Что такое экспонента простыми словами
Перейти к содержимому

Что такое экспонента простыми словами

  • автор:

 

Что такое экспонента простыми словами

Экспонента - это. Экспонента простыми словами. Экспоненциальный рост

Экспонента в математике – это функция «y=ex», которая отражает непрерывный рост с коэффициентом. В этой функции «е»‎ ‎– это число Эйлера, которое представляет собой постоянную (

2,72). Говоря иначе, рост любой величины прямо пропорционален ее значению.

Допустим, мы слепили снежный ком и спустили его с горы. Он начинает катиться, одновременно наращивая объем. При этом чем больше он становится, тем выше скорость его движения. И наоборот: чем быстрее он катится, тем быстрее увеличивается в размерах. Получается, что масса и скорость снежного кома (y) экспоненциально возрастают со временем (x).

Экспонента - это. Экспонента простыми словами. Экспоненциальный рост

Экспонента в жизни. Экспоненциальный рост

Рассмотрим примеры экспоненты и экспоненциального роста в реальной жизни.

Вирусы . Если представить, что один человек может заразить гриппом еще трех, то число зараженных со временем будет расти по экспоненте. Из одного больного получается четыре, из четырех – двенадцать, и так далее. Именно это и называется экспоненциальным ростом заболеваемости.

Вклад в банке под процент. У всех процессов, идущих по экспоненте, есть одна особенность: за одно и то же количество времени их параметры меняются одинаковое количество раз.

Например, вклад в банке каждый год увеличивается на определенное количество процентов. Если положить 1000 рублей в банк под 10% годовых, то через год вклад будет составлять 1100 рублей. А в следующем году 10% будут начисляться уже исходя из суммы в 1100 рублей. То есть, вклад вырастет сильнее, и так размер прироста будет увеличиваться из года в год.

Употребление пищи . К примеру, когда человек очень голоден, он начинает быстро поглощать пищу. По мере насыщения скорость употребления пищи падает, после чего сводится к нулю.

Численность животных. Чем больше популяция животных, тем больше они размножаются. Соответственно, рост численности популяции прямо пропорционален количеству особей в ней.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного?

Линейный рост характеризуется стабильным прибавлением постоянной, а экспоненциальный рост – это следствие многократного умножения на постоянную. То есть если линейный рост на графике представляет собой стабильную линию, то экспоненциальный рост характеризуется быстрым взлетом.

В качестве примера можно привести обычную ходьбу. Если длина одного шага составляет 1 метр, то через 6 шагов человек преодолевает расстояние в 6 метров. Это и называется линейным ростом.

При экспоненциальном росте длина каждого шага в нашем примере увеличивается в 2 раза. То есть сначала человек шагает на 1 метр, потом на 2 метра, потом на 4 метра и так далее. В таком случае за 6 шагов можно пройти 32 метра, что гораздо больше, чем в предыдущем примере.

Что такое Экспонента

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

График экспоненты выглядит следующим образом:

График экспоненты

Для чего используется экспонента?

Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

второй замечательный предел

Второй замечательный предел

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Как определить число е?

Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

  • через сумму ряда;
  • через формулу Муавра — Стирлинга;
  • другие.

Сумма ряда

Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

сумма ряда

Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

метод Эйлера пример

И эти вычисления дали нам следующий результат:

otvet

Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формула Стирлинга:

Формула Муавра — Стирлинга

И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

Как запомнить число е

Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после «2,7» число «1828» появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

lnx=logex

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как logay.

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

 

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

John Naiper

Джон Непер — шотландский математик (1550–1617 гг.)

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Leonard Euler

Леонард Эйлер — швейцарский математик (1707–1783 гг.)

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Экспоненциальный рост

Журналисты, блогеры и диванные эксперты… Все используют фразы «экспоненциальный рост», а кто попроще «рост по экспоненте». Кое-кто, наверное, даже помнит, что такое экспонента, но вряд ли сможет объяснить простыми словами. Что же, пришла пора разобраться то, чем мы так часто пользуемся. Возможно, все совсем не так…

Экспонента

Здесь все просто (но это только пока). Многие считают, что экспонента это просто число е=2,718281828459045235360287. Конечно, это не так. Это самое число e, называется числом Эйлера, оно трансцендентно и иррационально, что звучит красиво и загадочно, но экспонента, не число, а функция.

Те, кто немного дружил с математикой в школе сразу заметят интересную особенность этой функции. Ее основанием является не отрицательное число, а значит, она будет всегда возрастать.

При х=0 у=1, при х=1, у=2,718, при х=2 y=7,39…. Ну а при х=10, у=22 026,5

Значение функции растет и растет явно очень быстро. Стремительно и неудержимо.

Экспоненциальный рост

Что такое экспоненциальный рост? Простыми словами, это такой рост, при котором, чем больше вырастят какое-либо значение, тем больше ускоряется его рост. То есть, со временем растет не только значение, но и сама скорость его роста.

А это, иными словами, означает, что значение переменной функции и скорость ее роста находятся в прямо пропорциональной зависимости. То есть, если значение увеличиться два раза, скорость роста увеличится тоже в 2 раза.

В конечном итоге, экспоненциальный рост — самый быстрый.

