Дробь (математика)
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы [1] . Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида 
Наглядное представление дроби
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде где 
Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
- ½
- 1/2 или
![<>^1/<>_2″ width=»» height=»» /> (наклонная черта называется «солидус» [2] )</li>
<li>выключная формула: <img decoding=](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/f3cf35e0fb7f64e02e4f2bca41220b44.png)
. Высота же соответствующего рационального числа равна 
, так как дробь сокращается на 
.
Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
— две разные дроби соответствуют одному числу.
Действия над дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби:
. - Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на
. - Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на
.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем 
Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.
Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.
Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m < n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Т.е., если выполняется неравенство undefined , то обыкновенная дробь m n является неправильной.
Дробь (математика)
Дробь в арифметике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы [1] .
В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.
- Обыкновенные дроби[⇨] вида [math]\displaystyle< \frac
>[/math] , где [math]\displaystyle< m >[/math] целое, [math]\displaystyle< n >[/math] натуральное. В отличие от арифметического определения, такая дробь может иметь знак минус. - Запись (не обязательно дробных) чисел в позиционных системах счисления. Наиболее известны десятичные дроби
- [⇨] , удобные для людей, и двоичные дроби, которые используются для расчётов на компьютерах [2] .
В математической записи дроби вида [math]\displaystyle< m/n >[/math] или [math]\displaystyle< \frac
Содержание
Виды дробей
Обыкновенные дроби
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде [math]\displaystyle< \frac
Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
- ½,
- 1/2 или [math]\displaystyle< ^1\!/_2 >[/math] (наклонная черта называется «солидус» [3] ),
- выключная формула: [math]\displaystyle< \frac<1><2>>[/math] ,
- строчная формула: [math]\displaystyle< \tfrac<1><2>>[/math] .
Правильные и неправильные дроби
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби [math]\displaystyle< \frac<3> <5>>[/math] , [math]\displaystyle< \frac<7> <8>>[/math] и [math]\displaystyle< \frac<1> <2>>[/math] — правильные, в то время как [math]\displaystyle< \frac<8> <3>>[/math] , [math]\displaystyle< \frac<9> <5>>[/math] , [math]\displaystyle< \frac<2> <1>>[/math] и [math]\displaystyle< \frac<1> <1>>[/math] — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем [math]\displaystyle< 1 >[/math] .
Смешанные дроби
Дробь, записанная в виде неотрицательного целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, [math]\displaystyle< 2 \frac<3> <7>= 2 + \frac<3> <7>= \frac<14> <7>+ \frac<3> <7>= \frac<17> <7>>[/math] .
Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.
Десятичные дроби
Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак [math]\displaystyle< + >[/math] вне арифметических выражений обычно опускается):
Часть записи, которая стоит до запятой, в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Пример: десятичная дробь [math]\displaystyle< 3<,>1415926 >[/math] в формате обыкновенной дроби равна [math]\displaystyle< \frac<31415926> <10000000>>[/math] .
Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …
Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10 −7 , означает 0,0000006023 (умножение на [math]\displaystyle < 10^<-7>>[/math] , или, что то же, деление на [math]\displaystyle< 10^7, >[/math] перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).
Другой вид дроби представляет собой процент (лат. Pro Centum — «на сто»), представленный символом %, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.
Схожее понятие промилле или частей на тысячу подразумевает знаменатель 1000. Распространенным обозначением частей на миллион является (англ. parts per million — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.
| Международное обозначение | Русское | Система СИ |
|---|---|---|
| ppm | млн −1 ; 1:10 6 | микро (мк) |
| ppb | млрд −1 ; 1:10 9 | нано (н) |
| ppt | трлн −1 ; 1:10 12 | пико (п) |
| ppquad | квадрлн −1 ; 1:10 15 | фемто (ф) |
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).
Значение дроби и основное свойство дроби
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:
[math]\displaystyle< \frac <12> <16>= \frac<12 : 4> <16 : 4>= \frac<3> <4>>[/math] — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель [math]\displaystyle< 4 >[/math] .
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме [math]\displaystyle< \pm 1. >[/math]
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:
[math]\displaystyle< 0, \! 999. =1 >[/math] — две разные записи дроби соответствуют одному числу; [math]\displaystyle< 2, \! 13999. =2,\!14 >[/math] .
Действия с дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: [math]\displaystyle< \frac >[/math] и [math]\displaystyle< \frac
- Находим наименьшее общее кратное знаменателей: [math]\displaystyle< M=[b,d] >[/math] .
- Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на [math]\displaystyle< M/b >[/math] .
- Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на [math]\displaystyle< M/d >[/math] .
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны [math]\displaystyle< M >[/math] ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве [math]\displaystyle< M >[/math] любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем [math]\displaystyle< \frac<3> <4>>[/math] и [math]\displaystyle< \frac<4> <5>>[/math] . [math]\displaystyle< \mathrm
Следовательно, [math]\displaystyle< \frac<3> <4>\lt \frac<4> <5>>[/math]
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
Пример 1: [math]\displaystyle< \quad \frac<1> <2>>[/math] + [math]\displaystyle< \frac<1> <3>>[/math] = [math]\displaystyle< \frac<3> <6>>[/math] + [math]\displaystyle< \frac<2> <6>>[/math] = [math]\displaystyle< \frac<5> <6>>[/math]
НОК знаменателей (здесь [math]\displaystyle< 2 >[/math] и [math]\displaystyle< 3 >[/math] ) равно [math]\displaystyle< 6 >[/math] . Приводим дробь [math]\displaystyle< \frac<1> <2>>[/math] к знаменателю [math]\displaystyle< 6 >[/math] , для этого числитель и знаменатель надо умножить на [math]\displaystyle< 3 >[/math] .
Получилось [math]\displaystyle< \frac<3> <6>>[/math] . Приводим дробь [math]\displaystyle< \frac<1> <3>>[/math] к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на [math]\displaystyle< 2 >[/math] . Получилось [math]\displaystyle< \frac<2> <6>>[/math] .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
[math]\displaystyle< \frac<1> <2>>[/math] — [math]\displaystyle< \frac<1> <4>>[/math] = [math]\displaystyle< \frac<2> <4>>[/math] — [math]\displaystyle< \frac<1> <4>>[/math] = [math]\displaystyle< \frac<1> <4>>[/math]
НОК знаменателей (здесь [math]\displaystyle< 2 >[/math] и [math]\displaystyle< 4 >[/math] ) равно [math]\displaystyle< 4 >[/math] . Приводим дробь [math]\displaystyle< \frac<1> <2>>[/math] к знаменателю [math]\displaystyle< 4 >[/math] , для этого надо числитель и знаменатель умножить на [math]\displaystyle< 2 >[/math] . Получаем [math]\displaystyle< \frac<2> <4>>[/math] .
Умножение и деление
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
[math]\displaystyle< \frac<2> <3>\cdot 3 = \frac<6><3>= 2 >[/math]
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:
Возведение в степень и извлечение корня
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:
Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:
Преобразование между разными форматами записи
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:
[math]\displaystyle< \frac<1> <2>= \frac<5> <10>= 0<,>5 >[/math] [math]\displaystyle< \frac<1> <7>= 0<,>142857142857142857\dots = 0<,>(142857) >[/math] — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
[math]\displaystyle< 71<,>1475 = 71 + \frac<1475> <10000>= 71 \frac<1475> <10000>= 71 \frac<59> <400>>[/math]
Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможно [4] .
Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь [math]\displaystyle< 1<,>3(142857) = 1<,>3\ 142857\ 142857\ 142857\dots >[/math] в обыкновенную дробь. [math]\displaystyle< 1<,>3(142857) = 1<,>3 + 0<,>1 \cdot 0<,>(142857). >[/math] Обозначим [math]\displaystyle< x=0<,>(142857) >[/math] , тогда [math]\displaystyle< 1000000\cdot x =142857 + x, >[/math] откуда: [math]\displaystyle< 999999 x =142857, >[/math] или: [math]\displaystyle< x = \frac<142857> <999999>= \frac<1><7>. >[/math] В итоге получаем: [math]\displaystyle< 1<,>3(142857) = 1<,>3 + 0<,>1 x = 1<,>3 + 0<,>1\cdot\frac<1><7>. = \frac <13> <10>+\frac <1> <70>= \frac <92> <70>= 1\frac<11><35>. >[/math]
История и этимология термина
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura , который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.
В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную [8] . Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше [9] .
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа [math]\displaystyle< \tfrac<1><4>, 2\tfrac<1> <5>>[/math] записывались таким способом: [math]\displaystyle < \begin
В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как [math]\displaystyle< \overset<\underset<<0>><>><4>2
\overset<\underset<<2>><>> <3>>[/math] или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века [10] .
На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами [10] . Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
Какие дроби называются обыкновенными
Что такое обыкновенная дробь — понятие и определение
Прежде чем дать определение термину «дробь», необходимо рассмотреть, чем она является в сущности.
Доля целого или доля числа — это каждая равная часть, которые вместе составляют целый предмет.
