Т. Симпсон, Ф. Хейнен, Ж. Бертран). Построим на сторонах произвольного треугольника ABC вне его равносторонние треугольники ABC’, BCA’, CAB’. Тогда шесть кривых — три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые AA’, BB’, CC’ пересекаются в одной точке X. Если все углы треугольника ABC не превосходят 120°, то X лежит в треугольнике ABC и является точкой Ферма S. В этом случае углы между отрезками AS, BS и CS равны между собой и, значит, равны 120°. Более того, длины отрезков AA’, BB’ и CC’, называемых линиями Симпсона, тоже равны между собой и равны AS + BS + CS. Если один из углов треугольника ABC больше 120°, то X лежит вне треугольника ABC, а точка Ферма S совпадает с вершиной тупого угла.

Теорема дает алгоритм построения точки Ферма с помощью циркуля и линейки. В нетривиальном случае, когда все углы треугольника меньше 120°, точку Ферма находят как пересечение любых двух из шести кривых, описанных в теореме.

Физически эту точку можно построить так: отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки A, B и C и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузики одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC.

Точка Торричелли

Точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами меньшими 120°, при этом, она единственна и, значит, совпадает с точкой Ферма.

Литература

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 c.: ил.
А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Теория экстремальных сетей. — Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — ISBN 5-93972-292-X

Примечания

См. также

Ссылки

Замечательные точки треугольника

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Точка Ферма» в других словарях:

Лемма Ферма — утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Содержание 1 Предыстория 2 Формулировка 3 Доказательство … Википедия

Список эпизодов телесериала «Горячая точка» — Эта статья содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, переведя её до конца. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне. Список серий канадского т … Википедия

Критическая точка (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Критическая точка. Критической точкой дифференцируемой функции , где область в , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению … Википедия

Задача Штейнера — Минимальное дерево Штейнера для точек A, B и C, где S точка Ферма треугольника ABC. Задача Штейнера состоит в поис … Википедия

Замечательные точки треугольника — Замечательные точки треугольника точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника. Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не… … Википедия

Теорема Наполеона — Теорема Наполеона утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках … Википедия

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР — Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера

МОЛОКО — МОЛОКО. Содержание: Физиол. ценность и потребление М. 612 Хим. и физ. свойства М. 615 Бактерии М. и уничтожение их. 622 Фальсификация М. 629 Производство и распределение М. 630 Молочное… … Большая медицинская энциклопедия

Прямоугольная система координат — Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия

Эллиптическая кривая — Не следует путать с Эллипс. Эллиптическая кривая над полем K это множество точек проективной плоскости над K, удовлетворяющих уравнению вместе с точкой на бесконечности. Эллиптические кривые являются одним из основных объектов изучения в… … Википедия

Точка Ферма — Fermat point

Рис 1. Построение первого изогонического центра X (13). Когда ни один угол треугольника не превышает 120 °, эта точка является точкой Ферма.

В геометрии, точка Ферма в треугольнике, также называемая точка Торричелли или точка Ферма – Торричелли — это точка, в которой общее расстояние от трех вершин треугольника до точки является минимально возможным. Он назван так потому, что эта проблема была впервые поднята Ферма в частном письме Евангелисте Торричелли, который решил ее.

Точка Ферма дает решение геометрической медианы и задач дерева Штейнера для трех точек.

Содержание

1 Построение
2 Расположение X (13)
3 Расположение точки Ферма
- 3.1 Традиционная геометрия
- 3.2 Векторный анализ
- 3.3 Множители Лагранжа
Построение

Точка Ферма треугольника с наибольшим углом не более 120 ° — это просто его первый изогонический центр или X (13), который строится следующим образом:
1. Постройте равносторонний треугольник на каждом из двух произвольно выбранных стороны данного треугольника.
2. Проведите линию от каждой новой вершины до противоположной вершины исходного треугольника.
3. Две линии пересекаются в точке Ферма.
Альтернативный метод заключается в следующем:
1. На каждой из двух произвольно выбранных сторон постройте равнобедренный треугольник с основанием рассматриваемой стороны, 30-градусными углами в основании и третьей вершиной. каждого равнобедренного треугольника, лежащего вне исходного треугольника.
2. F или каждый равнобедренный треугольник начертит круг, в каждом случае с центром в новой вершине равнобедренного треугольника и с радиусом, равным каждой из двух новых сторон этого равнобедренного треугольника.
3. Пересечение внутри исходного треугольника между две окружности — это точка Ферма.
Когда треугольник имеет угол больше 120 °, точка Ферма располагается в тупоугольной вершине.