На самом деле, все вышесказанное касается любой показательной функции, а не только экспоненты.

Основанием может быть любое не отрицательное число, хоть два, хоть три, хоть… сколько угодно.

Несколько примеров из жизни

Самым актуальным и наглядным можно назвать ситуацию с распространением вируса (либо любой другой инфекции). Предположим, что каждый человек в течение дня заражает двух других. Тогда, в первый день у нас будет один инфицированный, во второй — трое. Один старый знакомый и два новых. Каждый из новичков, в свою очередь заразит двух других. В третий день — 7 заразившихся, в четвертый — 1, а пятый — 31… Стоп, это только при условии, что каждый человек заразит только двоих и, чудесным образом, перестанет это делать на протяжении следующих дней. Но ведь так не будет! Все эти люди и дальше будут заражать по 2 человека в день.

А раз так, то на третий день будет уже 9 разносчиков вируса, на пятый — 81, а через неделю по нашему воображаемому городу будет бродить уже 729 зараженных.

Это и будет экспоненциальный рост количества зараженных. Без учета их лечения, карантина или любых других мер, болезнь будет развиваться именно так. Через 10 дней зараженных людей будет уже 59 тысяч человек. Через 15 дней — более 14 миллионов. Просто математика, но какой яркий пример экспоненциального роста?

Легко вывести формулу: 1, 3, 9, 27, 81… это «три» в степени 2, 3 и 4. То есть, показательная функция с основанием 3.

И, хотя в этой формуле в степень возводится не число Эйлера (2,71828….), такой рост тоже называется экспоненциальным.

Еще один пример из биологии: размножение бактерий.

Бактерии размножаются делением. Каждая делится надвое и так далее… Но, конечно, не бесконечно. Предел есть, но об этом чуть позже.

Экспоненциальный рост в экономике

Есть примеры роста по экспоненте и в экономике. Самый интересный — финансовая пирамида. Самый безопасный — Закон Мура.

Первый закон Мура гласит, что количество транзисторов удваивается каждые 2 года. Таким образом и вычислительные мощности компьютера удваиваются каждые два года.

Второй Закон Мура (который сформулировал уже не Гордон Мур) гласит, что стоимость производства микросхем также возрастает экспоненциально из-за усложнения технологий.

Что же касается финансовых пирамид, то основная идея в том, что их рост обусловлен исключительно ростом количества «сектантов» верящих в огромные прибыли или тех, кто верит, что сумеет вовремя «соскочить». Так или иначе, пирамиды всегда рушатся. И вот вопрос, почему?

Но, конечно, рост не может продолжаться бесконечно. В случае с бактериями (и любыми другими организмами, да хоть мышами), наступит время, когда им не хватит пространства и пищи. В случае с микросхемами наступит физический предел скорости передачи данных (мы вряд ли сумеем превысить скорость света). Ну а всевозможные волшебные экономические модели в форме пирамид рано или поздно сталкиваются с той же проблемой, питательная среда в виде легковерных последователей

Логистическая кривая

В реальном мире, не таком идеальном как математика, любой процесс может столкнутся с пределом. В примере роста популяции бактерий или даже крупных животных, это количество ресурсов, которое всегда ограничено. Поэтому, при условии, что ресурсы не бесконечны, процесс развивается по s образной кривой. Сначала стремительно растет, а потом — замедляется.

В пример с вирусом, наступает день, когда большая часть населения уже переболела и выработала антитела (либо была искусственно привита) и вирус больше не может распространяться по экспоненциальному закону. Главный вопрос, можно ли точно предсказать этот день?

Мальтузианская ловушка

С экспонентой связан еще один занимательный экономический эффект — «мальтузианская ловушка». Представьте, что рост населения страны происходит по экспоненциальному закону. Например, каждая пара производит на свет не менее 4 детей, те в свою очередь поступают также. Рано или поздно, количество людей превысит количество пищи, необходимое для нормальной жизни.

Просто потому, что производительность труда физически ограничена (например, количеством плодородных земель), к тому же развитие технологий чаще всего происходит линейно, а экспонента всегда растет быстрее. Получается, что технологическое развитие общества не успевает за ростом населения.

Чем это заканчивается? Кризисом, голодом, войнами за ресурсы. Население уменьшается и все начинается с начала.

Почему это сложно представить?

Нам, людям, сложно себе представить развитие процесса «по экспоненте» потому, что не свойственно так мыслить. Мы привыкли к линейным и циклическим процессам. Они чаще встречаются в нашей жизни: циклические изменения дня и ночи и линейные изменения времени. Это просто и привычно. А вот экспоненциальные процессы встречаются реже.

Тем не менее они есть и игнорировать их опасно. Просто потому, что за этой скоростью нашему разуму сложно угнаться. Даже простые объяснения экспоненциального роста кажутся чем-то абстрактным, а ведь это не выдумка, а наша реальность.

Экспонента: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

  • Определение и формула экспоненты
  • График экспоненты
  • Свойства экспоненциальной функции

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Экспонента через предел

Через степенной ряд Тейлора:

Экспонента через степенной ряд Тейлора

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции

График экспоненты

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y .

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox , но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке , так как

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *