Пересечение окружности и прямой.Координаты.
Рассмотрим более подробно задачу пересечения окружности и прямой. В принципе само решение есть уже в общем виде Пересечение прямой и кривой второго порядка, но мы рассмотрим и выведем формулы точек пересечения этих двух геометрических объектов.
Уравнение прямой, как мы знаем из материала Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам могут быть заданы в нескольких видах:
— с угловым коэффициентом
— в нормальном виде
Что бы решить нашу первоначальную задачу, использовать будем уравнение прямой с угловым коэффициентом которое имеет вид
Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах
Например в общем виде оно имеет вид
Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой
Мы получили стандартное квадратное уравнение, решив котрое мы получим два значения, которые и будут являтся абсциссами точек пересечения прямой и окружности.
Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.
Таким образом решение найдено.
Для упрощения, для сверки результатов — калькулятор помогает Вам рассчитать эти точки. Интересная особенность состоит в том, что прямая может быть задана в любом виде, хоть виде двух точек.
А уравнение окружности может быть не только введено с помощью коэффицентов, но и в виде пары трех координат через которые, эта окружность будет проходить.
Теорема взаимного расположения прямой и окружности
Окружность — геометрическая фигура, состоящая из множества точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние.
Взаимное расположение прямой и окружности зависит от расстояния между центром окружности и данной прямой.
Прямая касается окружности
Если прямая и окружность имеют одну общую точку (точку касания), то говорят, что прямая касается окружности и называется касательной.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Теорема: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая называется касательной к окружности.
Доказательство: пусть расстояние от центра Ο окружности до прямой α равно радиусу R окружности (см. рисунок 1). Проведем из центра Ο перпендикуляр ΟA на эту прямую. Тогда ΟA = R. Для любой другой точки B на прямой α наклонная ΟB будет больше перпендикуляра ΟA, значит, больше R. Из этого следует: расстояние от любой точки прямой α, отличной от A, до центра Ο больше R. Это значит, что прямая α и окружность имеют одну общую точку A, т.е. прямая касается окружности.
Следствие: касательной к окружности называется прямая, проходящая через одну из ее точек и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку.
Прямая не касается окружности
Прямая и окружность могут не иметь общих точек.
Теорема: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то у таких прямой и окружности нет общих точек.
Доказательство: пусть расстояние от центра Ο окружности до прямой α больше радиуса R (см.рисунок 2). Проведем из центра Ο перпендикуляр ΟA на эту прямую. Получим ΟA > R. Для любой другой точки B на прямой α наклонная ΟB будет больше перпендикуляра ΟA, и следовательно, больше R. Таким образом, расстояние от любой точки прямой α до центра Ο больше R. Значит, прямая α и окружность не имеют общих точек.
Прямая и окружность пересекаются
Осталось рассмотреть случай, когда окружность и прямая имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей.
Теорема: если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность пересекаются.
Доказательство: пусть прямая α не проходит через центр окружности. Опустим из центра окружности Ο перпендикуляр ΟA на прямую α (см. рисунок 3). Его длина по условию меньше радиуса R, следовательно, точка A лежит внутри окружности. С другой стороны на прямой есть точки B1 и B2 , лежащие вне окружности. Отрезки AB1 и AB2 соединяют точку A, лежащую внутри окружности, с точками B1 и B2 , лежащими вне окружности.
Примем без доказательства: если отрезок соединяет точку, лежащую внутри окружности, и точку, лежащую вне окружности, то он имеет с окружностью одну общую точку. Тогда отрезки AB1 и AB2 имеют с окружностью общие точки C1 и C2 , которые являются искомыми точками пересечения прямой α и окружности.
Теоремы взаимного расположения прямой и окружности
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
2. Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке: AB = AC.
3. Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: AC 2 = CD×BC.
4. Произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть: AC×BC = EC×DC.
Пояснение на примерах
Точка А расположена вне окружности радиуса R и удалена от центра О этой окружности на расстояние d. Чему равно наименьшее расстояние от точки А до точек данной окружности?