Далее «случай 1» означает, что треугольник имеет угол, превышающий 120 °. «Случай 2» означает, что угол треугольника не превышает 120 °.

Расположение X (13)

Рис. 2. Геометрия первого изогонического центра.

Рис. 2 показаны равносторонние треугольники ARB, AQC и CPB, прикрепленные к сторонам произвольного треугольника ABC. Вот доказательство, использующее свойства совпадающих точек, чтобы показать, что три прямые RC, BQ и AP на рис. 2 все пересекаются в точке F и пересекаются друг с другом под углами 60 °.

Треугольники RAC и BAQ конгруэнтны, потому что второй — это угол поворота первого на 60 ° относительно A. Следовательно, ARF = ∠ABF и ∠AQF = ACF. Согласно обратной теореме о вписанном угле, примененной к отрезку AF, точки ARBF являются параллельными (они лежат на окружности). Точно так же точки AFCQ совпадают.

ARB = 60 °, поэтому ∠AFB = 120 °, используя теорему о вписанном угле. Аналогично ∠AFC = 120 °.

Итак, ∠BFC = 120 °. Таким образом, ∠BFC и ∠BPC в сумме составляют 180 °. Используя теорему о вписанном угле, это означает, что точки BPCF совпадают. Итак, используя теорему о вписанном угле, примененную к отрезку BP, BFP = ∠BCP = 60 °. Поскольку ∠BFP + ∠BFA = 180 °, точка F лежит на отрезке AP. Итак, линии RC, BQ и AP являются параллельными (они пересекаются в одной точке). QED

Это доказательство применимо только в случае 2, поскольку, если BAC>120 °, точка A лежит внутри описанной окружности BPC, которая меняет относительные положения A и F. Однако его легко изменить, чтобы охватить случай 1. Тогда ∠AFB = ∠AFC = 60 °, следовательно, ∠BFC = ∠AFB = ∠AFC = 120 °, что означает, что BPCF является концикличным, поэтому ∠BFP = ∠BCP = 60 ° = ∠BFA. Следовательно, A лежит на FP.

Линии, соединяющие центры окружностей на рис. 2, перпендикулярны отрезкам AP, BQ и CR. Например, линия, соединяющая центр круга, содержащего ARB, и центр круга, содержащего AQC, перпендикулярна сегменту AP. Итак, линии, соединяющие центры окружностей, также пересекаются под углом 60 °. Следовательно, центры окружностей образуют равносторонний треугольник. Это известно как Теорема Наполеона.

Расположение точки Ферма

Традиционная геометрия

Рис. 3. Геометрия точки Ферма

Для любого евклидова треугольника ABC и произвольной точки P пусть d (P) = PA + PB + PC, где PA обозначает расстояние между P и A. Целью этого раздела является определение точки P 0 такой, что d (P 0) AB + AX + XB = AB + AC + CX + XB ≥ AB + AC + BC.]

Пусть P — любая точка вне Δ. Свяжите каждую вершину с этими удаленная зона; то есть полуплоскость за (расширенной) противоположной стороной. Эти 3 зоны покрывают всю плоскость, за исключением самого Δ, и P явно лежит в одной или двух из них. Если P находится в двух точках (скажем, пересечение зон B и C), то установка P ‘= A влечет d (P’) = d (A) OA →, OB →, OC →, OX → <\ displaystyle <\ overrightarrow <\ mathrm >>, <\ overrightarrow <\ mathrm < OB>>>, <\ overrightarrow <\ mathrm >>, <\ overrightarrow <\ mathrm >>> на a, b, c, xсоответственно, и пусть i, j, kбудут единичными векторами от O вдоль a, b, c.. Сейчас | a | = a⋅i = (a− x)⋅i+ x⋅i ≤ | a− x| + x⋅i и аналогично | b | ≤ | b− x| + x⋅j и | c | ≤ | c− x| + x⋅k .. Сложение дает | a | + | b | + | c | ≤ | a− x| + | b− x| + | c− x| + x⋅(i+ j+ k).. Если a, b, cвстречаются в точке O под углами 120 °, то i+ j+ k= 0так | a | + | b | + | c | ≤ | a− x| + | b− x| + | c− x| для всех x.. Другими словами, OA + OB + OC ≤ XA + XB + XC, следовательно, O точка Ферма треугольника ABC.. Этот аргумент неверен, когда треугольник имеет угол ∠C>120 °, потому что нет точки O, где a, b, cпересекаются под углами 120 °. Тем не менее, это легко исправить, переопределив k = — (i+ j) и поместив O в C так, чтобы c= 0. Обратите внимание, что | k | ≤ 1, поскольку угол между единичными векторами i и j составляет ∠C, что превышает 120 °. Поскольку | 0 | ≤ | 0− x| + x⋅k третье неравенство остается в силе, два других не меняются. Доказательство продолжается, как указано выше (добавление трех неравенств и использование i+ j+ k= 0), чтобы прийти к тому же выводу, что O (или в данном случае C) должна быть точкой Ферма треугольника ABC.

