Вектор конечного поворота что это

Задачи теории конечного поворота

Материал данного раздела излагается по методическому пособию [8].

Окончательно, матрица перехода между базисами ибудет иметь вид (по строкам записаны координаты ортов базисав базисе):

Сложение конечных поворотов

Предположим, что телу, имеющему неподвижную точку О, сообщается последовательно два поворота, задаваемые векторами (вокруг оси, определяемой единичным векторомна угол) и(вокруг осина угол). Угол между осями поворотов, меньший, обозначим, так что

,.

Необходимо описать такой вектор поворота (вокруг некоторой осина угол), который был бы эквивалентен по своему действию на твердое тело проследовательности поворотови.

Выражение для оси поворота – вектора будет иметь следующий вид:

Окончательно, с учетом определения вектора конечного поворота получим выражение, определяющие суммарный вектор конечного поворота :

Из этого соотношения следует, что сумма конечных поворотов некоммутативна (из-за наличия здесь векторного произведения ), т.е. результат последовательности поворотов,не эквивалентен результату последовательности поворотов,.

Сложение поворотов в терминах параметров Родрига-Гамильтона описывается т.н. кватернионнымпроизведением, результатом которого является кватернион:

Компоненты кватерниона могут быть выражены через компоненты кватернионов,с использованием следующих соотношений:

Выражение, позволяющее определить координаты вектора после поворота его с помощью кватернионавыглядит следующим образом:

,

или, учитывая выполнение условия для кватернионатакже можно записать:

,

где , а— сопряженный кватернион.

Вычитание поворотов

Выражение, определяющее поворот, к которому нужно прибавить , чтобы получить(т.е. найти разность поворотови), выглядит следующим образом:

1. Преобразование СК с помощью кватерниона.Система координат, образуемая ортогональным базисом, совмещается поворотом, описываемым кватернионом(заданным в этой СК), с системой координат, также построенной на ортогональном базисе. Записать соотношения, переводящие орты первой СК в соответствующие орты второй СК, а также выражение, определяющее координаты вектора, заданного в СК, во второй СК.

2. Восстановление кватерниона.В некоторой СК заданы два несовпадающих вектора одинаковой длиныи. Определить кватернион, совмещающий эти векторы по кратчайшему расстоянию. Определить другой кватернион, совмещающий эти векторы не по кратчайшему расстоянию.

3. Восстановление угла поворота. При вращении вокруг векторасовмещаются векторыиодинаковой длины, составляющие содин и тот же угол. Определить величину угла поворота.

4. Восстановление поворота. Конечный поворот корпуса ЛА определяется совмещением двух пар несовпадающих векторов с попарно равной длиной, причём любые три из них некомпланарны. Построить кватернион, характеризующий данный поворот.

5. Ориентация системы координат оружия ЛА. Положение связанных осей ЛА относительно инерциальной СК задано кватернионом. Положение осей системы оружия на борту ЛА относительно связанных осей определяется совмещением двух несовпадающих векторови, заданных в связанной СК, по кратчайшему расстоянию. Определить кватернион, связывающий инерциальную СК и СК системы оружия ЛА.

6. Переход между системами координат с помощью кватернионов.Взаимная ориентация связанной и начальной стартовой СК определяется углами тангажа, рысканияи крена. Построить кватернион, позволяющий пересчитывать векторы из одной СК в другую.

Содержание

В этой статье мы продолжим тему, начатую предыдущей публикацией. В прошлый раз мы, с помощью тензоров, выявили природу угловой скорости и получили уравнения общего вида, позволяющие её рассчитать. Мы пришли к тому, что она естественным путем выводится из оператора поворота связанной с телом системы координат.

А что внутри этого оператора? Для случая декартовых координат легко получить матрицы поворота и легко обнаружить их свойства, связав с ними какой-нибудь способ описание ориентации тела, например углы Эйлера или Крылова. Или вектор и угол конечного поворота. Или кватернион. Но это для декартовых координат.

Начав говорить о тензорах мы отреклись от декартовых координат. Тем хороша тензорная запись, что она позволяет составить уравнения для любой удобной системы координат, не зацикливаясь на её свойствах. И проблема в том, что для, например косоугольных координат, матрицы поворота, даже для плоского случая, крайне сложны. Мне хватило проверки их вида для простого поворота в плоскости.

