Кольцо с единицей
Из определения кольца не вытекает существование или отсутствие в нем единицы е. Но, как было доказано в алгебре на I курсе, если в кольце К единичный элемент существует, то только один. В нулевом кольце , состоящем только из одного нуля, элемент 0 одновременно является и единицей, т.к. .
Определение. Нулевое кольцо К, в котором есть единичный элемент е, называется кольцом с единицей.
Примерами колец с единицей являются: кольцо целых чисел Z; кольцо рациональных чисел Q; кольцо действительных чисел R; кольцо комплексных чисел С; кольцо матриц n-го порядка над полями R, Q, C, единицей этих колец является матрица
Примерами кольца, в котором нет единицы, служит кольцо целых чисел, кратных произвольно выбранному натуральному числу m>1; в частности, нет единицы в кольце четных целых чисел.
Пусть К – произвольное кольцо с единицей е. Для всякого отличного от нуля элемента а К справедливы равенства
Отсюда следует, что .
Если для элемента а К в кольце К существует обратный элемент а -1 , то только один. Элемент е является обратным для самого себя. Из равенства следует, что элемент – е также является обратным для самого себя. Элемент 0 не имеет обратного элемента, т.к. для любого а К. Если для а К в кольце К существует обратный элемент а -1 , то а , по определению делителей элемента кольца, является делителем e, т.к. .
Поэтому можно принять такое определение.
Определение 2. Элемент а, для которого в кольце К существует обратный элемент а -1 , называется обратимым или делителем единицы.
Пример. Кольцо Z является самым простым примером коммутативного кольца, в котором только 1 и -1 являются делителями единицы.
Теорема 3. Множество К * всех делителей единицы кольца К является группой по умножению.
□ Пусть элементы , т.е. являются делителями единицы е. Значит и , а это значит, что а -1 и ab тоже являются делителями е, а, значит, содержатся в К * , е также содержится в К * . Поэтому К * является мультипликативной группой.
Группа К * называется группой делителей единичного элемента, или группой обратимых элементов кольца К.■
Делители нуля. Область целостности
Пусть К – произвольное кольцо. Для выполняется равенство . Следовательно, каждый элемент кольца является делителем нуля. Но в теории колец принимают следующее определение делителей нуля.
Определение 3. Элементы а и b кольца К называются делителями нуля, если и , но ab=0, при этом а называется левым, а b – правым делителем нуля.
В коммутативных кольцах очевидно, что понятия левого и правого делителей нуля совпадают.
Пример 1. В качестве кольца К рассмотрим кольцо классов вычетов Zm, где m – некоторое составное целое число, например, . Тогда классы вычетов и отличные от нулевого класса 
, а их произведение равно нулевому классу: . Следовательно, классы и являются делителями нуля в кольце Zm.
Пример 2. В кольце Rn матриц n-го порядка ( ) с действительными элементами матрицы
являются делителями в кольце Rn.
Определение 4. Коммутативное кольцо с единицей, в котором нет делителей нуля, называется областью целостности.
Пример 1. Очевидно, что всякое числовое кольцо является областью целостности.
Пример 2. Областью целостности является всякое поле Р, т.к. .
Делитель нуля — Zero divisor
В аннотация алгебра, элемент a кольца R называется левым делителем нуля, если существует ненулевой x такой, что ax = 0, или эквивалентно если отображение из R в R, которое отправляет x в ax, не является инъективным (один к одному ). Аналогично, элемент a кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевое y такое, что ya = 0. Это частный случай делимости в кольцах. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делителем нуля . Элемент a, который является как левым, так и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0). Если кольцо коммутативно, то левый и правый делители нуля совпадают.
Элемент кольца, который не является левым делителем нуля, называется левым обычным или левым отменяемым . Точно так же элемент кольца, который не является правым делителем нуля, называется правым регулярным или правым сокращаемым . Элемент кольца, который может сокращаться слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется обычным или сокращаемым, или ненулевым делителем . Дивизор нуля, который не равен нулю, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Если в R нет нетривиальных делителей нуля, то R является областью.
