Что такое особая точка

13

Особые точки функций комплексного переменного

Опр. Особой точкой функции называется точка в которой не определена или не дифференцируема.

Опр. Особая точка называется изолированной, если такая ее окрестность, в которой нет других особых точек.

Утв. Если — изолированная особая точка , то в окрестности , раскладывается в ряд Лорана.

Классификация особых точек

Опр1. Особая точка называется устранимой, если в ряде Лорана в окрестности этой точки отсутствует главная часть.

Опр2. Изолированная особая точка называется полюсом, если главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки имеет конечное число членов:

Число N называется кратностью (порядком полюса).

Утв. Если — полюс , то .

Док-во:

Опр3. Изолированная особая точка называется существенно особой, если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Связь между нулем и полюсом

Утв1. имеет в точке нуль порядка n имеет в точке полюс порядка n.

Док-во: <>

Утв2. имеет существенно особую точку в точке имеет в неизолированную особую точку ИЛИ существенно особую точку.

;

;

; ;

Таким образом, получаем не изолированную особую точку.

Утв3. Если ,

,

,

то имеет при:

1)mn устранимую особую точку,

2)m>n полюс порядка n-m.

;

Если -существенно особая точка функции , то .

1)

а)

-сходится при

сходится при

б) Предположим противное:

ограничена в окрестности точки .

в)

при (т.е. ограничена в окрестности ).

г)В круге ограничена, как непрерывная функция в замкнутой области.

д) Из б), в), г) следует ограничена на всей комплексной плоскости.

е) ограничена на С, аналитическая, по теореме Ляувилля противоречие.

2)

а) имеет не изолированную особую точку.

б) -изолированная особая точка

имеет изолированную особую точку в имеет существенно особую точку по Утв2 имеет существенно особую точку в

по 1)

Особые точки в бесконечности

Утв. Если -изолированная особая точка , то

Пусть . Раскладываем в окрестности нуля:

.

Опр. -изолированная особая точка. называется вычетом, где — коэффициент при -1 степени в разложении ряда Лорана:

Основная теорема о вычетах.

Если G – односвязная область, Г – замкнутый контур, Г ограничевает G, G содержит конечное число изолированных особых точек функции , то

.

Г

G

. . .

Окружит каждую особую точку окружностью так, чтобы внутри не было других особых точек, и чтобы и не пересекались(ij).

.

Утв. Если — устранимая особая точка , то (Т.к. главная часть ряда Лорана не содержит ни одного члена )

а) Утв. Если -простой полюс (полюс кратности 1), то .

,

имеет простой полюс.

б) Утв. Если ,,,, то .

-полюс I порядка

Утв. Если -полюс порядка n , то .

Переходим к и делим на :

;

Опр. — изолированная особая точка ,

, где Г- замкнутый контур.

Утв. Если , то .

1) .

,

при

3)

4)

Теорема. Если -изолированная особая точка, кроме имеется конечное число особых точек, то

Возьмем замкнутый контур С, охватывающий все особые точки, кроме

;

;

;

Опр. Логарифмическим вычетом называется:

, если С – замкнутый контур, — аналитическая внутри С и на нем за исключением конечного числа особых точек, все особые точки лежат внутри С, все особые точки – полюсы.

Утв1. Если , — нуль кратности фунции , то .

Для функции — полюс I порядка.

.

Утв2. Если -полюс кратности n функции , то .

.

Теорема. Логарифмический вычет функции относительно контура С равен приращению аргумента при обходе контура С, деленному на , равно разности между числом нулей М и числом полюсов N функции в облости D, ограниченной контуром С:

Док-во:

1)

2) Внутри С будет иметь конечное число нулей, т.к. она аналитическая в замкнутой области. В силу Утв1 и Утв2 :

3)

ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G, и аналитические в G и на С, на С, на С, — сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции , — сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции +, ТО .

1)

2)

3)

Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит. .

4)

Пример. Найти количество нулей, которые имеет функция в круге .

,

при :

имеет нуль кратности 5 w имеет 5 нулей.

Утв. Если , то имеет n корней.

С:

имеет нуль кратности n, т.о. имеет n нулей.

Теорема. Если , аналитическая в G , то — аналитическая.

1)

аналогично доказываем

Из пунктов 1) и 2) следует, что для F выполнены условия Коши-Римана, следовательно F аналитическая.

Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов

Теорема. Если при x=z, -изолированная особая точка f(z), имеет в нуль не ниже II порядка, не имеет особых точек на действительной оси, имеет конечное число особых точек, то , где распространяется на особые точки, лежащие выше действительной оси.

Возьмем круг такого радиуса, чтобы на нем и вне его не было особых точек, кроме бесконечности.

.

Пример. Найти интеграл:.

, ;

Опр. Функция называется оригиналом, если:

1) определена при , и являются кусочно-непрерывными на любом конечном интервале,

2) при

3).

Утв. Если -многочлен степени n, то .

, по правилу Лопиталя ;.

Опр. называется изображением, соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:

; .

Теорема. Если f(t) оригинал, то — изображение ,

1) сходится в полуплоскости ,

2) является в полуплоскости аналитической функцией от p.

1)

, таким образом F(p) сходится.

2) Аналитичность следует из теоремы, доказанной в предыдущей лекции.

След. Если F(p) – изображение некоторого оригинала, то

Зам. Если , то F(p) сходится равномерно.

Свойства преобразования Лапласа:

.

Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f(t) – оригинал, -оригинал, F(p)-изображение f(t), ,

то .

.

Следствие. Если -оригиналы, то .

далее по индукции.

Теорема о дифференцировании изображения.

Если , то .

Теорема об интегрировании оригинала.

Если , то .

1) Докажем, что -оригинал. а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.

б) , t>0 –очевидно.

в)

2) .

.

Теорема об интегрировании изображения

Если f(t) – оригинал, – оригинал, то .

.

,

.

Теорема о запаздывание

Если -оригинал, , то .

.

Если , то .

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

.

7.

.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Опр. Сверткой функций f и g называется

Утв. Если , g(t) – оригиналы, то f*g(t) – оригинал.

Пункты 1) и 2) в определении оригинала очевидно выполнены. Докажем выполнение пункта 3).

,

, где

Теорема о свертках.

Если f(t), g(t) – оригиналы, , , то .

Док-во:

.

Лемма1. Если f(z) – аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением, быть может, конечного числа точек, — полуокружность в верхней полуплоскости .

Док-во:

;

.

Лемма2. Если f(z) – аналитическая в левой полуплоскости, , то .

.

Если f(z) аналитическая, , то.

y

x

Докажем, что .

.

2)Если аналогично.

3) по Лемме 2.

4) Из пунктов 1), 2), 3) следует .

Лемма4. Если f(z) аналитическая , ,

то

Докозательство следует из Леммы3.

Теорема об интеграле Фурье.

Если f(t) кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема на R, то (сходится абсолютно).

Теорема обращения преобразования Лапласа.

Если f(t) – оригинал, , то .

;

;

;

Теорема разложения. , для выполнены условия леммы Жордана, то .

.

;

;

.

Особая точка кривой — Singular point of a curve

В геометрии, особая точка на кривой — это кривая, в которой кривая не задается с помощью плавного встраивания параметра. Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

Содержание

• 1 Алгебраические кривые на плоскости
  • 1.1 Правильные точки
  • 1.2 Двойные точки
    • 1.2.1 Кривые узлы
    • 1.2.2 Угловые узлы
    • 1.2.3 Куспиды
    • 1.2.4 Дополнительная классификация

    Алгебраические кривые на плоскости

    Алгебраические кривые на плоскости плоскость может быть определена как набор точек (x, y), удовлетворяющих уравнению вида f (x, y) = 0, где f является полиномиальной функцией f: R→R. Если f раскрывается как

    f = a 0 + b 0 x + b 1 y + c 0 x 2 + 2 c 1 xy + c 2 y 2 +… <\ displaystyle f = a_ <0>+ b_ <0 >x + b_ <1>y + c_ <0>x ^ <2>+ 2c_ <1>xy + c_ <2>y ^ <2>+ \ dots \,>

    Если начало координат (0, 0) находится на кривой, то a 0 = 0. Если b 1 ≠ 0, то теорема о неявной функции гарантирует, что существует гладкая функция h, так что кривая имеет форму y = h (x) около начала координат. Аналогично, если b 0 ≠ 0, тогда существует гладкая функция k, так что кривая имеет вид x = k (y) около начала координат. В любом случае существует гладкое отображение из R в плоскость, которая определяет кривую в окрестности начала координат. Обратите внимание, что в начале координат

    , чтобы кривая не была сингулярной или регулярной в начале координат, если хотя бы одна из частных производных функции f не равна нулю. Особые точки — это те точки на кривой, в которых обе частные производные равны нулю,

    Регулярные точки

    Предположим, что кривая проходит через начало координат, и запишем y = mx. Тогда f можно записать

    f = (b 0 + m b 1) x + (c 0 + 2 m c 1 + c 2 m 2) x 2 +…. <\ displaystyle f = (b_ <0>+ mb_ <1>) x + (c_ <0>+ 2mc_ <1>+ c_ <2>m ^ <2>) x ^ <2>+ \ dots. \,>

    Если b 0 + mb 1 не равно 0, то f = 0 имеет решение кратности 1 при x = 0, а начало координат является точкой единственного контакта с линией y = mx. Если b 0 + mb 1 = 0, то f = 0 имеет решение с кратностью 2 или выше и прямая y = mx, или b 0 x + b 1 y = 0, касается кривой. В этом случае, если c 0 + 2mc 1+c2m не равно 0, тогда кривая имеет точку двойного контакта с y = mx. Если коэффициент при x, c 0 + 2mc 1+c2m, равен 0, а коэффициент при x не равен, то начало координат является точкой перегиба кривой. Если коэффициенты при x и x равны 0, то начало координат называется точкой волнистости кривой. Этот анализ может быть применен к любой точке кривой, перемещая оси координат так, чтобы начало отсчета находилось в данной точке.

    Двойные точки

    Три лимона, иллюстрирующие типы двойных точка. При преобразовании в декартовы координаты как (x 2 + y 2 — x) 2 = (1.5) 2 (x 2 + y 2), <\ displaystyle (x ^ <2>+ y ^ <2>-x) ^ <2>= (1.5) ^ <2>(x ^ <2>+ y ^ <2>),> левая кривая приобретает узел в начале координат, который — изолированная точка на плоскости. Центральная кривая, кардиоида, имеет острие в начале координат. Правая кривая имеет кранод в начале координат, и кривая пересекает себя, образуя петлю.

    Если b 0 и b 1 оба равны 0 в приведенном выше расширении, но в по крайней мере одно из c 0, c 1, c 2 не равно 0, тогда начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положив y = mx, f можно записать

    f = (c 0 + 2 mc 1 + c 2 m 2) x 2 + (d 0 + 3 md 1 + 3 m 2 d 2 + d 3 m 3) х 3 +…. <\ displaystyle f = (c_ <0>+ 2mc_ <1>+ c_ <2>m ^ <2>) x ^ <2>+ (d_ <0>+ 3md_ <1>+ 3m ^ <2>d_ < 2>+ d_ <3>m ^ <3>) x ^ <3>+ \ dots. \,>

    Двойные точки могут быть классифицированы в соответствии с решениями c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0.

    Crunodes

    Если c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0 имеет два реальных решения для m, то равно, если c 0c2−c1 0, то источник называется acnode. В реальной плоскости начало координат — это изолированная точка на кривой; однако, если рассматривать ее как сложную кривую, начало координат не изолировано и имеет два мнимых касательных, соответствующих двум комплексным решениям c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0. В этом случае функция f имеет локальный экстремум в начале координат.

    Куспы

    Если c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0, имеет единственное решение кратности 2 для m, то есть если c 0c2−c1= 0, то начало координат называется куспидом. Кривая в этом случае меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет единственную касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные.

    Дополнительная классификация

    Термин узел используется для обозначения кранода или акнода, другими словами, двойной точки, которая не является куспидом. Количество узлов и количество выступов на кривой — это два инварианта, используемых в формулах Плюккера.

    Если одно из решений c 0 + 2mc 1 + mc 2 = 0 также является решением d 0 + 3md 1 + 3md 2 + md 3 = 0, то соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае происхождение называется флекнодом. Если обе касательные обладают этим свойством, то c 0 + 2mc 1 + mc 2 является множителем d 0 + 3md 1 + 3md 2 + md 3, тогда начало координат называется двойным узлом.

    Несколько точек

    Кривая с тройной точкой в начало координат: x (t) = грех ⁡ 2 t + cos ⁡ t, <\ displaystyle x (t) = \ sin 2t + \ cos t, \ quad>y (t) = sin ⁡ t + соз ⁡ 2 t <\ displaystyle y (t) = \ sin t + \ cos 2t>

    В общем случае, если все члены степени меньше k равны 0 и хотя бы один член степени k не равен 0 в f, то говорят, что кривая имеет кратную точку порядка k или k-точку. Кривая, как правило, имеет k касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми.

    Параметрические кривые

    A параметризованная кривая в R определяется как изображение функции g: R→R, g (t) = (g 1 (t), g 2 (t)). Особые точки — это те точки, где

    dg 1 dt = dg 2 dt = 0. <\ displaystyle \ over dt> = \ over dt> = 0.> A куспид в полукубической параболе y 2 = x 3 <\ displaystyle y ^ <2>= x ^ <3>>

    Многие кривые могут быть определены любым способом, но два определения может не согласиться. Например, куспид может быть определен на алгебраической кривой, x − y = 0, или на параметризованной кривой, g (t) = (t, t). Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако узел , такой как y − x − x = 0 в начале координат, является особенностью кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем ее как g (t) = (t− 1, t (t − 1)), то g ‘(t) никогда не обращается в нуль, и, следовательно, узел не является сингулярностью параметризованной кривой, как определено выше.

    Следует проявлять осторожность при выборе параметризации. Например, прямая y = 0 может быть параметризована как g (t) = (t, 0), которая имеет особенность в начале координат. При параметризации g (t) = (t, 0) он неособен. Следовательно, технически правильнее обсуждать, а не особую точку кривой.

    Приведенные выше определения могут быть расширены для охвата неявных кривых, которые определены как нулевой набор f (0) гладкой функции, и это не обязательно просто рассматривать алгебраические многообразия. Определения могут быть расширены для охвата кривых в более высоких измерениях.

    теорему . Любой замкнутый набор в R возникает как набор решений f (0) для некоторой сглаженной функции f: R→R.

    Любая параметризованная кривая также может быть определена как неявная кривая, и классификацию особых точек кривых можно изучить как классификацию особых точек алгебраического многообразия.

    Особая точка

    Особая точка — указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой… … Википедия

    ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия

    ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в которой нарушается аналитичность функции … Большой Энциклопедический словарь

    особая точка — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN singular point … Справочник технического переводчика

    ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия

    особая точка — аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции. * * * ОСОБАЯ ТОЧКА ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции … Энциклопедический словарь

    особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point particulier, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas

    особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point singulier, m … Fizikos terminų žodynas

    Особая точка функции — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия

    Особая точка дифференциального уравнения — У термина «особая точка» существуют и другие значения. В математике, особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Траектория соответствующего автономного обыкновенного дифференциального уравнения,… … Википедия

    Изолированные особые точки функций и полюсы

    Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

    Исследование функции в особой точке определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием . Очевидно, имеют место три возможности:

    Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная стремится к по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях .

    Будем рассматривать , где — особая точка.

    Пример 4.1. Исследовать существование в случаях a) .

    a) В действительной области не существует, так как не равны односторонние пределы , но существует предел второй функции: .

    б) В комплексной области, очевидно, не существует, так как он не существует в частном случае .

    Но для второй функции полученного выше результата не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

    Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е.

    Сравнивая этот результат с полученным выше , заключаем, что в комплексной области не существует.

    Аналогично можно показать, что не существует , хотя для случаев и (по действительной и мнимой осям).

    Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

    Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

    Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

    В частности, конечная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число эта точка- единственная особая точка , а в проколотой окрестности, т.е. в функция аналитическая.

    Бесконечно удаленная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в области эта точка — единственная особая точка , а в кольце функция — аналитическая.

    Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

    Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки ; б) ; в) .

    Так как особая точка является отсутствие главной части в разложении ее в окрестности точки .

    б) Для функции в соответствующем разложении главная часть содержит одно слагаемое, а предел функции равен бесконечности, . Этот результат можно обобщить: главная часть разложения функции по степеням содержит конечное число слагаемых:

    и функция может быть записана в виде , а поэтому .

    Типы особых точек функции

    В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

    Изолированная особая точка функции называется:

    Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки положить , то будет аналитической в и точку можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке устранена особенность.

    Пример 4.3. Определить тип особой точки для функций .

    На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что ; полюсом для при любом и .

    Пример 4.4. Определить тип особой точки и .

    Рассмотрим . Для удобства введем обозначение . Для функции получим (см. пример 4.2), поэтому . Для функции точка не существует (см. пример 4.1).

    Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) б) и определить их тип.

    Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.

    а) Так как числитель и знаменатель функции — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения . Это четыре точки , или в алгебраической форме: . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса .

    Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как для любой точки .

    б) Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых или , а также являются полюсами, так как . Точка (. Точку , так как .

    Теоремы Сохоцкого и Пикара

    Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

    Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если — существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность , сходящаяся к точке , такая, что .

    Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

    Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

    В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки и являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.

    а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем , если , если , то есть для последовательности , такой, что и , и для последовательности , такой, что и .

    Аналогично исследуем функцию . Для числа , где и тогда , а для , где и тогда .

    Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого .

    Например, для функции имеем . Отсюда получаем

    В частности, функция в любой окрестности точки принимает значение бесконечное множество раз: в точках (рис. 4.1).

    б) Точка , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции и точки .

    Ряд Лорана в окрестности особой точки

    В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

    1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции имеет вид

    для — конечной точки , и (для )

    2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции в случае полюса имеет вид

    3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции в случае — существенно особой точки имеет вид

    1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

    Так, точка является полюсом порядка функции , если в разложении (4.6) при является полюсом порядка функции , если в разложении (4.7) при .

    2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

    а) в случае в виде , или , или, подробнее:

    б) в случае в виде , или (см. (4.7)), или, подробнее:

    3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

    а) в случае в виде , или (см.(4.8)), или, подробнее:

    б) в случае в виде или (см.(4.9)), или, подробнее:

    Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) ; б) .

    Особыми точками функций являются . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.

    a) . В главной части разложения — один член ряда: , здесь , все для — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции .

    Аналогично из разложения получим такой же результат: точка .

    Разложение . Функции в окрестности .

    б) Из разложения следует, что .

    Из разложения , где и все для .

    Разложение в окрестности .

    Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:

    а) Используем разложения функций по степеням

    Убеждаемся, что для всех указанных функций точка

    Для первой функции при в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка является устранимой особой точкой.

    При является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что при . Рассуждая аналогично, получаем, что .

    Сравнивая разложения функций по степеням в окрестности (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при ) и Утверждение 4.2

    1. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была устранимой (или не особой) для .

    2. Чтобы функции , необходимо и достаточно, чтобы точка была полюсом порядка функции .

    3. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была существенно особой точкой функции .

    Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки , в которой функция не определена, но (см. утверждение 3.5) , так и для , устранимую особую точку . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции в точке .

    Пример 4.9. Исследовать точку ; б) ; в) .

    Для определения типа особой точки рассмотрим пределы .

    а) Так как , то точка , получим, что и рассмотрим функцию , то есть . Так как является нулем третьего порядка функции , то .

    б) Точка . Заметим, что для функции точка не является особой.

    в) Точка — устранимая для .

    Правила определения порядка полюса

    Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

    Пусть — полюс порядка функции . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

    где — функция, аналитическая в точке , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и .