Множители Лагранжа

Другой подход к поиску точки внутри треугольника, от которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна, заключается в использовании одного из оптимизация (математика) методы. В частности, методом множителей Лагранжа и закона косинусов.

мы проводим линии от точки внутри треугольника к его вершинам и называем их X, Yи Z . Кроме того, пусть длины этих линий равны x, y и z соответственно. Пусть угол между X и Y равен α, Y и Z равен β. Тогда угол между X и Z равен (2π — α — β). Используя метод множителей Лагранжа, мы должны найти минимум лагранжиана L, который выражается как:

L = x + y + z + λ 1 (x + y — 2xy cos (α) — a) + λ 2 (y + z — 2yz cos (β) — b) + λ 3 (z + x — 2zx cos (α + β) — c)

где a, b и c — длины сторон треугольника.

Приравнивание каждой из пяти частных производных δL / δx, δL / δy, δL / δz, δL / δα, δL / δβ к нулю и исключение λ 1, λ 2, λ 3 в конечном итоге дает sin (α) = sin (β) и sin (α + β) = — sin (β), поэтому α = β = 120 °. Однако устранение — долгое и утомительное дело, и конечный результат охватывает только случай 2.

Свойства
- Когда наибольший угол треугольника не превышает 120 °, X (13) является точкой Ферма.
- Углы, образуемые сторонами треугольника в X (13) все равны 120 ° (случай 2) или 60 °, 60 °, 120 ° (случай 1). трех построенных равносторонних треугольников совпадают в точке X (13). для первого изогонического центра, X (13):
- Изогональное сопряжение X (13) является первой изодинамической точкой, X (15):
- Изогональное сопряжение X (14) является второй изодинамической точкой, X (16):
- Следующие треугольники равносторонние:
- Прямые X (13) X (15) и X (14) X (16) параллельны прямой Эйлера. Три прямые пересекаются в точке бесконечности Эйлера, X (30).
- Точки X (13), X (14), центр описанной окружности и девятиточка центр лежит на окружности Лестера.
- Прямая X (13) X (14) пересекает линию Эйлера в средней точке X (2) и X (4).
- Ферма точка лежит в открытом ортоцентроидном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в нем.
Псевдонимы

изогонические центры X (13) и X (14) также известны как первая точка Ферма и вторая точка Ферма соответственно. Альтернативными вариантами являются положительная точка Ферма и отрицательная точка Ферма . Однако эти разные имена могут сбивать с толку, и, возможно, их лучше избегать. Проблема в том, что большая часть литературы стирает различие между точкой Ферма и первой точкой Ферма, тогда как только в случае 2, приведенном выше, они фактически одинаковы.

История

Этот вопрос был предложен Ферма в качестве вызова Евангелисте Торричелли. Он решил проблему так же, как и Ферма, но вместо этого использовал пересечение описанных окружностей трех правильных треугольников. Его ученица, Вивиани, опубликовала решение в 1659 году.

Как найти точку ферма

История этой задачи насчитывает более трёх с половиной столетий. Она была помещена в книге итальянского физика и механика Вивиани «О максимальных и минимальных значениях» в 1659 году. Винченто Вивиани (1622—1703) известен как один из лучших специалистов по задачам на максимум и минимум, а также по теории конических сечений. Своё сочинение Вивиани, следуя традициям того времени, снабдил длинным названием: «Пятая книга сочинений Аполлония Пергского о конических сечениях, заключает в себе первые исследования о наибольших и наименьших величинах и признаётся самым замечательным памятником этого великого геометра».

