Как найти дельта k в физике

Сила упругости. Закон Гука

Под действием силы все тело или отдельные его части приходят в движение.

При движении одних частей тела относительно других происходит изменение формы и размеров.

• растяжение;
• сжатие;
• сдвиг;
• изгиб;
• кручение.

Различают упругие (обратимые) и неупругие (необратимые) деформации.

Например, если немного согнуть школьную линейку, растянуть пружину или надавить на воздушный шарик, после прекращения действия силы линейка выпрямится, пружина сожмется, и шарик опять станет круглым. Эти деформации – упругие, они обратимы.

Если же приложенная сила окажется слишком большой, линейка сломается, пружина так и останется растянутой, а шарик лопнет. Эти деформации – неупругие, они необратимы.

Все здания и сооружения вокруг нас рассчитываются так, чтобы их «нагруженные» части испытывали только упругие деформации; это обеспечивает надёжность и долговечность конструкций.

Сила упругости уравновешивает действие внешней силы и направлена в сторону, противоположную смещению частиц.

Например (см. рисунок):

• при растяжении сила упругости стремится сжать тело;
• при сжатии сила упругости стремится распрямить тело.

п.2. Закон Гука

Проведем серию опытов с пружиной.

Пусть при действии на пружину силой \(F\) мы получаем деформацию (удлинение) \(\Delta l\). При этом в пружине возникают силы упругости, стремящиеся вернуть её в исходное положение, \(\overrightarrow>>=-\overrightarrow\).

Если приложенную силу увеличить в 2 раза, то деформация также увеличится в 2 раза. Увеличение силы в 3 раза приводит к росту деформации в 3 раза и т.д.

Опыты показывают, что во всех случаях деформация будет прямо пропорциональна приложенной силе.

Следовательно, сила упругости также будет прямо пропорциональна деформации: $$ F_<\text<упр>>\sim\Delta l $$

п.3. Измерение силы с помощью динамометра

В технике используются динамометры более сложных конструкций.

Но принцип действия – использование закона Гука – во многих из них сохраняется.

Кистевой динамометр (силомер)

Тяговый динамометр

Электронный динамометр

п.4. Задачи

Задача 1. Резиновая лента удлинилась на 10 см под действием силы 50 Н. Какова жесткость ленты?

Жесткость ленты $$ k=\frac <\Delta l>$$ $$ k=\frac<50><0,1>=500\ \left(\frac<\text<Н>><\text<м>>\right) $$ Ответ: 500 Н/м

Задача 2. Под действием силы 300 Н пружина динамометра удлинилась на 0,6 см. Каким будет удлинение пружины под действием силы 700 Н? Ответ запишите в миллиметрах.

Дано:
\(F_1=300\ \text<Н>\)
\(\Delta l_1=0,6\ \text<см>=6\cdot 10^<-3>\ \text<м>\)
\(F_2=700\ \text<Н>\)
__________________
\(\Delta l_2-?\)

Жесткость пружины \begin k=\frac<\Delta l_1>=\frac<\Delta l_2>\Rightarrow \Delta l_2=\frac\Delta l_1\\[6pt] \Delta l_2=\frac<700><300>\cdot 6\cdot 10^<-3>=14\cdot 10^<-3>\ (\text<м>)=14\ (\text<мм>) \end Ответ: 14 мм

Задача 3. Пружина без груза имеет длину 30 см и коэффициент жесткости 20 Н/м. Найдите длину растянутой пружины, если на нее действует сила 5 Н. Ответ запишите в сантиметрах.

Удлинение пружины под действием силы: $$ \Delta l=\frac Fk $$ Длина растянутой пружины \begin l=l_0+\Delta l=l_0+\frac Fk\\[6pt] l=0,3+\frac<5><20>=0,3+0,25=0,55\ (\text<м>)=55\ (\text) \end Ответ: 55 cм

Задача 4*. Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой 1,5 т с помощью троса. Двигаясь равноускоренно, они проехали путь 600 м за 50 с. На сколько миллиметров удлинился во время движения трос, если его жесткость равна \(3\cdot 10^5\ \text<Н/м>\)?

Сила упругости, возникающая в тросе, уравновешивает силу тяги, передвигающую автомобиль с постоянным ускорением: $$ F_<\text<упр>>=k\Delta l=F_<\text<т>>=ma $$ Перемещение из состояния покоя $$ s=\frac<2>\Rightarrow a=\frac<2s> $$ Получаем: \begin k\Delta l=m\cdot\frac<2s>\Rightarrow \Delta l=\frac mk\cdot \frac<2s>\\[6pt] \Delta l=\frac<1500><3\cdot 10^5>\cdot \frac<2\cdot 600><50^2>=2,4\cdot 10^<-3>\ (\text<м>)=2,4\ (\text<мм>) \end Ответ: 2,4 мм

Как найти дельта k в физике

В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.

Система отсчёта, в которой любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.

инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

`Delta vec p = vec F * Delta t` (1)

Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в данной системе отсчёта:

`vec p = m * vec v`.

`vec F` — сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) — vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:

в ИСО приращение импульса материальной точки равно импульсу силы.

Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:

в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

`vec a = vec F/m` (2)

Если масса тела остаётся неизменной, то `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v`, и соотношение (1) принимает вид `m Delta vec v = vec F Delta t`. С учётом `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности соотношений (1) и (2) в рассматриваемом случае.

В настоящем Задании представлены задачи, для решения которых привлекается второй закон Ньютона (см.(1)), устанавливающий равенство приращений импульса материальной точки и импульса силы.

при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

1) силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

2) эти силы равны по величине,

3) они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.

Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:

Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:

привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы;

выбрать инерциальную систему отсчёта;

составить уравнение (3);

перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления;

решить полученную систему.

Рассмотрим характерные примеры.

На рис. 1 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона

`(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_(«тр») + vec F`.

Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

и в процессе торможения `(F = 0)`

Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки:

`sum Delta p_x = sum_(0 <= t <= t_1) (F — F_sf»тр») Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (-F_sf»тр» ) Delta t`.

Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда

Далее рассмотрим пример, в котором одна из сил зависит от времени.

На какое максимальное расстояние `L_max` улетит мяч, если в процессе удара футболист действует на мяч постоянной по направлению силой, величина которой изменяется по закону, представленному на рис. 2. Длительность удара τ = 8 · 10 — 3 c \tau=8\cdot10^<-3>\;\mathrm c , максимальная сила F max = 3,5 · 10 3 H F_\max=3,5\cdot10^3\;\mathrm H , масса мяча m = 0,5 кг m=0,5\;\mathrm <кг>. Здесь и далее ускорение свободного падения g = 10 м / с 2 g=10\;\mathrm м/\mathrm с^2 . Сопротивление воздуха не учитывайте.

Так как `mg < < F_max`, силой тяжести пренебрежём. Из кинематики известно, что максимальная дальность полёта наблюдается при старте под углом `alpha = pi/4`. Процесс удара показан на рис. 3.

По второму закону Ньютона приращение импульса равно импульсу силы `Delta vec p = vec F * Delta t`. Переходя к проекциям приращения импульса и силы на ось `Ox`, получаем

`Delta p_x = F Delta t`.

Просуммируем элементарные приращения импульса мяча за время удара

`sum Delta p_x = mv — 0 = sum_(0 <= t <= tau) F Delta t`.

Импульс силы `sum_(0 <= t <= tau) F(t) Delta t` за время удара численно равен площади под графиком зависимости этой силы от времени (каждое слагаемое `F(t) Delta t` в импульсе силы можно интерпретировать как площадь элементарного прямоугольника со сторонами `F(t)` и `Delta t` на графике зависимости `F(t)`). Тогда импульс силы `F` за время удара равен

`sum_(0 <= t <= tau) F Delta t = (F_max tau)/2`

и в рассматриваемом случае не зависит от того, в какой именно момент времени сила достигает максимального значения (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту!). Далее находим импульс мяча в момент окончания действия силы

`mv = 1/2 F_max * tau`.

Отсюда находим начальную скорость полёта мяча

`v = (F_max * tau)/(2m) = (3,5 * 10^3 * 8 * 10^-3)/(2 * 0,5) = 28 sf»м/с»`

и максимальную дальность (старт под углом `alpha = pi/4`) полёта

`L_max = (v^2)/g = (28^2)/(10)

В рассматриваемом модельном примере получен несколько завышенный по сравнению с наблюдениями результат.