Содержание
- 1 Примеры
- 1.1 Односторонний делитель нуля
Примеры
- В кольцо Z / 4 Z <\ displaystyle \ mathbb
/ 4 \ mathbb > , класс остатка 2 ¯ <\ displaystyle <\ overline <2>>> является делителем нуля, поскольку 2 ¯ × 2 ¯ = 4 ¯ = 0 ¯ <\ displaystyle <\ overline <2>> \ times <\ overline <2>> = <\ overline <4>> = <\ overline <0>>> . - Единственный делитель нуля кольца Z <\ displaystyle \ mathbb
> из целых чисел равен 0 <\ displaystyle 0>. - A нильпотентный элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля. e ≠ 1 <\ displaystyle e \ neq 1>кольца всегда является двусторонним делителем нуля, поскольку e (1 — e) = 0 = (1 — e) e <\ displaystyle e (1- е) = 0 = (1-e) e>.
- Кольцо из n × n <\ displaystyle n \ times n>матриц над полем имеет ненулевые делители нуля, если n ≥ 2 <\ displaystyle n \ geq 2>. Примеры делителей нуля в кольце матриц 2 × 2 <\ displaystyle 2 \ times 2>(над любым ненулевым кольцом ) показаны здесь: (1 1 2 2) (1 1 — 1 — 1) = (- 2 1 — 2 1) (1 1 2 2) = (0 0 0 0), <\ displaystyle <\ begin
1 1 \\ 2 2 \ end ><\ begin 1 1 \\ — 1 -1 \ end > = <\ begin -2 1 \\ — 2 1 \ end ><\ begin 1 1 \ \ 2 2 \ end > = <\ begin 0 0 \\ 0 0 \ end >,> (1 0 0 0) (0 0 0 1) = (0 0 0 1) ( 1 0 0 0) = (0 0 0 0) <\ displaystyle <\ begin 1 0 \\ 0 0 \ end ><\ begin 0 0 \\ 0 1 \ end > = <\ begin 0 0 \\ 0 1 \ end ><\ begin 1 0 \\ 0 0 \ end > = <\ begin 0 0 \\ 0 0 \ end >> . - A прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в R 1 × R 2 <\ displaystyle R_ <1>\ times R_ <2>> с каждым R i <\ displaystyle R_ > ненулевое значение, (1, 0) (0, 1) = (0, 0) <\ displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)>, поэтому (1, 0) <\ displaystyle (1,0)>— делитель нуля.
Односторонний делитель нуля
- Рассмотрим кольцо (формальных) матриц (ху 0 Z) <\ displaystyle <\ begin
x y \\ 0 z \ end >> с x, z ∈ Z <\ displaystyle x, z \ в \ mathbb > и y ∈ Z / 2 Z <\ displaystyle y \ in \ mathbb / 2 \ mathbb > . Тогда (xy 0 z) (ab 0 c) = (xaxb + yc 0 zc) <\ displaystyle <\ begin x y \\ 0 z \ end ><\ begin a b \\ 0 c \ end > = <\ begin xa xb + yc \\ 0 zc \ end >> и (ab 0 c) (xy 0 z) = (xaya + zb 0 zc) <\ displaystyle <\ begin a b \\ 0 c \ end ><\ begin x y \\ 0 z \ end > = <\ begin xa ya + zb \\ 0 zc \ end >> . Если x ≠ 0 ≠ z <\ displaystyle x \ neq 0 \ neq z>, то (xy 0 z) <\ displaystyle <\ begin x y \\ 0 z \ end >> является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда x <\ displaystyle x>четно, поскольку ( ху 0 z) (0 1 0 0) знак равно (0 Икс 0 0) <\ displaystyle <\ begin x y \\ 0 z \ end ><\ begin 0 1 \\ 0 0 \ end > = <\ begin 0 x \\ 0 0 \ end >> , и это правый делитель нуля тогда и только тогда, когда z <\ displaystyle z>даже по аналогичным причинам. Если любое из x, z <\ displaystyle x, z>равно 0 <\ displaystyle 0>, то это двусторонний делитель нуля. - Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Пусть S <\ displaystyle S>будет набором всех последовательностей целых чисел (a 1, a 2, a 3. ) <\ Displaystyle (а_ <1>, а_ <2>, а_ <3>. )> . В качестве кольца возьмем все аддитивные карты от S <\ displaystyle S>до S <\ displaystyle S>с точечное сложение и состав в качестве кольцевых операций. (То есть наше кольцо — это E nd (S) <\ displaystyle \ mathrm
