15)Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
Допустим, что материальная точка (тело) может совершать колебания как вдоль оси x, так и вдоль перпендикулярной оси Y. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз колебаний. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного колебания была равна нулю. Тогда уравнения запишутся следующим образом:
x=A·cos(ωt) y=B·cos(ωt+α) (22)
где α — разность фаз складываемых колебаний, A и B — амплитуды колебаний.
Выражения (22) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (22) параметр . Из первого уравнения следует, что:
sin(ωt)=±√(1-x 2 /A 2 ) (24)
Теперь развернем косинус во втором уравнении из (22) по формуле для косинуса суммы (y/B=cos(ωt)·cosα-sin(ωt)·sinα) и подставим в него вместо cos(ωt) и sin(ωt) их значения (23) и (24). В результате получим:
y/B=(x/A)·cosα∓sinα√(1-x 2 /A 2 )
Перенесем все члены без корня в левую часть уравнения и возведем его в квадрат. После несложных преобразований получим уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей:
(x 2 /A 2 )+(y 2 /B 2 )-(2·xy·cosα/AB)=sin 2 α (25)
Ориентация эллипса и величина полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд A и B и разности фаз α.
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Разность фаз α=0.
В этом случае уравнение (25) примет вид [(x/A)-(y/B)] 2 =0, откуда получается уравнение прямой:
Результирующее движение является гармоническим с частотой ω и амплитудой √(A 2 +B 2 ) (рис 8).
Рис. 8
2. Разность фаз α=±π. В этом случае уравнение (25) примет вид [(x/A)+(y/B)] 2 =0, откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис.9):
Рис. 9
3. Разность фаз α=±π/2.
Уравнение (25) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (рис.10):
Рис. 10
При равенстве амплитуд A и B эллипс вырождается в окружность. Случаи α=+π/2 и α=-π/2 отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если α=+π/2, уравнения (22) можно записать следующим образом: x=A·cosωt; y=-B·sinωt.
В момент t=0 тело находится в точке 1 (рис 10). В последующие моменты времени, координата x уменьшается, а координата y становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке.
Если α=-π/2, уравнения колебаний имеют вид: x=A·cosωt; y=B·sinωt. Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.
Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиусом R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
x=R·cosωt y=±R·sinωt (29)
(знак «+» в выражении для y соответствует движению против часовой стрелки, знак «-» – по часовой стрелке).
В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Δω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом:
где выражение (Δω+α) рассматривается как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.
Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -π до π.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
На рис.11 показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1:2 и разности фаз π/2. Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу.
Рис. 11
Фигуры Лиссажу позволяют найти частоту одного из колебаний, если известна частота другого. Это обусловлено тем, что кратность частот легко находится с помощью секущих, параллельных координатным осям.
Фигу́ры Лиссажу́ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами иамплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или 
вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз 
и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.
Математическое выражение для кривой Лиссажу
где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз
Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.
Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и
Фигуры Лиссажу
Фигу́ры Лиссажу́ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или 
вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз 
Примеры
Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении 
С колебательными явлениями встречаешься буквально на каждом шагу. Это и качание веток деревьев, и волны на воде, и детали различных машин, совершающие колебательные движения, и, наконец, колебания воздуха, когда мы говорим. А еще существуют электромагнитные колебания и радиоволны.
Все колебательные и волновые процессы обладают общими чертами и даже подчиняются одинаковым закономерностям, несмотря на то, что могут иметь совершенно разную физическую природу. Самая характерная черта колебательных движений, отличающая их от других явлений, состоит в том, что колебательные движения многократно повторяются или приблизительно повторяются через определенные промежутки времени. Универсальность законов колебательных процессов позволяет с единой точки зрения рассматривать различные по физической природе колебания, встречающиеся в разнообразных физических явлениях и технических устройствах.
Единый подход к изучению колебаний разной физической природы позволяет глубже проанализировать любое конкретное явление, выявить аналогию между совершенно разными по своей природе явлениями, найти общий язык для их описания и в конечном счете почувствовать единство физического мира.