Среди множества задач на максимум и минимум, помещённых в этой книге, есть такая: на плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной

прямой. Для какой точки T плоскости сумма расстояний AT + BT + CT наименьшая?

Ещё до книги Вивиани этой задачей интересовался итальянский математик Бенавентура Кавальери (1598—1647), автор знаменитого «принципа Кавальери» для вычисления площадей и объёмов, предвосхитившего интегральное исчисление, а также математик и физик Эванджелиста Торричелли (1608—1647). Согласно другим источникам, независимо от Торричелли, эту задачу решил и величайший французский математик Пьер Ферма (1601—1665). А первое чисто геометрическое решение принадлежит, по — видимому, швейцарскому геометру Якобу Штейнеру (1796—1863).

Решение: выстроим отрезки AT, BT и CT в ломаную линию. Теперь, однако, вместо симметрии применим поворот. Повернём плоскость на 60вокруг точки A, при этом точка C перейдёт в некоторую точку D, а точка T — в точку N. Треугольник AND равен треугольнику ATC, поскольку переходит в него при повороте на 60, значит TC = ND. Треугольник ANT — равносторонний, так как AT = AN и ЃЪTAN=60?, поэтому TA = TN. Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD.

Повернём плоскость на 60вокруг точки A, при этом точка C перейдёт в некоторую точку D, а точка T — в точку N.

Треугольник AND равен треугольнику ATC, поскольку переходит в него при повороте на 60, значит TC = ND. Треугольник ANT — равносторонний, так как AT = AN и ЃЪTAN=60, поэтому TA = TN. Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD. Равенство достигается, когда точки B, T, N и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что ЃЪBTA + ЃЪATN = 180 и, следовательно, ЃЪBTA = 120; а также ЃЪAND + ЃЪANT = 180, значит, ЃЪAND = 120, поэтому

ЃЪATC = 120. Таким образом, лучи TA, TB и TC образуют два угла в 120, поэтому и третий угол между ними также равен 120 (рис. 18).

Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD (рис. 17). Равенство достигается, когда точки B, T, N и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что ЃЪBTA + ЃЪATN = 180 и, следовательно, ЃЪBTA = 120; а также ЃЪAND + ЃЪANT = 180, значит, ЃЪAND = 120, поэтому ЃЪATC = 120. Таким образом, лучи TA, TB и TC образуют два угла в 120, поэтому и третий угол между ними также равен 120.

Точка T, из которой все стороны треугольника видны под углами 120, имеет несколько названий. Иногда её называют точкой Ферма, иногда — точкой Торричелли, иногда — точкой Штейнера. Доказательство, которое было приведено, с поворотом плоскости на 60, принадлежит Якобу Штейнеру.

А первым по времени из этих трёх математиков был Торричелли. Поэтому будем называть эту точку, по праву первенства, точкой Торричелли, центрами вписанной и описанной окружностей. Правда точка Торричелли существует не у любого треугольника. Однако уже доказано, что если у треугольника есть точка Торричелли, то она является единственной точкой минимума суммы расстояний до вершин треугольника.

Когда же точка Торричелли существует? Пусть из трёх углов треугольника угол при вершине A является наибольшим. Построим на сторонах AC и AB вовнутрь треугольника ABC дуги окружностей, содержащие по 120. Эти дуги пересекаются в точке A. Если же угол A меньше 120, то эти дуги имеют ещё и вторую точку пересечения, которую обозначим через T. Это и есть точка Торричелли. В самом деле, так как углы ATC и ATB по построению равны 120, то и третий угол BTC также получается равен 360 ? 120*2 = 120. И наоборот, если точка Торричелли существует, то она строится именно таким образом, поскольку должна лежать на пересечении дуг окружностей величиной в 120, построенных на сторонах треугольника. Итак, треугольник имеет точку Торричелли тогда и только тогда, когда все его углы меньше 120.

Теорема Торричелли—Ферма—Штейнера. Если все углы треугольника меньше 120, то точкой минимума суммы расстояний до его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов больше или равен 120, то такой точкой является вершина этого угла.
Похожие публикации:

Как найти точку ферма

Точка Ферма — Fermat point

СОДЕРЖАНИЕ