(S)> , кольцо эндоморфизма аддитивная группа S <\ displaystyle S>.) Три примера элементов этого кольца — сдвиг вправо R (a 1, a 2, a 3. ) = (0, a 1, a 2. ) <\ Displaystyle R (a_ <1>, a_ <2>, a_ <3>. ) = (0, a_ <1 >, a_ <2>. )> , сдвиг влево L (a 1, a 2, a 3. ) = (a 2, a 3, a 4. ) <\ displaystyle L (a_ <1>, a_ <2>, a_ <3>. ) = (a_ <2>, a_ <3>, a_ <4 >. )> , и отображение проекции на первый фактор P (a 1, a 2, a 3. ) = (A 1, 0, 0. ) <\ displaystyle P (a_ <1>, a_ <2>, a_ <3>. ) = (a_ <1>, 0,0. )> . Все три из этих аддитивных карт не равны нулю, а составные части LP <\ displaystyle LP>и PR <\ displaystyle PR>оба равны нулю, поэтому L <\ displaystyle L>— левый делитель нуля, а R <\ displaystyle R>— правый делитель нуля в кольце аддитивные карты из S <\ displaystyle S>в S <\ displaystyle S>. Однако L <\ displaystyle L>не является правым делителем нуля, а R <\ displaystyle R>не является левым делителем нуля: составное LR <\ displaystyle LR>— это идентификатор. RL <\ displaystyle RL>— двусторонний делитель нуля, поскольку RLP = 0 = PRL <\ displaystyle RLP = 0 = PRL>, а LR = 1 <\ displaystyle LR = 1>не в каком-либо направлении.
Непримеры
- Кольцо целых чисел по модулюпростого числа не имеет делителей нуля, кроме 0. Поскольку каждый ненулевой элемент является единицей, это кольцо является конечным полем.
- В более общем смысле, делительное кольцо имеет нет делителей нуля, кроме 0.
- A ненулевоекоммутативное кольцо, у которого единственный делитель нуля равен 0, называется областью целостности.
Свойства
- В кольце n-by- n матриц над полем, левый и правый делители нуля совпадают; это в точности особые матрицы. В кольце матриц размером n на n над областью целостности делители нуля — это в точности матрицы с определителем ноль.
- Левый или правый делитель нуля никогда не может быть units, потому что если a обратимо и ax = 0, то 0 = a0 = aax = x для некоторого ненулевого x.
- Элемент отменяемый на сторона, на которой это регулярно. То есть, если a является левым регулярным, ax = ay подразумевает, что x = y, и аналогично для правого регулярного.
Ноль как делитель нуля
Нет необходимости в отдельном соглашении относительно этого случая a = 0, потому что определение применяется и в этом случае:
- Если R — кольцо, отличное от нулевого кольца, то 0 является (двусторонним) делителем нуля, потому что 0 · a = 0 = a · 0, где a — ненулевой элемент R.
- Если R является нулевым кольцом, в котором 0 = 1, то 0 не является делителем нуля, потому что там не является ненулевым элементом, который при умножении на 0 дает 0.
Такие свойства необходимы для того, чтобы сделать следующие общие утверждения верными:
- В коммутативном кольце R набор ненулевых делителей равен мультипликативный набор в R. (Это, в свою очередь, важно для определения полного факторкольца.) То же самое верно для набора не левых делителей нуля и множество неделителей нуля вправо в произвольном кольце, коммутативном или нет.
- В коммутативном Noe терианова кольца R, набор делителей нуля представляет собой объединение связанных простых идеалов кольца R.
Некоторые ссылки предпочитают исключать 0 как делитель нуля по соглашению, но тогда они должны вводить исключения в только что сделали два общих заявления.
Делитель нуля на модуле
Специализация определений «M-регулярных» и «делителей нуля на M» для случая M = R восстанавливает определения «регулярного» и «делителя нуля», данные ранее в этой статье.