К примеру, апельсины обычно состоят из 10 одинаковых долек. А если торт разрезать пополам, то он будет состоять из двух долей.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
У каждой доли свое название, которое зависит от количества долей в предмете.
Половина — это одна вторая часть от целого. Долька апельсина — это одна десятая от апельсина. Если пиццу разрезать на шесть частей, то каждая часть равна одной шестой от всей пиццы.
Обыкновенная дробь — это такая запись числа в математике вида \(\frac mn\) , где m и n — любые натуральные числа.
Простыми словами, дробное число — это нецелое количество, часть целого, которая получается при «дроблении». «Целым» может быть что угодно: количество денег, еда, числа, делимые предметы и так далее.
Как выглядит, примеры записи
Всего существует два вида записи дробных чисел:
- десятичный — дробь записывается через запятую в виде 0,5; 1,25; 4,379;
- обыкновенный — дробь вида \frac mn.
Числитель и знаменатель
Обыкновенная дробь состоит из двух натуральных чисел. Записываются они в определенном порядке. Чтобы понять этот принцип, необходимо изучение и объяснение сути дробных чисел.
В сущности, дробь — это результат деления, в котором делимое не делится на делитель полностью, без остатка. Черточка между верхней и нижней части дроби — дробная черта — равноценна знаку деления.
Числитель обыкновенной дроби вида \(\frac mn\) — это натуральное число m, равное делимому.
Знаменатель обыкновенной дроби вида \(\frac mn\) — это натуральное число n, равное делителю.
В зависимости от отношений числителя и знаменателя, выделяют 2 вида дробей.
Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
Обычно такие дробные числа записывают в виде целых или смешанных чисел: \(5\frac47, \ 2\frac<14><32>.\)
Знаменатель показывает, из скольких частей состоит предмет. Числитель отображает, сколько таких частей рассматривается в задаче. Например, дробь \(\frac<11><32>\) (читается «одиннадцать тридцать вторых») указывает на то, что предмет состоит из 32 долей, и для рассмотрения взяли 11 из них.
Положительные и отрицательные дроби
Дробные числа бывают не только правильными и неправильными, но также и положительными и отрицательными.
Положительная дробь \(\frac23\) и отрицательная дробь \(-\frac23\) — это противоположные числа.
Положительные дроби можно получить двумя способами:
- Деление положительного числа на положительное: \(3:5=\frac35.\)
- Деление отрицательного числа на отрицательное, т. к. при таком действии «минус» на «минус» дает «плюс»: \((-7):(-9)=\frac<-7><-9>=\frac79.\)
Отрицательные дроби также получают двумя способами:
- Деление положительного числа на отрицательное: \(1:(-9)=\frac1<-9>=-\frac19.\)
- Деление отрицательного числа на положительное: \((-6):7=\frac<-6>7=-\frac67.\)
Какие действия можно выполнять с обыкновенными дробями
Для выполнения действий с дробными числами необходимо знать их свойства.
Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, получится равная ей дробь.
В общем виде это правило записывают так: \(\frac mn=\frac
где a, b, k — натуральные числа.
Основных действий, которые можно выполнять с дробями, несколько.
- Сравнение.
Если у двух дробей равные знаменатели, то сравнивать необходимо только числители.
У положительных чисел чем больше числитель, тем больше число: \(\frac37>\frac17.\)
У отрицательных чисел чем меньше числитель, тем больше число, т. к. оно ближе к нулю: \(-\frac25>-\frac45.\)
Если знаменатели разные, то дроби необходимо сперва привести к общему знаменателю. Подробнее это действие рассмотрено в других статьях.
- Сложение.
В результате сложения обыкновенных дробей получается обыкновенная дробь.
Если знаменатели одинаковые, складывать нужно только числители: \(\frac13+\frac13=\frac23.\)
Если знаменатели разные, дробь необходимо привести к общему знаменателю.
Когда в результате решения получается неправильная дробь, его необходимо привести к виду целого или смешанного числа.
- Вычитание.
Это действие обратно сложению. Правила действуют те же, что и при сложении: \(\frac7<10>-\frac2<10>=\frac5<10>=\frac12.\)
- Умножение.
Результатом умножения двух обыкновенных дробей также всегда является обыкновенная дробь. При этом числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель (отсюда следует, что знаменатели могут быть разные): \(\frac23\cdot\frac34=\frac<2\cdot3><3\cdot4>=\frac6<12>=\frac12.\)
- Деление.
Это действие обратно умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой — на числитель второй. Иными словами, вторую дробь необходимо «перевернуть» и выполнить умножение:
