Почему две параллельные прямые не пересекаются
Пятой аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых, так называемый постулат о параллельных линиях, который гласит: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. То есть эта аксиома утверждает, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.
Сложная формулировка пятого постулата Евклида о параллельных линиях породила множество гипотез и предположений о возможной зависимости его от других постулатов. Были предприняты многочисленные попытки вывести его из остальных аксиом геометрии, но, к сожалению, они оказались тщетны. Усилия доказать пятый постулат от противного также не увенчались успехом.
И все же, в начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Больяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.
Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в его именем.
Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского.
Аксиома параллельности Лобачевского выглядит следующим образом:
Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.
Непротиворечивость аксиомы доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.
Основы аналитической геометрии, заложенные Лобачевским, практически наметили необходимую для доказательства модель. Лобачевский заметил, что орисфера в пространстве изометрична евклидовой плоскости. Полностью реализовать модель смогли работы Клейна, Пуанкаре и других ученых.
Геометрия Лобачевского нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.
В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре, «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».
Кроме того, геометрия Лобачевского стала использоваться в теории чисел, а именно, в ее геометрических методах, так называемой «геометрии чисел».
Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света:
x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ,
при делении на t 2 , то есть для скорости света, даёт уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz, которые являются составляющими скорости света по осям х, у, z.
Преобразование Лоренца сохраняет эту сферу, а поскольку они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Из этого следует, (согласно модели Клейна) что в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с , значит есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.
В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская возможным тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.
Новое в блогах
Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?
Недавно в посте на околонаучные темы один из комментаторов завел разговор о геометрии Лобачевского (что он ее не понимает) и даже вроде попросил объяснить. Я тогда ограничилась утверждением, что понимаю. Объяснять эту теорию в ограниченных рамках комментария и одним текстом (без рисунков) показалось мне невозможным.
Однако, подумав, я все же решила попробовать дать небольшой популярный экскурс в эту теорию.
Немного предыстории. Геометрия со времен Евклида стала аксиоматической теорией, в которой большинство утверждений доказывалось на основе нескольких постулатов (аксиом). Считалось, что эти аксиомы «очевидны», т.е. отражают свойства реального (физического) пространства.
Одна из этих аксиом вызывала у ученых подозрение: а нельзя ли ее вывести из остальных постулатов? Современная формулировка этой аксиомы такова:
«Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей». То, что одну-то прямую можно провести, является не аксиомой, а теоремой.
При этом «параллельной» называется прямая, не пересекающая данную. Итак, суть аксиомы в том, что такая прямая – одна!
(Распространенное утверждение «Лобачевский доказал, что параллельные прямые могут и пересекаться» — конечно, является вопиюще неправильным! Ведь это бы противоречило их определению!)
Лобачевский, как и многие до него, решил доказать, что это утверждение можно вывести из других аксиом. Для этого он, как это часто делается в математике, выбрал метод «от противного», т.е. предположил, что прямых, не пересекающих данную, больше одной и попытался вывести из этого противоречие с другими фактами. Но чем дальше он развивал теорию, тем больше убеждался, что никакого противоречия не предвидится! Т.е. получалось, что теория с «неправильным» постулатом тоже имеет право на существование!
Конечно, в первое время его выкладки не признавали, смеялись над ним. Именно поэтому великий Гаусс (который пришел к тем же выводам) не рискнул опубликовать свои результаты. Но со временем пришлось признать, что ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ теория Лобачевского ничем не хуже евклидовой.
Один из остроумных способов убедиться в этом – придумать такие «прямые», которые ведут себя как «прямые» Лобачевского. И математики нашли такой пример, и не один.
Пожалуй, самой простой является модель Пуанкаре. Вы можете сами построить ее нехитрыми приборами.
Начертите не листке бумаги прямую. Возьмите циркуль и, ставя его иглу на эту прямую, нарисуйте полуокружности, находящиеся с одной стороны от прямой. Теперь сотрите прямую (и с ней – концевые точки полуокружностей). Так вот, эти полуокружности «без концов» и будут вести себя, как прямые в геометрии Лобачевского!
Действительно, выделим одну полуокружность и точку вне нее. Есть достаточно много полуокружностей, которые не пересекаются с исходной и все проходят через данную точку. Среди них выделяются две: они касаются нашей исходной «прямой» в концевых точках (которые мы, как Вы помните, стерли) Т.е. реального пересечения не происходит. Эти две окружности задают «границы», между которыми находятся все прямые, не пересекающие данную. Их – бесконечное количество.