Кольца, тела, поля
Определение 2.5. Кольцом называют алгебру сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых выполняются равенства:
Операцию , сигнатура которой состоит только из операций сложения кольца , сигнатура которой включает только умножение кольца , такая, что:
Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным, если его операция умножения коммутативна.
Пример 2.12. а. Алгебра есть коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра кольцом не будет, поскольку — коммутативный моноид, но не группа.
б. Рассмотрим алгебру с операцией сложения по модулю (умножения по модулю равно остатку от деления на кольцом вычетов по модулю в. Алгебра — коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств.
г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем — нулевая.
Произведением линейных операторов , такой, что для любого кольцом линейных операторов в линейном пространстве
Основные аксиомы и тождества кольца
Аксиомы кольца называют также основными тождествами кольца. Тождество кольца — это равенство, справедливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них.
Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания.
Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества:
Докажем тождество . Запишем для произвольного а:
Итак, . Последнее равенство можно рассматривать как уравнение в аддитивной группе кольца относительно неизвестного элемента . Тождество . Имеем
откуда . Точно так же можно доказать, что .
Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем
т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично.
Следствие 2.1. В любом кольце справедливо тождество .
Указанное следствие вытекает из второго тождества теоремы 2.8 при аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел.
Кольца и делители нуля
Ненулевые элементы или . Пример кольца с делителем нуля дает любое кольцо вычетов по модулю , дающих при обычном перемножении число, кратное . Другой пример дает кольцо квадратных матриц фиксированного порядка (не меньшего двух). Например, для матриц второго порядка имеем
При отличных от нуля , не может образовывать группы по умножению, так как нуль не может иметь обратного. Действительно, если предположить, что такой элемент , откуда . Это противоречит условию . Таким образом, поставленный выше вопрос можно уточнить так: в каких случаях множество всех ненулевых элементов кольца образует группу по умножению?
Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю.
Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом, коммутативное тело — полем, а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению — мультипликативной группой этого тела (поля). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля.
Поле есть алгебра , сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем справедливы тождества:
Пример 2.13. а. Алгебра есть поле, называемое полем рациональных чисел .
б. Алгебры и есть поля, называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно.
в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернион.
Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь числовыми расчетами, мы "работаем в полях", а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда "переселяемся" в поле комплексных чисел.
Делители нуля в кольце вычетов Zm
Отличные от нуля элементы кольца, произведение которых равно нулю, называются делителями нуля.
Т: Если НОД(m, ); ?Zm , то класс является делителем 0 в кольце вычетов Zm.
Доказательство: (m, )=d, d
Выберем а?, тогда (m,a)=d, d
Тогда, a=dx, m=dy, (x,y)=1
Очевидно, что m>d>0, поэтому
Следствие: любой класс вычетов в кольце Zm является либо нулевым, либо делителем нуля, либо обратимым в Zm. Действительно, если
Функция Эйлера
- *Ф-ей Эйлера называется числовая ф-ия, которая определяет число классов вычетов по mod m взаимно простых с этим модулем.
- *Ф-ей Эйлера называется числовая ф-ия, которая определяет число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m.
Из определения следует, что ф-ия Эйлера определяет число элементов в приведенной системе вычетов по mod m.
Определим способы вычисления ф-ии Эйлера ?(m).
Если m=1, то кольцо классов вычетов состоит из одного класса ; Если НОД(1,1)=1, то принято считать, что ?(1)=1
Если m=p, p — простое число, тогда ?(m)=?(р)=р-1
Теоремы Эйлера и Ферма
Т(Эйлера): Если целое число а взаимно просто с m, то .
Док-во: т.к. (а,m)=1, то коммутативная группа обратимых элементов кольца Zm.
Любой элемент группы Рm,т.е. класс , порождает подгруппу, порядок которой является делителем числа элементов в группе Рm, а это число элементов есть ?(m).
Порядком подгруппы называют такое натурально число s, что .
Т(малая теорема Ферма): Если р — простое число, а — произвольное целое число и (а,р)=1, то ар-11(mod p).
Док-во: Из теоремы Эйлера>, -целое.
Очень часто применяют следствие из малой теоремы Ферма, хотя ее бывает называют просто теоремой Ферма: ара(mod p)..
