Как найти угол между градиентами функции в точках
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30
        2.29 Найти угол между градиентами скалярных полей U(x,y,z) и V(x,y,z) в точке M.
18.7. Производная по направлению. Градиент
Производной функции в точке 
по направлению 
называется предел
где 
если предел существует.
Если функция 
дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле
(18.31)
где 
– направляющие косинусы вектора
В частности, если 
– функция двух переменных, то формула (18.31) производной по направлению примет вид:
(18.32)
где 
– угол между вектором
и осьюОх.
Градиентомфункции
в точке
называется вектор
(18.33)
или, то же самое,
Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула
где 
– угол между векторами
и
Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшее значение производной 
достигаемое в направление градиента, равно
В частности, если 
– функция двух переменных, то
Пример 1. Найти производную функции 
в точке
по направлению вектора
образующего с положительным направлением осиОх угол 
Решение. Используя формулу (18.32), вычислим частные производные функции z в точке A:
Так как 
то
Пример 2. Найти производную функции 
в точке
по направлению к точке
Решение. Найдем вектор 
Его направляющие косинусы равны:
Найдем значения частных производных функции u в точке 
Тогда по формуле (18.31) получим:
Пример 3. Найти длину и направление (указать направляющие косинусы) градиента функции 
в точке
Решение. Вычислим частные производные функции u в точке М.
Используем формулу (18.33) при условии, что частные производные вычисляем в заданной точке 
Тогда 
Вычисляем длину полученного вектора:
Используем тот факт, что направляющие косинуса равны координатам единичного вектора направления, определяемого вектором дроби. Поэтому
Задания
I уровень
1.1.Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2.Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
1.3.Найдите величину и направление градиента функции
в точке
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
II уровень
2.1.Найдите производную указанной функции в точке
по направлению к точке
1) 
2) 
3) 
4) 
2.2.Найдите величину и направление градиента функции
заданной неявно, в точке
1) 
2) 
3) 
4) 
2.3.Найдите угол между градиентами функции
в точках
и
2.4.Найдите производную функции
в точке
в направлении
перпендикулярном к линии уровня, проходящей через эту точку.
III уровень
3.1. Найдите градиент функции
в точках
и
3.2.Определите, в каких точках градиент функции
удовлетворяет условию:
1) параллелен оси Оу;
2) перпендикулярен оси Оу;
3.3.Выясните, в каких точках градиент функции
удовлетворяет условию:
1) перпендикулярен прямой 
2) равен нулю.
3.4.Определите, в каких точках выполнено равенство
если
3.5.Найдите градиент функции
заданной неявно уравнением:
1) 
2)
3)
3.6.Определите направление наибыстрейшего возрастания функции:
1) 
2)
3) 
4)
18.8. Экстремумы функций двух переменных
Функция 
имеет в точке
локальный максимум (минимум), если существует такая-окрестность точкиМ0, что для всех точек
из этой окрестности (отличных отМ0) выполняется неравенство
Максимум и минимум функции называются ее экстремумами(локальными), а точкаМ0, в которой достигается экстремум, называетсяточкой экстремума.
Необходимое условие экстремума: если в точке 
дифференцируемая функция
имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
(18.34)
Точки, в которых частные производные существуют и равны нулю, называются стационарными.
Точки из области определения функции, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими точками.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточное условие экстремума. Пусть
– стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой функции
Обозначим:
1) если 
то функция имеет в точкеМ0локальный экстремум (максимум при
и минимум при
);
2) если 
то в точкеМ0функция не имеет экстремума;
3) если 
то в точкеМ0функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (нужны дополнительные исследования).
Допустим, что функция f(x;y) определена на некотором множестве
Число Сназываютнаибольшим значением функции(глобальный максимум) на множестве D, если
записывают так:
Число сназываютнаименьшим значением функции(глобальным минимумом) на множествеD, если
записывают так:
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве
функция
достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в области 
нужно:
1) найти критические точки функции, принадлежащие D, и вычислить значение функции в них;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области 
3) сравнить все полученные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Если область определения функции не является замкнутой, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:
1) найти критические точки функции, принадлежащие D;
2) исследовать найденные критические точки на экстремум (локальный);
3) вычислить значения функции в точках локального максимума (минимума) и отобрать среди них наибольшее (наименьшее).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Находим частные производные первого порядка:
Приравниваем их к нулю, чтобы найти стационарные точки:
Решая систему уравнений, получим: 
т. е.
Вычисляем значения частных производных второго порядка в точке М0:
Тогда 
Следовательно, в точке
экстремума нет.
Пример 2. Найти экстремум функции 
Решение. Частные производные первого порядка:
Частные производные второго порядка:
Тогда 
Поскольку 
то в точке
функция имеет минимум:
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области
ограниченной прямыми
Решение. 1) Вычислим частные производные и найдем критические точки:
Получим: 
– критическая точка, принадлежащая области
Вычислим в ней значение функции:
2) Исследуем функцию z на границе области 
(рис. 18.4).
Уравнение границы AB: 
Подставляем число –3 вместох в аналитическое задание функции: 
где
Исследуем полученную функцию, как функцию одной переменной, на наибольшее значение.
Найдем критические точки:
Получаем 
– критическая точка, при этом
Вычисляем значение функции в точке 
и на концах отрезка:
Уравнение границы BC: 
На этом участке уравнение функции имеет вид:
где
Поскольку 
то для
получаем критическую точку
Тогда
Уравнение границы AC: 
Тогда
где
Критическая точка
принадлежащая
Вычисляем значение функции для 
3) Из всех полученных значений z выбираем наименьшее и наибольшее:
Как найти угол между градиентами функции в точках
Найти угол между градиентами в двух точках.
функция z=arcsin(x/(x+y))
Точки: (1,1) и (3,4).
Проверьте пожалуйста решение. В нем явно есть ошибка. Или предложите другой ход решения.
Частные производные и градиенты получились такие: 
Повторно перерешал и нашел частные производные. Сам ошибок не нашел — примелькались уже. Вот подробный ход решения: 
Задача 1.
Найти производную скалярного поля 
в точке 
по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности 
, образующей острый угол с положительным направлением оси 
. 
Задача 2.
Найти угол между градиентами скалярных полей 
и 
в точке М. 
— искомый угол. 
высшая-математика — Найти угол между градиентами функций
Найти угол между градиентами функций z=sqrt(x^2-y^2) и z=x-3y+sqrt(5xy) в точке (-5;-4). Заранее большое спасибо.
задан 22 Янв ’14 17:08
1 ответ
$$ dz_1/dx=x/\sqrt<(x^2-y^2)>$$ $$ dz_1/dy=-y/\sqrt<(x^2-y^2)>$$ $$ dz_1/dx(M)=-5/\sqrt<(25-16)>=-5/3$$ $$ dz_1/dy(M)=4/\sqrt<(25-16)>=4/3$$ $$ grad z_1(M)=(-5/3;4/3)$$ Попробуйте аналогично найти второй градиент. А угол между векторами равен «скалярное произведение векторов деленное на произведение их длин».