Как построить годограф в маткаде

Читать контрольная по информатике, вычислительной технике, телекоммуникациям: "Построение годографов Михайлова при помощи пакета MATHCAD" Страница 1

построение годографов михайлова при помощи пакета «mathcad» Цель работы заключается в необходимости получения простого и наглядного инструмента для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора. 1 Понятие об устойчивости системы Как видно из цели исследования, необходимым условием работоспособности системы автоматического управления (САУ), является её устойчивость. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов после прекращения их воздействия [1]. Если система не способна возвращаться в состояние равновесия, которое было нарушено в процессе работы, то для практического использования она непригодна.

На практике для определения устойчивости САУ используют критерии устойчивости, то есть правила, с помощью которых можно определить устойчива ли система, не прибегая к решению дифференциальных уравнений. Одним из таких критериев, есть критерий устойчивости Михайлова.

2 Критерий устойчивости Михайлова

Данный критерий основан на связи характера переходного процесса системы с амплитудой и фазой вынужденных колебаний, устанавливающихся в системе при синусоидальном воздействии. Анализ устойчивости системы этим методом сводится к построению по характеристическому многочлену замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):

(1) гдеи– соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.

Если задаваться различными значениями частотыи откладыватьпо горизонтальной, апо вертикальной осям декартовой системы координат, то будет получена кривая, называемая годографом характеристического вектора или годографом Михайлова.

В таком случае, критерий устойчивости Михайлова может быть сформулирован следующим образом: замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на действительной положительной оси, при изменении частотыот 0 до ∞ огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е. (2) jS(ω)

1 Рисунок 1 – Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3) На рис. 1 показаны примеры перемещения годографов Михайлова для различных систем с изменяющимся порядком n характеристического уравнения. 3 Алгоритм построения годографа Михайлова Рассмотрим последовательность расчёта критерия устойчивости Михайлова и сформируем алгоритм построения годографа, используя математический пакет «MathCad», на приведенных ниже примерах.

Пример 1. Используя критерий Михайлова, определим устойчивость системы автоматического управления электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР). Структурная схема САУ электроприводом МПР изображена на рис. 2.

Как построить годограф в маткаде

(3)

(4)

где k_у – коэффициент усиления усилителя, k_м – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, T_у – электромагнитная постоянная времени усилителя, T_м – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), k_дс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .

(5)

Далее запишем характеристический многочлен замкнутой системы заменив s на :

(6)

(7)

(8)

Шаг 2. Определить исследуемый диапазон и шаг частоты , используя значения индекса i (обычно, для практических расчётов, максимальная величина частоты не превышает значения 1000, в нашем же примере – достаточно принять с частотным шагом 0,1):

(9)

Шаг 3. Полученные вещественную и мнимую части характеристического уравнения, зададим численными значениями (в данном случае используя (7)) в виде:

(10)

и

(11)

Шаг 4. В результате вычислений (9), (10) и (11), получаются массивы значений частоты , а также вещественной и мнимой частей (рис. 3).

Шаг 5. Далее имея рассчитанные массивы значений и , переходим к построению годографа Михайлова, используя встроенную функцию «MathCad» – «Инструменты графиков», выбрать «Декартов график». Здесь необходимо определить идентификаторы осей (в данном случае ось абсцисс соответствует вещественной части , а ординат – мнимой части ) и параметры графика в подменю «Формат…». В результате получим график комплексной частотной функции, приведенный на рис. 4.

(12)

(13)

Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:

(14)

(15)

где с – соответствующий постоянный коэффициент при определённом порядке частоты .

(16)

(17)

(18)

Шаг 2. Определим исследуемый диапазон и шаг частоты (примем с частотным шагом 0,1):

(19)

Шаг 3. Введём вещественную (16) и мнимую (17) части характеристического уравнения:

(20)

(21)

Шаг 4. При выполнении вычислений (19), (20) и (21), формируются массивы значений частоты , вещественной и мнимой частей (рис. 7).

Шаг 5. Имея рассчитанные массивы значений и , подобно предыдущему примеру, построим частотную функцию Михайлова. После определения параметров графика, получим годограф, приведенный на рис. 8.

Рисунок 7 – Массивы значений , и , рассчитанные в «MathCad»

3. Yim Y. Modular Robots / Y. Yim, Y. Zhang, D. Daff // IEEE SPECTRUM. – 2002. – # 2. – P. 30 – 34.

Как построить афчх mathcad

Построить афх
Кто нибудь может построить данную функцию. Необходимо выполнить D-разбиение, для чего надо.

Как построить годограф

Построение годографов Михайлова при помощи программного пакета «Mathcad» необходимо для того, чтобы получить простой и наглядный инструмент для решения задач на устойчивость систем автоматического управления. Критерий устойчивости Михайлова – характеристика, являющаясяобязательным условием для функциональности любого промышленного робота или манипулятора.