Можно заметить, что треугольники в этой модели не такие, как на плоскости (евклидовой): сумма их углов меньше 180 градусов! Впрочем, чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов. В «малом», на небольших расстояниях, геометрия Лобачевского практически совпадает с геометрией Евклида. Поэтому, вообще говоря, мы не сможем «экспериментально» отличить одну от другой, если окажется, что доступные нам (космические) расстояния– малы для этой цели.
Впрочем, в наше время ни физики, ни, тем более, математики, не пытаются воспринимать геометрию Лобачевского как модель «реального», физического пространства. Математики поняли, что все, что они могут сказать: если верны такие-то аксиомы, то верны и такие-то теоремы. Ну, а что такое «множества», «точки», «прямые», «углы», «расстояния», и т.п. – этого мы не знаем! Прямо как у Станислава Лема: «Сепульки – это объекты для сепулькирования»
«Говорят, Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. [ … ] Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.»
Почему параллельные прямые не пересекаются?
На первый взгляд этот вопрос может показаться довольно глупым. Ну как могут пересекаться параллельные прямые? Хотя, если обратиться к разным видам геометрии, то можно заметить следующую особенность Параллельные прямые существуют лишь в евклидовой и Лобачевского – Бони геометриях. В геометрии Римана их вообще нет. Там все прямые пересекаются. Есть еще геометрия, которая имеет дело с непостоянной кривизны пространством, но на ней мы останавливаться не будем. В данном случае нас интересует, евклидова геометрия, которую, как раз, и изучают в школе.
И так, согласно евклидовой геометрии через точку на плоскости можно провести всего одну параллельную прямую, которая не будет пересекаться с искомой. Этот факт здесь является аксиомой, и не требует доказательств. Данная аксиома гласит, что в евклидовой геометрии параллельные прямые не пересекаются!
И все-таки несмотря на то, что это аксиома, давайте попробуем разобраться в сути данного вопроса. Все дело в том, что в евклидовой геометрии используется плоскость, с радиусом кривизны, равной бесконечности. Геометрия Лобачевского базируется на несколько ином утверждении, что не все плоскости имеют бесконечный радиус кривизны. В качестве примера можно привести нашу планету, поверхность которой имеет сферическую форму.
Получается, что под параллельными прямыми, Евклид подразумевал две прямые линии, которые находятся в одной плоскости, и при этом не имеют общих точек. Это утверждение, в свою очередь, породило ряд других. Если эти две прямые пересечь другой плоскостью, то они будут считаться параллельными в том случае, если образуемые при этом углы будут равными. При таком раскладе они никогда не пересекутся. Именно таким образом можно доказать и пятый постулат Евклида. То есть, через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести всего одну, параллельную ей линию.
Заблуждение — параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского
Вот «треугольник» по лобачевскому, у которого сумма углов менее 180. 
Такое ощущение, что автор живёт на плоскости, раз «Начала» Евклида «прекрасно описывают пространство, в котором мы живем».
Нет денег — нет проблем
КонсультантПлюс
с просторов интернета
Нужен солу кортеф
Ищу препарат солу кортеф в ампулах. Ребенок в коме, на фоне обезвоживания. Если имеется в свердловской, челябинской, тюменской области или пермском крае. Прошу связаться со мной. Приеду, заберу, оплачу.
Telegram для связи: @ALEKSANDR_Kab
Гранатовый сок в Багдаде
Сравнение попы с пальцем
Каждая женщина должна уметь промолчать.
Утром, во время секса, муж решил привязать меня к кровати.
Намотал мне на ногу верёвку, начинает крепить к кровати. Смотрю, долго возиться с длинными хвостами веревки.
Альпинистке внутри меня очень хотелось сказать ему "да вяжи ты рифовый с контрольной!", но голос разума твердил "демонстрация твоих навыков сейчас абсолютно неуместна. АБСОЛЮТНО!"
Ответ на пост «Откуда эти люди?»
@BarisG, все эти люди (или те из них, кто говорит правду) — одинокие и с так называемым кризисом среднего возраста.