Пусть В — точка пересечения окружности с от резком ОА. Покажем, что расстояние АВ является наименьшим из возможных от точки А до точек окружности. Действительно, для любой другой точки С окружности выполняется неравенство : АВ + ВO < АС + СO. Так как ВО = СО = R, получим АВ < АС. Учитывая, что АО = d, ВO = R, получаем, что искомое наименьшее расстояние равно длине отрезка АВ = d − R.
Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных, заключенные между этой точкой и точками касания, равны.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром в точке О, проведенные из точки А, и касающиеся окружности в точках В и С. Треугольники АОВ и АОС — прямоугольные, ОВ = ОС, сторона АО — общая. По признаку равенства прямоугольных треугольников они равны. Следовательно, АВ = АС.
Определение точки пересечения окружности с прямой
Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением , а прямая — уравнением . Вычислите координаты точки .
Решение задачи
В данном уроке рассматриваются принципы определения точки пересечения окружности с прямой. Следует отметить, что решением данной задачи можно воспользоваться в качестве подготовки к ОГЭ по математике.
Для того чтобы найти точку пересечения окружности и прямой, данные уравнения записываются как система. Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений, которое представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Данную систему уравнений целесообразно решить методом подстановки. Используя второе уравнение, переменная подставляется в первое уравнение. Так как полученное в результате подстановки квадратное уравнение имеет два корня, определяется две пары значений и . Тогда решение системы записывается в виде совокупности двух систем значений и . Для определения координат точки анализируется знак абсциссы и ординаты найденных точек пересечения окружности с прямой. Таким образом, найденные координаты точки и являются решением задачи.
Прямая и окружность: расположение относительно друг друга
Расположение прямой и окружности предполагает наличие точек пересечения этих геометрических тел. Например, если прямая пересекает некую окружность, проходя через её центр, то точек пересечения тел будет две. При этом участок прямой, находящийся внутри границ окружности, будет равен её диаметру.
Следует отдельно рассмотреть ситуации, когда при пересечении прямая не проходит через центральную точку окружности. В первом случае прямая Р пересекает окружность с центром О в некоторых точках А и В. Для определения её расположения следует провести радиусы R от центра окружности к точкам А и В, отметить часть прямой АВ, к которому из центральной точки провести перпендикулярный отрезок ОН.
Полученный перпендикулярный отрезок следует обозначить случайной литерой D. При этом ОН равен длине отрезка и расстоянию от центра окружности до пересекающей прямой.
Взаимное расположение прямой и окружности во многом определяется по соотношению двух величин: длины D и радиуса R. В геометрическом пространстве могут возникнуть три варианта расположения.
Когда D меньше R. На внутренней части пересекающей прямой от точки пересечения с отрезком ОН отмечаются два отрезка: АН и НВ. Они равны согласно формуле:
Следуя формуле теоремы Пифагора, вычисляются длины отрезков ОА и ОВ:
Исходя из полученных данных о том, что отрезки равны диаметру окружности R следует вывод, что точки А и В находятся в границах самой окружности, а точнее на её границе, одновременно являясь точками прямой Р. А и В — общие точки прямой и окружности.
Верно следующее утверждение: если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса данной окружности, то у прямой и окружности будет только две точки пересечения.
- Устанавливается третья предполагаемая общая точка прямой и окружности С, рассматривается равнобедренный треугольник ОАС.
- Медиана ОD от центральной точки к стороне АС совпадает с высотой треугольника, что позволяет утверждать, что OD перпендикулярен пересекающей прямой.
- Длины отрезков OD и ОН не равны, так как точка D не совпадает с точкой Н, которая является серединой АВ.
В данном случае пересекающая прямая носит название секущая.
Когда D равно R. При таком расположении у прямой и окружности есть точка пересечения Н, расстояние от которой до центра окружности равно её радиусу.
Верно следующее утверждение: в том случае, когда расстояние от центра окружности к точке пересечения равно радиусу окружности, то у прямой и окружности только одна общая точка.
При ином расположении точки Н на прямой Р отрезок ОН будет больше радиуса, следовательно, она не будет находиться в пределах окружности.
Когда D больше R. В случае если расстояние от центра окружности до точки Н больше радиуса окружности, верно утверждение, что данная точка не принадлежит окружности, то есть прямая и окружность не имеют общих точек и не пересекаются.