    Далее рассмотрим функцию , то есть или , где — аналитическая в точке и . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что является нулем порядка функции . Можно доказать и обратное утверждение.

    А именно, если функция представлена в виде , где — функция, аналитическая в точке , и , то — полюс порядка функции , а также, если — нуль порядка функции , то для функции эта точка является полюсом порядка .

    Кроме того, рассмотрим частное , где точка является нулем порядка и нулем порядка , то есть . При , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что — полюс порядка . Заметим, что при точка — устранимая особая точка; случай Утверждение 4.3

    1. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

    2. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка функции (связь нулей с полюсами).

    3. Если точка является нулем порядка и нулем порядка , то она — полюс порядка для .

    Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

    а) Функцию запишем в виде и , т.е. в виде (4.14), из чего заключаем, что обе особые точки из находим, что следует: , и формула (4.14) не применима, так как . Воспользуемся п.3 утверждения 4.3. В случае функции , точка для знаменателя. Поэтому она — полюс порядка для дроби . Для функции точка

    1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

    2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида , где — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки — нуля порядка знаменателя:

    г) — нуль порядка функции , если — нуль порядка функции и .

    Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

    Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.

    Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.

    а) Особые точки функции . Для точки можно применить формулу (4.14) и из , где и , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки формула (4.14) не применима, так как из имеем . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию

    б) Особые точки функции — корни уравнения . Все эти точки: — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции .

    Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

    Рассуждаем и производим действия, как в предыдущем примере. Заметим при этом, что в случае "б" в отличие от предыдущего примера особая точка является нулем числителя.

    а) Раскладываем числитель и знаменатель на множители, записываем функцию . Получаем: — простой полюс функции ; — полюс второго порядка.

    б) Конечные особые точки функции: ; функцию записываем в виде . Получаем: — устранимая особая точка, так как , а точки и — простые полюсы.

    Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип:

    Конечными особыми точками этих функций вида , где — аналитическая функция, являются только нули знаменателя.

    а) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде — точка или . В точках числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде — точка или . Тогда для функции получаем

    Так как для или , то эти точки — устранимые особые точки функции .

    б) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы.

    Для точек и проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки .

    Пример 4.14. Определить тип особой точки ; б) .

    Решение. В точке функций

    находим, что и нуль пятого порядка для знаменателя . Следовательно, .

    б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням , находим, что для числителя и для знаменателя. Следовательно, .

    Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

    Конечными особыми точками функций, как и в предыдущих примерах, являются нули знаменателя.

    а) Особые точки функции — корни уравнения , или , то есть . Эти точки — простые нули знаменателя, а поскольку числитель не обращается в нуль , то все они — простые полюсы функции.

    б) Особые точки функции: и . Точка является нулем третьего порядка знаменателя, a — нули второго порядка. Так как в точках числитель в нуль не обращается, то эти точки — полюсы второго порядка для . Точки и для функции .

    Пример 4.16. Определить тип особой точки ; б) ; в) ; г) .

    а) Из разложений

    находим, что для числителя и — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как

    то, полагая , можно считать, что , причем (см. замечания 4.4).

    б) Из разложений

    находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .

    в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .

    Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

    Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.

    Практически удобное правило определения порядка полюса для функции , тогда для и можно записать (см. (4.14)). Поэтому, обозначив , для получим

    Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка функции в точке Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если для и для , то для функции .

    Пример 4.17. Определить тип особой точки для функций: а) ; б) .

    Так как в обоих случаях, то Первый способ. Разложение функции по степеням имеет вид , все , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что .

    Второй способ. Обозначим , получим функцию , для которой . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка для .

    Третий способ. Запишем функцию в виде и, так как функция — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что для .

    б) Разложение функции в ряд по степеням представляет некоторые трудности. Используем другие способы.

    Первый способ. Обозначим , получим , или .

    Поэтому является для и, следовательно, для .

    Второй способ. Представим функцию в виде или , где , и, согласно формуле (4.15), для .

    Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса для дроби , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, для числителя и — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому для .

    Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке для следующих функций: а) ; б) .

    Первый способ. Запишем разложения в ряд по степеням ;

    Из разложений следует, что для каждой из заданных функций.

    Второй способ. Обозначим и определим порядок полюса функции в точке

    В каждом случае получаем представление функции в виде , следовательно, для . Поэтому для .

    Третий способ. Представим функции в виде (4.15):

    Так как удовлетворяет условиям формулы (4.15), то заключаем, что для .

    Четвертый способ. Используем замечание 4.5, сравним порядки полюсов в точке и . Для первой функции для числителя и для знаменателя; для второй для числителя и для знаменателя. Следовательно, для каждой из функций .

    Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

    Пусть — особая точка функций и и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций . Рассмотрим следующие случаи.

    Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка для функции и полюсом порядка для функции .

    а) При исследовании суммы воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде

    При для суммы получаем или , где . Если , то для функции . Однако для функций может выполняться условие и' следовательно, . В этом случае формула (4.14) не применима и точка не будет полюсом порядка . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем в случае , где — порядок нуля функции . Если , то — устранимая особая точка для .

    Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

    б) Для исследования произведения воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции . Для первой из этих функций , для второй соответственно . а поэтому для она будет . Согласно п.2 утверждения 4.3, является для .

    в) Аналогичные рассуждения для частного приводят к результату: при является для .

    Второй случай. Пусть точка является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для и существенно особой для . Так как не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций . Следовательно, для каждой из них — существенно особая точка. Заметим, что для функции эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции .

    Третий случай. Пусть — полюс порядка для и устранимая особая точка для . Разложения этих функций в ряд в окрестности имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.

    а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции . Следовательно, для точка — полюс порядка .

    б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для , если .

    Если и для функции , то из равенства

    в) Для частного при условии из равенства заключаем, что для .

    Если и для , то, используя условие кратного нуля, из равенства

    заключаем, что является для , где — порядок полюса функции — порядок нуля функции в точке .

    1. Пусть точка является для функции и для функции . Тогда:

    а) для она будет , а при — устранимой особой точкой;

    б) для она является ;

    в) для она будет .

    2. Пусть — существенно особая точка для функции и устранимая особая точка или полюс для функции . Тогда — существенно особая точка для .

    3. Пусть точка является для функции и устранимой особой точкой для функции . Тогда:

    а) для она будет ;

    б) для она является , если , и , если и — порядок нуля в точке ;

    в) для она будет , если , и , если и — порядок нуля в точке ;

    4. Если точка для , то она существенно особая точка для сложной функции . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности .

    Пример 4.19. Определить тип особой точки , если , где , а функция определяется следующим образом:

    Очевидно, точка для и для в первых двух случаях; в последнем случае для .

    Для каждого из указанных случаев задания записываем разложение функции по степеням , из которого определяем тип точки

    Пример иллюстрирует п.1 утверждения 4.4.

    Пример 4.20. Найти особые точки функции . Определить их тип.

    Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого , особая точка второго слагаемого являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки -простые полюсы (см. п. 3 "а" утверждения 4.4).

    Точка — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 "а" утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: . Точка . Действительно,

    Точка содержится бесконечное множество особых точек вида . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.

    Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

    Обозначим — первое слагаемое, — второе слагаемое функции , т.е. имеем .

    а) Для точка является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для (п. 2 утверждения 4.4).

    Точки — полюсы второго порядка функции , так как ее можно записать в виде , где , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для эти точки не особые, то — полюсы второго порядка для (п. 3 утверждения 4.4).

    С помощью аналогичных рассуждений получаем, что .

    Особыми точками являются корни уравнения . Все они — простые нули знаменателя- функции , а потому — простые полюсы для . Так как эти точки не являются особыми для , то для — это простые полюсы.

    Точка — неизолированная особая точка .

    б) Точка — полюс дроби является существенно особой точкой для (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для и, следовательно, для .

    Точка , так как можно записать . Поскольку , то она — простой полюс для .

    Точка , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби . Так как , то она — устранимая особая точка для .

    Особыми точками являются простые нули знаменателя — корни уравнения . Все точки

    Читать:

    Kernel power 41 windows 10 как исправить