4.2.1 Определение траектории движения точки
Уравнения движения являются одновременно уравнениями траектории точки в параметрической форме. Для получения уравнения траектории из уравнений движения необходимо исключить параметр t :
sin (
t ) = 
; cos (
t ) = 
. (1)
Если обе части каждого равенства возвести в квадрат и сложить, то получим уравнение эллипса:
– 
= 1. (2)
Горизонтальная полуось эллипса 
= 2 м, вертикальная полуось эллипса b = 4 м, а координаты его центра 
= 3 м; 
= 0. Траекторию точки строим в масштабе на рисунке (рисунок 3).
4.2.2 Определение положения точки на траектории
Для определения положения точки на траектории в уравнения ее координат подставляем соответствующее время.
В начальный момент времени при t = 0 из этих уравнений получим:
= 3 м , 
= 4 м.
В заданный момент времени при 
= 1 c:
= 2 sin 
+ 3 = 4,4 м ;
= 4 cos 
= 2,8 м.
По вычисленным координатам показываем положения точек 
, 
на траектории (рисунок 3).
3.3.2.3 Определение скорости и ускорения точки
Скорость и ускорение точки найдем по их проекциям на оси координат
; 
; (3)
; 
. (4)
Тогда начальный момент времени при t = 0 получим:
м/с;
;
= 1,57 м/с .
;
м/
;
.
В заданный момент времени при 
: 
; 
;
;
; 
;
.
Выбираем масштаб скорости и ускорения и строим векторы скорости и ускорения и их проекции для точек 
(рисунок 46). Величину выбранного масштаба необходимо указать на рисунке.
4.2.4 Определение касательного, нормального ускорения точки
и радиуса кривизны траектории
При движении точки по криволинейной траектории ускорение точки можно выразить через проекции на естественные оси: касательную и нормаль 
,
где 
— касательное ускорение точки
; (5)
— нормальное ускорение 
; (6)
где 
— радиус кривизны траектории.
Нормальное ускорение можно вычислить, зная полное ускорение точки и его касательную составляющую
. (7)
Подставляем в формулы (3.17), (3.18), (3.19) значения величин, найденных для соответствующих моментов времени. В начальный момент времени при 
:
; 
;
.
В заданный момент времени при 
:
; 
;
.
В выбранном масштабе ускорений показываем проекции ускорения точек 
на естественные оси координат (рисунок 46), что позволяет осуществить проверку решения.
На графике необходимо иметь соблюдение условия:
.
Пример решения задачи К2
Механизм состоит из ступенчатых колес 1 и 2, связанных между собой ременной передачей, колеса 2 и 3 находятся в зацеплении, колесо 1 находится в зацеплении с зубчатой рейкой 4, груз 5 находится на конце нити, намотанной на шкив 3 радиуса 
(рисунок 4).
Определить скорости точек В и С, ускорение груза 5, ускорение точки А и угловое ускорение колеса 2 в момент времени t = 2 c, если заданы закон движения рейки
и размеры колес 
1. Рейка 4 совершает поступательное движение по закону
Определим скорость движения рейки 
.
При 
Ускорение рейки найдем из соотношения 
.
Знак ускорения не совпадает со знаком скорости, следовательно, рейка движется замедленно.
2. Точка К, лежащая на ободе колеса 
, движется со скоростью,
равной скорости рейки, находящейся в зацеплении с колесом, т.е.
Учитывая, что 
, определим угловую скорость колеса 1:
.
При 
.
Определим угловое ускорение колеса 1: 
.
Ускорение точки А ступенчатого колеса 1найдем из выражения :
, Скорость точки С, лежащей на ободе колеса 3 радиуса 
, находим по формуле: 
.
5.Ускорение груза 5 равно касательному ускорению точки N колеса 3:
.
6. Найденные параметры движения точек и звеньев механизма изображаем на рисунке (рисунок 4).
где 
.
.
.
3. Колеса радиусов 
и 
связаны бесконечным ремнем. При отсутствии проскальзывания скорости всех точек ремня одинаковы, т.е.
