Как построить годограф михайлова

Критерии устойчивости Михайлова

Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечно­сти повернулся против часовой стрелки, начиная с вещественной оси, на число квадрантов равное порядку характеристического уравнения, последовательно проходя эти квадранты. Последовательность определения устойчивости:

в характеристическом уравнении заменяя оператор р на jω получают комплексный полином, представляющий собой вектор на комплексной плоскости;

разделяются вещественная и мнимая части вектора;

строится декартовая система координат. Ось абсцисс – вещественная часть вектора. Ось ординат — мнимая часть вектора;

в векторе задаются значения  от нуля до бecконечности и вычисляются отдельно вещественная и мнимая части этого вектора;

полученные значения вещественной и мнимой частей откладывают в виде точек на декартовой системе координат, соединяют плавной кривой и получают годограф вектора на комплексной плоскости или годограф Михайлова;

по виду прохождения годографа Михайлова судят об устойчивости данной системы.

Для устойчивости САУ годограф должен последовательно пройти все квадраты и в «n» уйти в бесконечность, где n-порядок характеристического уравнения.

ПРИМЕР 3. Определить устойчивость САУ с помощью критерия Михайлова по характеристическому уравнению примера 1.

Решение. 1. Получают вектор на комплексной плоскости:

2. Выделяют вещественную и мнимую части:

.

3. Задаваясь значением (0; 0,2; 0,4; и т.д.), вычисляют отдельно вещественную часть (U()) и мнимую (jV())часть вектора на комплексной плоскости.

Все результаты вычисления показаны в таблице 2 и рис. 1.

Значения U() иjV() при измененииот 0 до 10

U()

V()

Рис. 1. Годограф Михайлова к примеру 3

Ответ: годограф Михайлова системы пятого порядка при изменении часто­ты от нуля до бесконечности последовательно проходит против часовой стрелки по всем квадрантам, начиная с вещественной оси, и в пятом квадран­те при >1.85 уходит в бесконечность. Значит, данная САУ устойчива.

Годограф Михайлова проще построить по особым точкам. Особые точки — это пересечение годографа с осями координат. При пересечении с осью абсцисс мнимая часть характеристического вектора равна нулю. При пересечении с осью ординат вещественная часть вектора равна нулю. Оп­ределив эти точки пересечения, более просто строится годограф Михайлова. Причем, количество этих точек равно порядку характеристического уравне­ния. Так для системы пятого порядка определяется пять точек.

ПРИМЕР 4. Построить годограф Михайлова по особым точкам для вектора на комплексной плоскости примера 3.

Решение. 1. Определяют значение частот, при которых вещественная часть вектора на комплексной плоскости равна нулю.

U();

; ;

Примечание: для построения годографа Михайлова берут только положительное значение .

2. Вычисляют значение мнимой части вектора на комплексной плоскости при этих частотах.

3. Определяют значение частот, при которых мнимая часть вектора на комплексной плоскости равна 0 .

;

.

Вычисляют значения вещественной части вектора на комплексной плоскости при этих частотах.

Результаты вещественной и мнимой частей характеристического уравнения для особых точек показаны в таблице 3.

Результаты вычисления U() иV() для особых точек

По критерию устойчивости Михайлова

Воспользуемся характеристическим уравнением замкнутой системы:

автоматический частота двигатель ток

Перейдем в частотный диапазон, заменив , выделим вещественную и мнимую составляющие, получим уравнение кривой Михайлова.

Построим годограф Михайлова, используя MatLab:

Рис.4. Годограф Михайлова

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова, начинаясь при на вещественной положительной полуоси с ростом частоты от 0 до , обходила последовательно в положительном направлении квадрантов комплексной полуоси, где n-степень — это корень характеристического уравнения.

Вывод: из графика видно, что годограф начинается на положительной действительной оси, движется против часовой стрелки и проходит все четыре квадранта. Значит, система устойчива.

По критерию устойчивости Найквиста

Для того чтобы САУ устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал точку М(-1; j0) на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до и повороте вектора АФЧХ по часовой стрелке.

Критерий устойчивости Михайлова

Критерий был сформулирован А. В. Михайловым в 1938 г. и базируется на принципе аргумента функции комплексной переменной.

Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс F(j(o), который получается из характеристического полинома

заменой р наусо и имеет вид

Выделим в комплексе (4.17) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу:

При конкретном числовом значении частоты (со = со,) характеристический комплекс (4.18) представляет собой комплексное число FO’co,), которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой (/?Дсо);у7Дсо)).

При изменении со от 0 до оо конец вектора F(jco) выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом

Рис. 4.8. Пример годографа Михайлова

Михайлова (рис. 4.8). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (4.17), в точке с координатами («,;/)).

Формулировка критерия Михайлова: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении о) от 0 до 00 начинался на вещественной оси в точке а, и проходил последовательно против часовой стрелки п квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к оо « _п-м квадранте.

С целью доказательства критерия проанализируем, как связаны корни характеристического уравнения с видом годографа Михайлова. Поскольку полином (4.16) можно представить как произведение простых сомножителей

характеристический комплекс (4.17) также принимает вид

Его можно представить в форме

Из выражений (4.18) и (4.21) следует, что

Если характеристическое уравнение системы содержит комплексно-сопряженные корни с нулевой вещественной частью, то при определенном значении частоты со = (о₀ один из сомножителей в выражении (4.20) обратится в нуль. Следовательно, ЛДсо) = 0 и F(ja>= 0. В случае устойчивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть чисто мнимыми, следовательно, в нуль годограф Михайлова не обращается.

Определим теперь угол поворота вектора F(ja> при изменении частоты от 0 до Предварительно рассмотрим отдельные сомножители выражения (4.20) и угол поворота соответствующего вектора. При этом выделим несколько вариантов корней.

1. Корень характеристического уравнения вещественный и отрицательный, т.е. Л, = -а_у, а, > 0. Соответствующий сомножитель в выражении (4.20) имеет вид /-’(/со) =j(о + а,. Изобразим этот элементарный вектор на комплексной плоскости; при изменении со от 0 до °° вещественная часть /((/со) остается неизменной и равна а,, а мнимая часть возрастает до бесконечности (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Элементарный вектор, соответствующий устойчивому вещественному корню

Следовательно, устойчивому вещественному корню соответствует угол поворота элементарного вектора ср, = +л/2.

Аналогично можно определить угол поворота элементарного вектора /?(/со) =;со — а, для случая вещественного положительного корня характеристического уравнения А, = +а,. Он будет равен ср, = -л/2.

2. Рассмотрим теперь пару устойчивых комплексно-сопряженных корней A, ,_{+ 1} = -а_; ± Д и соответствующий им угол поворота произведения (сс_; +Д +/со)(а, — Д +».

У этих двух векторов начальные (разы одинаковы по модулю (ср₀), но имеют противоположные знаки. 11ри изменении со от 0 до оо один вектор поворачивается на угол, равный ср, = ср₀ + л/2, а второй — на угол ср,_{+ 1} = = -ср₀ + л/2 (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Векторы, соответствующие устойчивым комплексно-сопряженным корням

Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно-сопряженных корней равен +л.

Если комплексно-сопряженные корни имеют положительную вещественную часть, то суммарный угол поворота равен -л.

Таким образом, в устойчивой системе каждый из п корней даст приращение фазы ср, = +л/2, а общий угол поворота /’(/со) согласно соотношению (4.23) равен +(со/2)«, что и требовалось доказать. Вид годографа Михайлова для устойчивой и неустойчивой систем третьего порядка приведен на рис. 4.11.

Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты со = со₀. Аналитически это условие можно записать в виде

Рис. 4.11. Годографы Михайлова устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем, п = 3

Здесь «м₀ — частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости.

Пример 4.5. Проверит!» устойчивость системы, структурная схема которой представлена на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Структурная схема исследуемой системы

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Запишем ее характеристический полином:

Заменой р на /со перейдем к выражению для годографа Михайлова:

Представим его в форме

С целью построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой частей при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу.

Определение устойчивости систем автоматического управления промышленными роботами

Необходимым условием работоспособности системы автоматического управления (САУ), является её устойчивость. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов после прекращения их воздействия [1].

Постановка задачи

Теория просто и кратко

Анализ устойчивости системы по методу Михайлова сводится к построению характеристического многочлена замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):

(1)

где и – соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.

Замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на
стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е.

(2)

Рисунок 1. Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3)

САУ электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР)

Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР

Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение [2]:

(3)
где kу – коэффициент усиления усилителя, kм – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, Tу – электромагнитная постоянная времени усилителя, Tм – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), kдс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .

Численные значения в выражение передаточной функции следующие:

K = 100 град / (В∙с); kдс = 0,01 В / (град∙с); Tу = 0,01 с; Tм = 0,1с.

Далее запишем характеристический многочлен замкнутой системы

заменив s на :
(4)

Решение на Python

Здесь следует отметить, что подобные задачи на Python ещё никто не решал, во всяком случае я не нашёл. Это было связано с ограниченными возможностями работы с комплексными числами. С появлением SymPy можно сделать следующее:

Где I мнимая единица, w- круговая частота, T1= Tу = 0.01 ,T2= Tм = 0.1
Получим развёрнутое выражение для многочлена:

Характеристический многочлен замкнутой системы –
-I*T1*T2*w**3 — T1*w**2 — T2*w**2 + I*w + 1

Сразу видим, что многочлен третьей степени. Теперь получим мнимую и действительную части в символьном отображении:

Действительная часть Re= -T1*w**2 — T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w

Сразу видим вторую степень действительной части и третью мнимой. Подготовим данные для построения годографа Михайлова. Введём численные значения для T1 и T2, и будем менять частоту от 0 до 100 с шагом 0.1 и построим график:

Из графика не видно, то годограф начинается на действительной положительной оси. Нужно изменить масштабы осей. Приведу полный листинг программы:

Характеристический многочлен замкнутой системы — -I*T1*T2*w**3 — T1*w**2 — T2*w**2 + I*w + 1
Действительная часть Re= -T1*w**2 — T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w

Теперь уже видно, что годограф начинается на действительной положительной оси. САУ устойчива, n=3, годограф совпадает с приведённым на первом рисунке.

Дополнительно убедится в том, что годограф начинается на действительной оси можно дополнив программу следующим кодом для w=0:

Начальная точка М(1,0)

САУ сварочного робота

Рисунок 3. Структурная схема САУ позиционированием НСУ

Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид [1]:

где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа. Численные значения: K = 40; a = 0,525.

Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:
(5)

Решение на Python

Характеристический многочлен замкнутой системы — w**4 — 6*I*w**3 — 11*w**2 + 46*I*w + 21
Начальная точка М(21,0)
Действительная часть Re= w**4 — 11*w**2 + 21
Мнимая часть Im= -6*w**3 + 46*w

Построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси (М (21,0)), огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.

Выводы

При помощи модуля SymPy Python получен простой и наглядный инструмент для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.