Я, похоже, представитель этой группы, хоть и вышла за её пределы по возрасту — мне уж стукнуло 33. Детей не нажила за свой век. Отношений тоже (что-то периодически бывает, но крайне не везёт: последние отношения длились с полгода и закончились моими рогами, класс).
Так как с отношениями мне не везло всегда, я давненько стала направлять свои силы в сторону работы/карьеры, и поэтому с реализацией в работе и с деньгами у меня проблем нет. А вот с ощущением собственной нужности — ещё какие проблемы.
Поэтому я ввязываюсь во всякие активности: например, прошлым летом начала учиться играть на барабанах, а осенью успешно прошла прослушивание на вокал в группу (уже даже один концерт состоялся в начале марта, юху).
Подарила жене брата сертификат в мотошколу, чтобы когда у нас стает снег, вместе пойти учиться.
С гитаристом из группы забились летом прыгать с парашютом.
Хожу на всяческие рок-концерты (например, в ближайший месяц пойду на "Люмен" и "Пилот" ), а также в театр (в эту среду пойду на "Анну Каренину", а в воскресенье на мюзикл, хехе). А ещё летом поеду на рок-фестиваль, уже второй раз.
Два раза была на сплаве, и в этом году опять планирую "сплавиться" хотя бы разок.
Раз в неделю занимаюсь с психологом.
Люблю гулять пешком (под музыку или с кем-то под разговор) и читать книги.
Ипотеку, кстати, плачу: обременённых лишними квартирами родственников не было и нет, в родительской живёт мама и брат с женой.
Выглядит, как анкета для СЗ? Увы, это реальность отчаявшегося человека. Да я все эти активности себе придумываю, чтобы подольше после работы где-то шастать, потому что дома меня никто не ждёт. Чтобы некогда было хандрить и думать о своём одиночестве. Чтобы прийти домой без сил и лечь спать.
Выглядит, как будто у меня капец какая весёлая жизнь, для большинства знакомых тоже. А мне выть хочется. Я бы всё это отдала за отношения со взаимными чувствами. Но, судя по тенденции, так и состарюсь в попытках прикрыть чем-то пробел личной жизни.
Сорян, что в конце скатилась в нытьё)
Жалости не прошу, советов тоже.
Спасибо за внимание. Всем любви 💚
Терзают смутные сомнения
Похвалил или осудил?
Дорогой урок
Бухгалтерия
Работал в одной компании, и очень понравилась одна девушка из бухгалтерии. Все время на неё смотрел когда пересекались в офисе, однажды набрался смелости, и предложил сходить после работы поужинать в ресторан. Девушка хихикнула, сказала «я подумаю» и убежала по своим делам.
Спустя пару дней сижу за своим рабочим столом, работаю работу, вдруг на меня падает чья-то тень. Поднимаю глаза, надо мной стоит наш главбух. Очень строгая женщина.
— Это ты Ирину в ресторан приглашал?
— Так вот — говорит она — если тебе нужны проститутки, можешь даже не искать их в нашей бухгалтерии.
И пошла цокая каблучками.
Считаем дюбель TECH-KREP
На упаковке заявлено количество в 100 штук.
Открываем и считаем, оказалось 85 штук.
Китайские инновации поражают
Если ты перешел улицу в неположенном месте — тебя засекает система распознавания лиц и тут же выводит на доску позора. Но это ещё не всё — она автоматически подключается к твоей банковской карте и снимает со счёта сумму штрафа.
И всё это пока ты куда-то бежишь и торопишься. Абсолютно без твоего участия.
Стоять!
Ответ на пост «Откуда эти люди?»
Решила как-то тоже зарегаться на тиндере. 36, в/о, без детей, мужей, в/п, м/п. Думаю, дай посмотрю, что там девушки пишут-то.
Мама дорогая! Меня прям комплексы накрыли. У всех проф.фото, Инста как буклет пятизвездного отеля, и долбаное это «Саморазвитие». Бачата, будь она неладна. Тарологи, астрологи, прочие суетологи.
Сижу и думаю, а мне-то что писать? Инсты нет, фоткаться не люблю. Из отпусков — пейзажи на фото. Ну не додумалась я в зеркалах отелей и под пальмами себяшек наделать.
Увлечения. Ну вот дачу купила, стройка у меня там. Помидоры опять же. Рукодельничать люблю разнообразно. За грибами люблю ходить, могу весь отпуск в лесу провести. Пешком люблю гулять. Всё не формат. Из подходящего один сноуборд только (честные 3 раза за зиму). Ну и, каммон, кто-то не любит путешествовать.
Ладно. Кого я там ищу? Ну. как бы мужика бы адекватного, +/- ровню хотелось бы. Значит с руками, работой, без жестких в/п и м/п. Чтоб любил на природе время проводить. Пофиг мне, какого он роста-веса. Я и сама не модель далеко.
Открываем мужские анкеты. Все по клубам, на вейке, в бизнесе и развитии, на Бмв непременно, с фотками в дорогом спортзале.. Бля. ну где я, и где мужик из спортзала? Он хотя бы на котиков может ТАК смотреть, как на свои банки в зеркале??
Короче, подохренела и закрыла этот ваш тиндер нафиг.
На вопрос ТС могу предположить, что все неформатные туда просто не попадают.
Девушки с губами «А я риба, я риба» вполне себе ЦА тех вылизанных парней, у которых барбер для фотосессии стоит дороже моих путешествий. Алгоритмы выводят в топ самых павлинистых, усиливая такое впечатление. Это просто тусовка с определенными правилами для узкого круга позёров.
Ээх, хоть на рыбалку иди знакомиться. Так зашикают же. Рыбаки, они ж тишину любят)
Кенгуру и пиво
Ответ на пост «Сидел человек , гладил котика , никого не трогал»
26 февраля сидели с мужем в ТЦ Планерная на фудкорте. Подходят трое лиц без национальности(явно горячий молодняк), просят помочь с деньгами. Муж ответил отказом. Они: почему? Тебе проблемы нужны?
Я почуяла, что пахнет жареным. Незаметно для них вынула свою перцовку Шпагу. Один сел рядом со мной и говорит:"ты что, перцовку только купила? Пользоваться умеешь?"(тот что в очках)
Я:"а ты хочешь на себе испробовать? Легко!"
Первые начали оскорблять мужа, а на меня давить. Муж вызвал Полицию (находится в соседнем здании, которая в итоге не приехала). Зачем-то первые начали нас снимать. И тут же потихоньку ретировались с фудкорта. Охрана ТЦ пошла за ними, но толку? Их просто выставили на улицу. Вот что удалось заснять:
Мы вышли из ТЦ, эти люди стояли у выхода, ожидая нас. Муж не торопясь курил, те пытались его провоцировать, говоря, какое он ничтожество, что ходит в дешёвой обуви. Уехали на маршрутке в сторону Химок. Охранники ТЦ говорят, что они часто тусуются здесь и донимают людей.
Будьте осторожны, мы думаем, что они под камерами специально провоцируют людей на конфликт чтобы заработать на этом.
Несколько месяцев назад в ТЦ планерная меня прокляла цыганка, потому что я не дала денег. Есть видео, но это уже совсем другая история.
Милота
Записки продавца-консультанта в пивном
Работаю в местечковой сети розливного пива, в продаже куча крафта, импорта, стараемся продвигать культуру пива в массы, но куда ж без среднестатистического употребителями со своими эталонами и знаниями о пиве!
1. мужчина спрашивает светлое, не горькое, фильтрованное, примерно 4.2%. Показываю 3-5 ходовых по его запросу, спрашивает дальше — и всё? Показываю ещё примерно 10 кранов (всего в магазине 50 кранов) какие то совсем легкие по градусам, какие то крепче классических, некоторые с легкой хмелевой горчинкой, попутно рассказываю отличия друг от друга. Начинает спрашивать про другие, которые ему не показал,
-а это?
— а это нефильтрованное
— а вот какое то еще у вас тут
— а вот это тёмный крепкий эль
-эх, а вот еще какое то?
-фруктовое, вишня.
Стоит втыкает дальше, за ним заходит постоянный клиент, любитель горьких пилснеров, хвойных IPок итп, заказывает три полторашки пилснера, несколько разных ипашек по 0.5, пару банок с полок
Первый наблюдает уверенность, обьемы, спрашивает у второго:
-че, вкусное вот это?
-да, очень хорошее, постоянно пью
Расплачивается, уходит.
Первый тоже заказывает полтора горчущего пилснера.
Не стал отговаривать, пусть уроком будет, а может и что-то новое для себя откроет.
2. Предпраздники, защитники отечества, выпивающие по две три полторашки самого дешевого пивка каждый день решают устроить себе ОСОБЕННЫЙ день, запрос звучит так: — таааакс, давайте уж сегодня этого вашего крафтовского попробуем, чего его так хвалят все, праздник же, надо что то невероятное, интересное. Фильтрованное. Хорошее. Вкусное. Светлое. Без этих ваших всяких манг и мандаринов. И без горечи. елок. Цитрусов-хуитрусов.
3.Мужчина просит налить любого, говорю:
— критерии какие? Горько, сладко, кисло, крепко. темное или светлое хотяб?
— говорю ж любого, критериев нет, хорошего, вкусного
Показываю бельгийский трипель под 500р за литр.
-такой наливаю, пойдет?
-эээ, так оно денег стоит, хуяси. Бла бла
-ну так не было критерия никакого, предложил заведомо хороший сорт, крепкий, богатый, насыщенный итд
-не давай вон то, за сотку
4. Покупатель:
-дайте самого плотного!
-вас светлое, темное интересует?
-говорю же самое плотное!
-показываю краны с имперским портером, бочковым стаутом, озвучиваю плотность в 25/30, рассказываю особенности сорта, вкусовые нюансы. Кофейный аромат, послевкусие жареного арахиса, вискарная бочка.
-нет нет, ты не понял, без этих всяких ваших кофев и орехов, нужно нормальное плотное, как раньше, как в ссср, как масло подсолнечное лилось итд (классические эпитеты жиге).
Берёт жигулевочку 13% начальное плотности, уходит счастливый.
Если контент интересен, могу рассказать ещё, хватает, накопилось, практически ежедневно копится ещё .
А так же про закулисье хорошего магазина с пивом могу рассказать всем интересующимся
Правда ли, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются?
В известном романе Бориса Акунина «Турецкий гамбит» один из героев говорит другому: «Да кто вы такой, чтобы судить, кто несёт цивилизации благо, а кто гибель!? Государственный механизм он изучал, с вождями знакомился! А с графом Толстым, с Фёдором Михайловичем Достоевским вы познакомились? А русскую литературу вы читали? Что, времени не хватило? Дважды два это всегда четыре, а трижды три девять, да? Две параллельные прямые никогда не пересекаются? Это у вашего Эвклида они не пересекаются, а у нашего Лобачевского пересеклись!»
Аналогичное мнение в своё время высказывали такие известные люди, как писатели Александр Проханов, Евгений Водолазкин, Макс Фрай, журналисты Алексей Венедиктов и Юлия Латынина, политолог Леонид Радзиховский (хотя тот же Венедиктов позднее назовёт это конкретное высказывание глупостью), руководитель департамента здравоохранения Москвы Леонид Печатников, а также менее знаменитые деятели на страницах ТАСС, «Известий», на «Радио Свобода» и во многих других СМИ.
Для начала хотелось бы прояснить, в чём состоит утверждение о параллельных прямых из «Начал» Евклида — то самое, с которым поспорил Лобачевский в своей теории. Как пишет доктор физико-математических наук Владимир Успенский в своей книге «Апология математики», «практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь её проходят в школе». И абсолютное большинство опрошенных им на предмет её содержания случайных людей дали один и тот же чёткий ответ: аксиома состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются.
Однако давайте заглянем в первоисточник. Первое систематическое изложение планиметрии (раздела геометрии, изучающего фигуры на плоскости) дал древнегреческий математик Евклид в его труде «Начала». В основу своей теории Евклид положил пять аксиом (или постулатов) — утверждений, не требующих доказательств.
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Ничего похожего на популярную формулировку, не так ли? Наше внимание мы обратим на пятый постулат, который в современных источниках часто формулируется так (подобную подачу приписывают Проклу, а также иногда называют аксиомой Плейфера): «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».
А что такое параллельные прямые? По определению (а вовсе не по какой-либо аксиоме) это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, то, что огромное количество людей принимает за аксиому о параллельных прямых, является всего лишь их определением. А пресловутый пятый постулат Евклида выглядит совсем иначе.
Так что же сделал Николай Лобачевский? Многие его предшественники веками пытались доказать или опровергнуть пятый постулат Евклида, однако им для этого нужна была точка опоры, база, в качестве которой мог выступить только сам этот постулат. При этом на первый взгляд кажется, что его истинность очевидна. Однако 28-летний математик из Казанского университета не был в этом так уверен. Лобачевский попробовал заменить пятый постулат на его противоположность: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её».
