Из чего состоит сумма

Числа. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения натуральных чисел.

Сложение натуральных чисел основывается на сложении 2-х натуральных чисел. Сложение 3-х и больше чисел выглядит как последовательное сложение 2-х чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойства сложения, числа, которые складываются можно менять местами и заменять любые 2 из складываемых чисел их суммой.

Действие сложения маленьких натуральных чисел можно производить в уме либо на бумаге по разрядам слагаемых, учитывая то, что каждый полный десяток разряда это 1 единица следующего (более высокого) разряда.

Например: 235 + 672 = (200 + 600) + (30 + 70) + (5 + 2) = 907.

Складывать большие (многозначные) натуральные числа лучше методом сложения в столбик.

Сочетательное свойство сложения доказывает, что результат сложения 3-х чисел a, b и c не зависит от места скобок. Т.о., суммы a+(b+c) и (a+b)+c можно записать как a+b+c. Это выражение называется суммой, а числа a, b и c – слагаемыми.

Аналогично, в силу сочетательного свойства сложения, равны суммы (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d)) и a+((b+c)+d). Т.е., итог сложения 4-х натуральных чисел a, b, c и d не зависит от места расположения скобок. В аком случае сумму записывают как: a+b+c+d.

Если в выражении не расставлены скобки, а оно состоит из более,чем двух слагаемых, вы сами можете расставить скобки как вам больше нравится и, последовательно сложить по 2 числа, получив ответ. Т.е., процесс сложения 3-х и более чисел сводится к последовательной замене 2-х соседних слагаемых их суммой.

Для примера вычислим сумму 1+3+2+1+5. Рассмотрим 2 способа из большого количества существующих.

Первый способ. На каждом шаге заменяем первые 2 слагаемых суммой.

Т.к. сумма чисел 1 и 3 равна 4, значит:

1+3+2+1+5=4+2+1+5 (мы заменили сумму 1+3 числом 4).

Т.к. сумма 4 + 2 равна 6, то:

Т.к. сумма чисел 6 и 1 равна 7, то:

И последний шаг, 7+5=12. Т.о.:

Мы произвели сложение, расставив скобки следующим образом: (((1+3)+2)+1)+5.

Второй способ. Расставим скобки таким образом: ((1+3)+(2+1))+5.

Сумма 4-х и 3-х равна 7, значит:

И последний шаг: 7+5=12.

На результат сложения 2-х, 3-х, 4-х и т.д. чисел не влияет не только расстановка скобок, но и порядок, записывания слагаемых. Т.о., при суммировании натуральных чисел можно изменять места слагаемых. Иногда это дает более рациональный процесс решения.

Свойства сложения натуральных чисел.

• Чтобы получить число, следующее за натуральным надо прибавить к нему единицу.

Например: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.

• При перестановке мест слагаемых сумма не меняется:

Это свойство сложения называется переместительным законом.

• Сумма 3-х и более слагаемых не изменится от изменения порядка сложения чисел.

Например: 3 + ( 7 + 2 ) = ( 3 + 7 ) + 2 = 12 ;

значит: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c .

Поэтому вместо 3 + ( 7 + 2 ) пишут 3 + 7 + 2 и складывают числа по порядку, слева на право.

Это свойство сложения называют сочетательным законом сложения.

п.6 Сложение натуральных чисел и его свойства

Как вы уже знаете, любое натуральное число представляет собой единицу или собрание нескольких единиц. Так вот, мы можем взять несколько чисел и объединить все единицы, которые их составляют, в одно большое собрание . Число, которое получилось в результате этого объединения, называется суммой .

Сумма – это результат действия сложения.

На записи действие сложения обозначается знаком + ( плюс ). То есть, если записано 3+2+5, то это означает, что нам нужно найти сумму этих трех чисел: 3, 2 и 5. Сумма записывается обычно справа от слагаемых после знака = ( равно ): 3+2+5 = 10.

Сумма чисел состоит (слагается, складывается, – можно говорить по-разному) из двух или более слагаемых. Понятно, что сумма всегда больше любого ее слагаемого .

Слагаемые – это не что иное, как состав числа , обозначающего сумму этих слагаемых.

Действие сложения можно выполнить всегда . Действительно, так как натуральный ряд бесконечен, то мы всегда можем любые числа этого ряда объединить в другое, какое угодно большое число.

Действие сложения всегда имеет единственный результат . Действительно, если мы, к примеру, отметим на координатном луче с началом в точке O и единичным отрезком 1 см отрезок OA длиной 5 см , а потом построим еще один отрезок AB длиной 7 см , то у нас получится только единственный отрезок OB длиной 12 см .

Рисунок 1. Сумма двух чисел на координатном луче.

Основные свойства суммы натуральных чисел

Например, в каком бы порядке мы ни складывали числа 2 , 3 и 5 , результат неизменно будет 10 :

Из этих законов вытекает правило прибавления слагаемого к сумме или суммы к слагаемому .

Изменение суммы чисел с изменением слагаемых

Эти два свойства справедливы и в обратную сторону. То есть, если увеличить или уменьшить сумму на какое-то число, тогда для сохранения равенства нужно соответственно увеличить или уменьшить одно из слагаемых.

Слагаемое слагаемое сумма

Значение суммы чисел двух слагаемых складывается из суммы этих слагаемых. Для дошкольника или ученика 1 класса эта фраза просто набор букв, и если вы хотите, чтобы ваш малыш легко понял, что же такое слагаемое слагаемое сумма, то покажите ему картинки и таблицы из этой статьи. Эти изображение с подписями доходчиво расскажут юному ученику, что из себя представляет операция сложения.

Слагаемое плюс слагаемое равно сумма.

Вспомни!

Из чего состоит сумма.

Заполни окошки в таблице.

Повторяем изученное.

2+3=5.

Слагаемое плюс слагаемое равно сумма.

Простой пример.

Что такое сложение.

Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Сложение обозначают знаком “+”. Если одно или несколько чисел в выражении связаны знаком “+”, то такое выражение называют суммой.

Составные части суммы

Рассмотрим составные части суммы. Например, 12 + 73 = 85.

В данном выражении число 12 называют первым слагаемым, а число 73 называют вторым слагаемым.

Если складывается больше, чем два числа, то каждому складываемому числу можно дать название: третье слагаемое, четвертое слагаемое и так далее.

85 называют значением суммы. То есть то, что получено в результате, будет являться значением суммы.

Важно: нужно отличать понятия суммы и значения суммы. Иногда, когда мы говорим про результат, мы говорим просто: “сумма”. В целом, это не ошибка. Но суммой называется само выражение, а не результат. То есть словно было опущено слово “значение”. Будьте внимательны и имейте это ввиду.

Поразрядное сложение

Вы уже знакомы со сложением в столбик. Оно очень удобно для сложения больших чисел. Сложение в столбик называют поразрядным сложением.

Свойства сложения

Рассмотрим свойства сложения. Всего их два:

Переместительное свойство. Это правило гласит о том, что от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. В общем виде: a + b = b + a.

Общий вывод из свойств сложения

При сложении нескольких чисел можно определять порядок действий: менять слагаемые местами и заключать в скобки.

Частные случаи сложения

Конечно, стоит помнить о том, что если какое-то число складывается с нулем, то результатом будет само число:

• а + 0 = а
• 0 + а = а

Итог: что нам теперь известно?

Мы вспомнили, что такое сложение, из чего состоят выражения с суммой, какими свойствами и частными случаями обладает сложение.