На вступительных испытаниях и олимпиадах в вузах России регу­лярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с «традицион­ными» силами: силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело дейст­вует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.

Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v = 10 sf»м/с»`, упал на землю, имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине на `delta = 30 %` меньшую, чем при бросании. Найдите время по­лёта мяча. Считать, что сила сопротивления движению мяча пропорциональна его скорости.

Согласно второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы:

`m * Delta vec v = (m vec g — k vec v) * Delta t`.

Переходя к проекциям сил и приращения скорости на вертикальную ось, получаем

`m * Delta v_y = — mg * Delta t — k * v_y * Delta t`.

Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`, и перепишем последнее соотношение в виде:

`m * Delta v_y = — mg * Delta t — k * Delta y`.

Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`:

`m * (sum Delta v_y) = — mg * (sum Delta t) — k* (sum Delta y)`.

Переходя к конечным приращениям, получаем

`m (v_y (T) — v_y (0)) = — mg (T — 0) — k (y (T) — y (0))`.

Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое

Тогда `- (1 — delta) mv_0 sin alpha — mv_0 sin alpha = — mgT`. Отсюда находим продолжительность полёта мяча:

`T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 — delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 — 0,3)

В следующем примере рассматривается удар, в ходе которого две очень большие силы, «согласованно» действуют во взаимно перпендикулярных направлениях.

Кубик, движущийся поступа­тельно со скоростью `v` (рис. 4) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой.

Коэффициент трения `mu` скольжения кубика по стенке и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.

Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 5.

По второму закону Ньютона

`Delta vec p = (m vec g + vecN_(«г») + vecF_(«тр») + vecN_(«в») ) * Delta t`.

Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

`Delta p_x = — F_sf»тр» Delta t`, `Delta p_y = N_sf»в» Delta t`.

Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf»в» Delta t` по всему времени `tau` соуда­рения, получим:

`sum Delta p_y = p_y (tau) — p_y (0) = mv sin alpha — (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf»в» Delta t`.

В процессе удара в любой момент времени `F_sf»тр» = mu N_sf»в»`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения

`sum_(0 <= t <= tau) F_sf»тр» Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf»в» Delta t = mu 2 mv sin alpha`.

Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для этого просуммируем приращения

`Delta p_x = — F_sf»тр» Delta t = — mu N_sf»в» Delta t`

по всему времени `tau` соударения, получим:

`sum Delta p_x = p_x (tau) — p_x (0) = mv_x (tau) — mv cos alpha = — sum _(0 <= t<= tau) F_sf»тр» Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.

Отсюда `v_x (tau) = v (cos alpha — 2 mu sin alpha)`. Далее, считая `v_x (tau) > 0`, получаем

`bbb»tg» beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha — 2 mu sin alpha)`.

Формула жесткости пружины

Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости.

Чаще всего ее обозначают $<\overline>_$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.

Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($\overline$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).

Силу $\overline$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости ($<\overline>_u$), уравновешивающая силу $\overline$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($\Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:

где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.

Жесткость (как свойство) — это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости — это основная характеристика жесткости (как свойства тела).

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:

где $G$ — модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ — диаметр проволоки; $d_p$ — диаметр витка пружины; $n$ — количество витков пружины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Формула жесткости соединений пружин

Пусть $N$ пружин соединены последовательно. Тогда жесткость всего соединения равна:

где $k_i$ — жесткость $i-ой$ пружины.

При последовательном соединении пружин жесткость системы определяют как:

Примеры задач с решением

Задание. Пружина в отсутствии нагрузки имеет длину $l=0,01$ м и жесткость равную 10 $\frac<Н><м>.\ $Чему будет равна жесткость пружины и ее длина, если на пружину действовать силой $F$= 2 Н? Считайте деформацию пружины малой и упругой.

Решение. Жесткость пружины при упругих деформациях является постоянной величиной, значит, в нашей задаче:

При упругих деформациях выполняется закон Гука:

\[F=k\Delta l\ \left(1.2\right).\]

Из (1.2) найдем удлинение пружины:

Длина растянутой пружины равна:

Вычислим новую длину пружины:

Ответ. 1) $k’=10\ \frac<Н><м>$; 2) $l’=0,21$ м

Задание. Две пружины, имеющие жесткости $k_1$ и $k_2$ соединили последовательно. Какой будет удлинение первой пружины (рис.3), если длина второй пружины увеличилась на величину $\Delta l_2$?

Решение. Если пружины соединены последовательно, то деформирующая сила ($\overline$), действующая на каждую из пружин одинакова, то есть можно записать для первой пружины:

Для второй пружины запишем:

Если равны левые части выражений (2.1) и (2.2), то можно приравнять и правые части:

Вращательное движение и угловая скорость твердого тела

Иногда применительно к автомобилям всплывают вопросы из математики и физики. В частности, одним из таких вопросов является угловая скорость. Она имеет отношение как к работе механизмов, так и к прохождению поворотов. Разберёмся же, как определить эту величину, в чём она измеряется и какими формулами тут нужно пользоваться.

• Как определить угловую скорость: что это за величина?
• Формула времени, за которое вращается точка по окружности заданного радиуса
• Угол поворота и период обращения
• Чему равна угловая скорость в конкретных случаях?
• Связь угловой и линейной скоростей
• Ускорение, момент и связь их с массой
• Шарнир как пример передачи импульса

Как определить угловую скорость: что это за величина?

С физико-математической точки зрения эту величину можно определить следующим образом: это данные, которые показывают, как быстро некая точка осуществляет оборот вокруг центра окружности, по которой она движется.

Эта, казалось бы, чисто теоретическая величина, имеет немалое практическое значение при эксплуатации автомобиля. Вот лишь несколько примеров:

• Необходимо правильно соотносить движения, с которыми вращаются колёса при повороте. Угловая скорость колеса автомобиля, движущегося по внутренней части траектории, должна быть меньше, чем у внешнего.
• Требуется рассчитывать, насколько быстро в автомобиле вращается коленвал.
• Наконец, сама машина, проходя поворот, тоже имеет определённую величину параметров движения – и от них на практике зависит устойчивость автомобиля на трассе и вероятность опрокидывания.

• Фейсбук
• Гугл+
• ЖЖ
• Blogger

Формула времени, за которое вращается точка по окружности заданного радиуса

Для того, чтобы рассчитывать угловую скорость, используется следующая формула:

ω = ∆φ /∆t

• ω (читается «омега») – собственно вычисляемая величина.
• ∆φ (читается «дельта фи») – угол поворота, разница между угловым положением точки в первый и последний момент времени измерения.
• ∆t (читается «дельта тэ») – время, за которое произошло это самое смещение. Точнее, поскольку «дельта», это означает разницу между значениями времени в момент, когда было начато измерение и когда закончено.

Приведённая выше формула угловой скорости применяется лишь в общих случаях. Там же, где речь идёт о равномерно вращающихся объектах или о связи между движением точки на поверхности детали, радиусом и временем поворота, требуется использовать другие соотношения и методы. В частности, тут уже будет необходима формула частоты вращения.

Угловая скорость измеряется в самых разных единицах. В теории часто используется рад/с (радиан в секунду) или градус в секунду. Однако эта величина мало что означает на практике и использоваться может разве что в конструкторской работе. На практике же её больше измеряют в оборотах за секунду (или минуту, если речь идёт о медленных процессах). В этом плане она близка к частоте вращения.

• Фейсбук
• Гугл+
• ЖЖ
• Blogger

Понятие скорости

Когда мы сравниваем движение каких-либо тел, то говорим, что одни тела двигаются быстрее, а другие — медленнее. Такую простую терминологию мы используем в повседневной жизни, говоря, например, о движении транспорта. В физике быстрота движения тел характеризуется определенной величиной. Эта величина называется скоростью. Общее определение скорости (в случае, если тело движется равномерно):
Определение 1

Скорость при равномерном движении тела — это физическая величина, показывающая, какой путь прошло тело за единицу времени.

Под равномерным движением тела подразумевается, что скорость тела постоянна. Формула нахождения скорости: $v=\frac$, $s$ — это пройденный телом путь (то есть длина линии), $t$ — время (то есть промежуток времени, за который пройден путь).