Что такое порядок группы

Порядок группы

Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

p-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

Абелева группа. см. коммутативная группа

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Антигомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(b) × f(a)

для произвольных a и b в G (сравните с гомоморфизмом).

Главный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором G_i — максимальная нормальная в G подгруппа из G_{i + 1} , для всех членов ряда.

$f : (G,*) \to (H,\times)$

Гомоморфизм групп — отображение групп такое, что

$f(a * b) = f(a) \times f(b)$

для произвольных a и b в G.

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера — Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Групповая алгебра группы G над полем K — это векторное пространство над K, образующими которого являются элементы G, а умножение образующих соответсвует умножению элементов G.

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H — это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс aH . Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H .

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в группе G — число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы G по этой подгруппе H.

Индексы ряда подгрупп — индексы | G_{i + 1}:G_i | в определении субнормального ряда подгрупп.

$g \in G$

Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента по подгруппе H в G есть множество

$gH= \<gh|h\in H\>.» width=»» height=»» /> Аналогично определяется правый класс смежности: <img decoding=$

Класс сопряжённости элемента есть множество

$\<hgh^<-1>|h\in G\>.» width=»» height=»» /> <img decoding=$

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или .

$\forall g, h \in G$

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g .

Коммутатор элементов g и h есть элемент [g,h] = ghg − 1 h − 1 .

$\left\lbrace[g, h]| g\in G, h\in H \right\rbrace$

Коммутатор подгрупп — множество всевозможных произведений .

Композиционный ряд группы G — ряд подгрупп, в котором все факторы G_{i + 1} / G_i — простые группы.

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечная p-группа — p-группа конечного порядка p n .

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Локальное свойство группы G . Говорят, что группа G обладает локальным свойством P , если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им.

Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

$N(H)=\<g\in G|gHg^<-1>=H\>.» width=»» height=»» /> Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если <img decoding=$

Перестановочные элементы — пара элементов такие что ab = ba .

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, <S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона J(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из G .

Подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G .

Подгруппа Фраттини Φ(G) группы G — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы G , если таковые существуют, и сама группа G в противном случае.

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом $\phi: G \rightarrow \mbox<Aut>(H)» width=»» height=»» /> (обозначается по разному, в том числе G ⋊φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (g1,h1) * (g2,h2) = (g1φ(h1)(g2),h1h2) для любых <img decoding=$ , $h_1,h_2 \in H$ .

Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной <e> и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂,h₁•h₂).

Расширение группы — группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G .

Ряд подгрупп — конечная последовательность подгрупп G₀,G₁. G_n называется рядом подгрупп, если $G_i \leq G_<i+1>» width=»» height=»» />, для всех <img decoding=$

$G=G_n\geq G_<n-1>\geq \dots \geq G_0=1″ width=»» height=»» /> Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами. Свободная группа, порождённая множеством A — это группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. Силовская подгруппа — p -подгруппа в G , имеющая порядок p n , где | G | = p n s , НОД (p,s) = 1 . Соотношение — тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями). Стабилизатор элемента p множества M , на котором действует группа G — подгруппа <img decoding=$ , все элементы которой оставляют p на месте: $g\cdot p = p$ .

Субнормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором подгруппа G_i нормальна в подгруппе G_{i + 1} , для всех членов ряда.

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

(aH) * (bH) = (ab)H.

Факторы субнормального ряда — фактор-группы G_{i + 1} / G_i в определении субнормального ряда подгрупп.

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Читать:

Как завершить разговор на айфоне

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = < $g \in G$ | gh = hg для любого $h \in G$ >,

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором

Что такое порядок группы

Порядок группы

Что такое поразрядная конъюнкция

Что такое посимвольное кодирование

Related Posts