Так что задача этой статьи — не заглядывая внутрь тензора поворота исследовать его свойства и получить тензорное соотношение для его расчета. А раз задача поставлена, то начнем её решать.

1. Свойства тензора поворота системы координат

Для того чтобы вернуться к вопросам механики свободного твердого тела, необходимо понять, что представляет собой тензор поворота. Свойства тензора определяются набором его компонент и соотношением между ними. Так как тензор поворота есть тензор второго ранга и его компоненты представлены матрицей, то, не в ущерб общей тематике цикла, изложение этого параграфа буду вести, употребляя термин «матрица». Привычную «бесточечную» запись матричного произведения будем писать с точкой, так как в рамках алгебры тензоров мы имеем дело с комбинацией тензорного произведения со сверткой. Однако, тут тоже нужна оговорка — раскритиковав сам себя за некорректное употребление термина «свертка», я упустил тот момент, что под сверткой часто понимают и её комбинацию с тензорным умножением. При этом говорят, например, «свернем вектор с тензором Леви-Чивиты и получим…», имея в виду как раз операцию внутреннего произведения.

Преобразование поворота метрического тензора есть тождественное преобразование

Вектор конечного поворота что это

Очевидно, твердое тело с неподвижной точкой может совершать только угловые перемещения. Эти перемещения называются поворотами. Основное свойство конечных поворотов твердого тела является их некоммутативность [1]. Рассмотрим это на простом примере. Пусть имеем твердое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Повернем параллелепипед сначала относительно оси x на 90 градусов, а затем относительно оси z на 90 градусов.

Эти повороты показаны на рис. 1. Далее изменим порядок поворотов и повернем параллелепипед сначала на 90° вокруг оси z а затем на 90° вокруг оси x (рис. 2).

Рис. 1. Расчётная схема №1

Рис. 2. Расчётная схема №2

Сравнение рис. 1 и 2 показывает, что конечное положение тела после двух поворотов зависит от их последовательности. Это и есть некоммутативность конечных поворотов. Из этого следует фундаментальное утверждение: конечные повороты твердого тела не обладают ни свойствами чисел, ни свойствами векторов.

Из теоремы Даламбера-Эйлера следует, что конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой определяется четырьмя параметрами — углом конечного поворота и тремя направляющими косинусами оси конечного поворота. Угол конечного поворота обозначим через α, косинус угла между осью конечного поворота и осью x через l, косинус угла между осью конечного поворота и осью y через m,косинус угла между осью конечного поворота и осью z через n. Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. После конечного поворота между подвижными и неподвижными осями образуются некоторые углы, косинусы которых представим в виде таблицы

Вектор конечного поворота что это

Рассмотрим твердое тело, имеющее неподвижную точку О, которую мы будем в дальнейшем принимать за начало координат. Пусть тело переместилось одного положения в другое.

Всякое перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, можно получить поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через эту неподвижную точку.

Орт оси поворота, который соответствует рассматриваемому нами перемещению тела, мы обозначим Этот орт мы будем считать направленным по оси в ту сторону, откуда вращение тела наблюдается происходящим против хода часовой стрелки (рис. 112).

Рассмотрим произвольную точку тела. При повороте она перейдет в новое положение описав дугу окружности с цептром С на оси вращения. Угол являющийся углом поворота тела, обозначим

Обозначим через вектор конечного перемещения точки в ее новое положение а через средний

радиус-вектор точки т. е. радиус-вектор середины отрезка

Треугольник равнобедренный и плоскость перпендикулярна вектору поэтому вектор перпендикуляреп векторам и одинаково направлен с их векторным произведением, т. е.

Отсюда получается окончательная формула конечного поворота:

Из чертежа (рис. 112) следует:

Полученный вектор направлен по оси поворота и имеет модуль зависящий только от угла поворота.

Этот вектор мы будем называть вектором конечного поворота твердого тела. Он вполне определяет поворот тела.

Согласно формуле конечного поворота (10.15) конечное перемещение точки твердого тела равно векторному

произведению вектора конечного поворота на средний радиус-вектор этой точки