а угловые скорости и угловые ускорения валов 1 и 2 обратно пропорциональны радиусам колес:
, тогда
; 
Скорость точки В, лежащей на ободе колеса 2, рассчитываем по формуле
.
4. Колеса радиусов 
и 
находятся в зацеплении друг с другом, поэтому угловую скорость и угловое ускорение колеса 3 найдем из соотношений:
; 
.
Уравнение движения материальной точки
Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.
Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.
Система отсчета. Системы координат
Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.
В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:
- сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
- цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
- на полярной плоскости с параметрами r , φ .
В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.
При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.
Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:
Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.
Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:
x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .
Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.
Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.
Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:
r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .
Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как
q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .
Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.
Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:
Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.
Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.
Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.
Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.
Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c
Найти: υ x ( t ) , S — ?
Решение
При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:
υ x = υ 0 x + a x t .
Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:
x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .
Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .
После подстановки данных в уравнение:
Определим точки, изобразим график:
υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5
Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:
16. Кинематика точки. Способы задания движения точки (векторный и координатный)
Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.
Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.
Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.
Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.
Способы задания движения точки
В зависимости от выбора системы отсчета существуют три способа задания движения точки – векторный, координатный и естественный. Рассмотрим эти способы задания движения в отдельности.
Векторный способ задания движения точки
Пусть точка движется вдоль некоторой линии. В качестве начала отсчета выберем произвольный центр . Положение точки на линии определяется радиус-вектором (рис.К.9).
Таким образом, вектор определяет положение движущейся точки в любой момент времени. Следовательно, уравнение является законом движения при векторном способе задания движения.
Величина называется вектором скорости точки. Вектор скорости точки всегда направлен по касательной к годографу (траектории движения точки) в сторону перемещения точки.
Величина называется вектором ускорения точки.
Определим направление вектора . Направление вектора определяется направлением вектора . Пусть точка движется по некоторой траектории (рис.К.10) от точки к точке . Пусть скорость в точке равна , а скорость в точке равна . Перенесем вектор параллельно самому себе из точки в точку .
Как показано на рис.К.10, вектор направлен в сторону вогнутости траектории движения точки, следовательно и вектор ускорения всегда направлен в ту же сторону, то есть в сторону вогнутости траектории движения точки.
Координатный способ задания движения точки
Пусть точка движется вдоль некоторой линии. В качестве системы отсчета выберем декартовую систему координат с началом в произвольном центре . Тогда положение точки на линии определяются текущими координатами в любой момент времени
Следовательно, система уравнений определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Исключая из закона движения время , получим уравнение вида , являющееся уравнением траектории движения точки.
Пример. Закон движения записывается уравнениями . Найти уравнение траектории движения точки.
Решение. Из первого уравнения следует, что или . Тогда из второго уравнения . Или . Таким образом получено, что траекторией движения точки является прямая линия .
Компоненты скорости и ускорения движущейся точки в любой момент времени определяются по формулам
Кинематика. Движение точки.
В соответствии со способами задания координат, движение точки можно описать координатным или векторным способом.
Рассмотрим координатный способ задания движения.
Допустим, движение точки задано функциями всех трех ее координат от времени:
Это кинематеческие уравнения движения точки, записанные в координатной форме. Все три уравнения скалярны.
По этим уравнениям для каждого момента времени t можно определить координаты точки и указать ее положение в пространстве. При множестве значений t получим множество положений точки в пространстве – траекторию точки. Иными словами, уравнения движения являются уравнениями траектории точки в параметрической форме, где в качестве параметра служит время t. Для получения уравнения траектории в виде зависимости между координатами точки достаточно из вышеприведенных уравнений движения исключить время.
При векторном способе задания движения изменение положения точки задано ее радиус-вектором как функцией от времени:
Зная это уравнение, для любого момента времени можно рассчитать радиус-вектор точки – определить ее положение (как и при координатном способе). Следовательно, задание трех скалярных уравнений равносильно заданию одного векторного уравнения.