Остальные четыре аксиомы Лобачевский не тронул. Математика интересовало, что будет после этого со всей системой геометрических теорем и иных утверждений, не вылезут ли противоречия, которые косвенно докажут, что предположение Евклида, пусть и недоказанное, было единственно и неизбежно верным. Но оказалось, что мир не рухнул. Все базовые утверждения классической геометрии прекрасно выстояли и на этом фундаменте.
Вот только зрительно представить подобную ситуацию достаточно сложно. Кто-то спросит: «А зачем её представлять? Важно, что в теории всё корректно» — и формально будет прав. Однако, по-видимому, иначе рассуждали члены учёной комиссии Казанского университета, прослушавшие доклад молодого математика 7 февраля 1826 года. Презентация работы под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» провалилась, и рукопись даже не попала в печать.
Пройдёт три года, и Николай Лобачевский, теперь уже ректор университета, найдёт возможность опубликовать свой труд «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник». К сожалению, наука того времени ещё не была готова принять такой подход — в частности, работа удостоилась отрицательной рецензии Михаила Остроградского, одного из крупнейших русских математиков. И только несколько лет спустя на Лобачевского обратят внимание в Европе — в частности, «король математиков» Карл Фридрих Гаусс выдвинет его в члены-корреспонденты Гёттингенского королевского научного общества, а параллельно будет изучать идеи коллеги в оригинале, на русском языке. Сам Гаусс придерживался подобных идей, по его словам, уже много лет.
И только полтора десятилетия спустя появятся математические модели, в которых теория Лобачевского будет работать, не вызывая бесконечных споров. В частности, проективная модель, где за плоскость принимается внутренность круга, а за прямую — его хорда. В результате тот очевидный факт, что через одну точку, лежащую внутри круга, можно провести сколько угодно хорд, не пересекающихся с одной фиксированной хордой, в таких правилах игры становится иллюстрацией пятого начала геометрии Лобачевского. Другой пример реализации теории Лобачевского — псевдосфера, поверхность вращения кривой:
А в 1868 году выйдет доклад Бернхарда Римана, человека, который предложит свой подход в неевклидовой геометрии — несколько иной, нежели у Лобачевского. Однако успех его теории станет лишним подтверждением величия казанца, поскольку два математика сделали схожие шаги, только в разных пространствах. Если говорить математическими терминами, то у Евклида гауссова кривизна нулевая (1), у Лобачевского — отрицательная (2), у Римана — положительная (3):
Но это совсем другая история, а здесь необходимо заключить, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые тоже не пересекаются — ничего похожего русский математик не утверждал. В геометрии же Римана, вопреки утверждениям некоторых СМИ, просто нет параллельных прямых.
Почему параллельные прямые не пересекаются
В своем труде «Начала» Евклид развил аксиоматический подход к построению геометрии. Смысл этого подхода заключается в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы или постулаты), а затем на их основе доказываются другие утверждения, т.е. теоремы.
Из всех аксиом Евклида больше всего споров вызывал его 5-й постулат. Для простоты его заменяют следующей формулировкой: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Этот постулат называют аксиомой параллельности.
Николай Иванович Лобачевский был тем, кто разработал и обосновал то, что 5-й постулат Евклида – это лишь произвольное ограничение. Все исследования, которые базируются на непринятии аксиомы параллельности Евклида, относятся к геометрии Лобачевского.
Различия между геометрией Лобачевского и геометрией Евклида заключаются в понимании самой природы пространства. Физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, евклидовым.
Эта кривизна в земных пределах настолько мала, что ей можно пренебречь. Именно поэтому евлидова геометрия применяется в прикладных задачах и все измерения и расчеты проводятся, базируясь на ее теоремах и правилах.
А вот при изучении Вселенной, черных дыр, гравитации, космических расстояний используют теоремы геометрии Лобачевского.
Примечание
В школе изучается геометрия Евклида и все, что следует из аксиом, предложенных Евклидом.
На сайте Матвокса эти аксиомы для более легкого понимания представлены не в том порядке и не в тех формулировках, которые предлагал Евклид.
Все постулаты о параллельности прямых геометрии Лобачевского совпадают с постулатами геометрии Евклида, кроме 5-го.