Имея набор данных комплексной частотной функции,переходите непосредственно к построению годографа с использованием математического пакета «MathCad». Выделите вещественную и мнимую части. Подставьте численные значения в полученную комплексную частотную функцию.

В верхнем меню выберите опции: «Новый…» – «Пустой документ». Именно здесь вы будетеформировать программу для построения годографа Михайлова.

Задайте разрешение годографа диапазоном чисел индекса i.

Определите исследуемый диапазон, обозначьте шаг частоты. Выполняйте действия, исходя из значения индекса i.Как правило, в практических расчётах, наибольшее значение частотыне превышает числа 1000.

Задайте численными значениями вещественнуюи мнимуючасти исходного характеристического уравнения, которые вы вычислили предварительно.

В результате вычислений, получатся массивы значений частоты, а также данные вещественнойи мнимойчастей.

Теперь, имея полученные массивы значений, начинайте построение годографа Михайлова. Выберите в пакете «MathCad» встроенную функцию «Инструменты графиков». Потом нажмите опцию«Декартов график». Здесь обязательно определите идентификаторы осей.Соответствует ось абсцисс вещественной части? Отвечает ось ординат мнимой части или нет?

В подменю «Формат…» внесите параметры графика. В результате вы получите годограф комплексной частотной функции.

Используйте функцию «Трассировка…» Так вы определите в соответствующем трассировке окне, абсолютно точные значения годографа, выбирая любую точку в рассчитанных массивах.

Как построить годограф в маткаде

где Ak , k +1 и Bk , k +1 – постоянные интегрирования.
Из данного выражения следует, что только при отрицательном значении отклонение регулируемой величины с течением времени будет стремиться к нулю. Теперь можно сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем:

Чтобы линейная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных корней были отрицательными.

Устойчивость является одним из главных требований к автоматическим системам регулирования (АСР). Если система не способна восстановить равновесное состояние, нарушенное в процессе работы, то она непригодна для практического использования. После того, как вычислены передаточная функция объекта и параметры настройки регулятора, необходимо определить, устойчива система или нет. Для проверки можно использовать как необходимое и достаточное условие устойчивости, приведенное выше, либо критерии устойчивости. Далее рассмотрим три таких критерия:
— критерий Рауса – Гурвица;
— критерий Михайлова;
— критерий Найквиста – Михайлова.

7.2. Критерии устойчивости

Использование для проверки устойчивости системы необходимого и достаточного условия устойчивости связано с решением характеристического уравнения, что может представлять трудности в случае систем высокого порядка, а если рассматривается замкнутая система с запаздыванием, то и вовсе невозможно. Значительно проще можно выполнить проверку устойчивости с помощью специальных критериев.

Критерий Рауса – Гурвица

Критерий Рауса – Гурвица позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам ее характеристического уравнения. Впервые критерий устойчивости был предложен в 1875 году английским математиком Раусом в виде таблицы. В 1895 году швейцарский математик Гурвиц опубликовал критерий устойчивости в виде определителей. Так как оба этих критерия приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам и отличаются только способом их получения, указанные критерии объединяют, называя критерием Рауса – Гурвица.
Пусть имеется характеристическое уравнение системы:

Если хотя бы один из определителей меньше нуля, система будет неустойчивой, поэтому после обнаружения первого отрицательного определителя процесс проверки устойчивости прекращается .
Если отрицательных определителей нет, но есть равные нулю, такая система находится на границе устойчивости (нейтральна).

Пример 1. Характеристическое уравнение имеет вид

Δ 3 вычислять не нужно, т.к. уже второй определитель оказался отрицательным.

Пример 2. Характеристическое уравнение имеет вид

Критерий Михайлова

В 1936 году советским ученым А.В.Михайловым был предложен критерий устойчивости, основанный на взаимосвязи между характером переходных процессов, возникающих при нарушении равновесия системы и амплитудной и фазовой вынужденных колебаний, установившихся в системе под воздействием гармонически изменяющейся входной величины. Анализ устойчивости в соответствии с критерием Михайлова сводится к построению по характеристическому уравнению системы графика, носящего название годограф Михайлова, по виду которого можно судить о состоянии системы (устойчива она или нет).
Годограф строится следующим образом. Пусть характеристическое уравнение имеет вид (7.5).
Обозначим через F(p) многочлен, стоящий в левой части этого уравнения:

Рис. 7.3. Примеры годографов Михайлова для различных систем

Рис. 7.4. Построение годографа Михайлова в Mathcad:

а – для значений ω = 0…120; б – для значений ω = 0…1600

Критерий Найквиста – Михайлова

Критерии Рауса – Гурвица и Михайлова не подходят для замкнутых систем с запаздыванием, так как в их характеристическое уравнение входит экспонента. В 1932 году американский ученый Найквист предложил критерий для исследования устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 году Михайлов обобщил и распространил его на системы автоматического регулирования. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной связью (в том числе, автоматической системы регулирования, АСР) по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) разомкнутой системы.
Любая АСР, как система с обратной связью, является замкнутой. Изменение сигнала на входе какого-нибудь элемента (объекта, регулятора) сказывается на выходных сигналах всех других элементов. Они также изменяются в соответствии со своими динамическими свойствами. Если же нарушить связь между какими-либо двумя элементами, например между чувствительным элементом и элементом сравнения (разорвать обратную связь), то система из замкнутой превратится в разомкнутую.
Рассмотрим разомкнутую систему, состоящую из последовательно соединенных регулятора и объекта регулирования (рис. 7.5).

Если обозначить через Wоб(p) передаточную функцию объекта, а через Wp(p) – передаточную функцию регулятора, передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будут иметь вид:

Подадим от генератора синусоидальных колебаний на вход разомкнутой системы сигнал xвх с частотой ω и амплитудой Aвх. Спустя некоторое время на выходе также установятся синусоидальные колебания xвых с той же частотой, амплитудой Aвых и сдвигом фазы φ. Предположим, что при некотором значении частоты сдвиг фазы оказался равен +π или –π, а амплитуды колебаний на входе и на выходе оказались равны между собой:

Данное состояние разомкнутой системы соответствует такой точке ее АФХ, которая находится на единичном расстоянии от начала координат (модуль АФХ Mраз(ω) = Aвых/Aвх = 1) с углом π от вещественной положительной полуоси (аргумент АФХ φраз(ω) = ±π). На комплексной плоскости эта точка имеет координаты (–1, 0i).
Теперь отключим генератор колебаний от входа системы и одновременно замкнем отрицательную обратную связь, как это показано на рис. 7.6. В результате мы получим замкнутую систему, представляющую собой одноконтурную АСР.

Рис. 7.6. Замкнутая и разомкнутая системы

В результате получим замкнутую систему, в которой будут наблюдаться незатухающие колебания с постоянной амплитудой, а, как мы знаем, это характерно для систем, находящихся на границе устойчивости (см. рис. 7.2,е в разделе 7.1). Таким образом, прохождение графика АФХ разомкнутой системы через точку (–1, 0i) свидетельствует о нахождении соответствующей замкнутой системы на границе устойчивости.
Теперь рассмотрим второй случай. Предположим, в ходе того же самого опыта на выходе разомкнутой системы установились колебания с тем же сдвигом фазы π, но с меньшей амплитудой:

Это состояние соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси правее точки (–1, 0i) (Mраз(ω) = Aвых/Aвх < 1, φраз(ω) = ±π).
После отключения генератора колебаний и замыкания отрицательной обратной связи на вход Wраз(iω) поступит сигнал с меньшей амплитудой, чем создавал генератор. Пройдя через регулятор и объект, этот сигнал снова будет несколько ослаблен (так как Mраз(ω) < 1), в следующий момент времени поступит по обратной связи на вход Wраз(iω) с еще меньшей амплитудой, и это будет повторяться снова и снова. Таким образом, в данном случае с течением времени амплитуда колебаний в замкнутой системе будет непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю, т.е. будет наблюдаться затухающий процесс, что, как известно, характерно для устойчивых систем (рис. 7.2,г).
В третьем возможном случае на выходе разомкнутой системы установятся колебания со сдвигом фазы π и большей амплитудой, нежели входные колебания:

что соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси левее точки (–1, 0i) (Mраз(ω) = Aвых/Aвх > 1, φраз(ω) = ±π).
Здесь при прохождении через регулятор и объект сигнал усиливается (Mраз(ω) > 1), и его подача по обратной связи на вход Wраз(iω) приводит к возникновению колебательного процесса с непрерывно нарастающей амплитудой («расходящегося»), как на рис. 7.2,д, т.е. замкнутая система оказывается неустойчивой.
Из сказанного становится ясно, что об устойчивости замкнутой системы можно судить на основании расположения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы относительно точки с координатами (–1, 0i) (рис. 7.7).
Критерий Найквиста – Михайлова формулируется следующим образом.
Замкнутая система устойчива, если она устойчива в разомкнутом состоянии, и ее амплитудно-фазовая характеристика (построенная для всех значений ω от 0 до бесконечности ) не охватывает точку с координатами (–1, 0 i ) .
Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку с координатами (–1, 0i), система находится на границе устойчивости. Если АФХ охватывает точку с координатами (–1, 0i), то система неустойчива.