Со времен Ньютона развитие физики происходило таким образом, что при изучении любого нового явления- электрического, оптического- для него прежде всего пытались придумать механическую аналогию, т.е. объяснить его с точки зрения законов механики. Например, Кельвин говорил, что понимает явление, если может составить для него механическую модель. Максвелл приложил много усилий для того, чтобы объяснить с помощью механических представлений найденные им уравнения электромагнитного поля. Однако многие современные физики и инженеры уже предпочли бы сказать, что понимают механическое явление, если создали для него электрическую модель. Именно при изучении колебательных процессов пришло в физику отчетливое понимание того, что явления разной природы, несмотря на внешнее сходство, несводимы друг к другу, однако могут подчиняться одинаковым законам и описываться одними и теми же уравнениями.
Ярким подтверждением вышесказанному являются фигуры Лиссажу, с которыми приходится встречаться довольно часто в тех случаях, когда колебания взаимно перпендикулярны. Так, они неизбежно появляются и при колебании маятника и при настройке осциллографа.
I. Маятник Фуко
Обычный, хорошо нам знакомый математический маятник не меняет плоскости своих колебаний.
На этом свойстве маятника основана известная демонстрация вращения Земли- опыт Фуко. На длинном тросе подвешен тяжелый шар. Он качается над круглой площадкой с делениями. И когда проходит некоторое время, зрители видят, что маятник качается уже над другими делениями круга. Создается впечатление, что маятник повернулся, стал качаться в другой плоскости. На самом же деле это впечатление ошибочное. Маятник качается в прежней плоскости, никуда он не повернулся, он строго сохраняет плоскость своего качания, ведь никакие посторонние силы не пытаются сдвинуть его в сторону от своей дороги. Почему же все-таки он очутился над другими делениями круга? Потому что повернулся сам круг, повернулся вместе с Землей. Благодаря тому, что плоскость колебаний маятника относительно неподвижных звезд не меняется, а Земля вращается вокруг своей оси, с течением времени маятник проходит последовательно над всеми отметками круга. На полюсе за сутки круг под маятником совершит полный оборот. Впервые такой опыт был проведен французским физиком Л. Фуко в 1851 году под куполом Пантеона в Париже с маятником длиною 67 м.
Проделаем такой опыт. Привяжем к карандашу нитку с грузиком- например, с гайкой. Положим на стол линейку и, держа карандаш горизонтально, подтолкнем маятник, чтобы он качался вдоль линейки. Начнем постепенно поворачивать карандаш в горизонтальной плоскости. Мы убедимся, что поворот карандаша не повлиял на маятник, он будет по- прежнему качаться вдоль линейки. Во время этого опыта не должно быть ветра, сквозняка, которые могли бы оказать влияние на маятник.
II. Сложение колебаний
Что произойдет, если на маятник оказать влияние?
Колебания можно складывать. Если они направлены в одну сторону, то получаются колебания, размах которых равняется сумме размахов слагаемых колебаний. Если же направления колебаний одинакового размаха противоположны, то колебания вычитаются друг из друга и прекращаются. На специальном приборе ставится опыт со звуком. В результате вычитания одного звукового колебания из другого, точно такого же, звук исчезает и ничего не слышно.
А если складывать два взаимно перпендикулярные колебания, сообщив их одному маятнику? Ведь нить подвеса позволяет ему колебаться в любой вертикальной плоскости. Посмотрим, что получится в результате этого сложения.
Подвесим маятник в таком месте, чтобы его колебаниям ничто не мешало (например, дверной проем). Отклоним его вправо и, перед тем как опустить, толкнем вперед. Маятник получил сразу два направления движения: ему надо качаться справа налево и одновременно вперед и назад, поскольку мы его так толкнули. Направления колебаний перпендикулярны друг другу, они складываются, и маятник теперь описывает эллипсы и даже окружности.
III. Странный маятник
Сделаем другой маятник. Возьмем нитку, сложим ее пополам и к середине привяжем еще одну нитку. К другому концу этой второй нитки прикрепим какой-нибудь груз- и маятник готов. (Вертикальная нить подвеса должна быть достаточно длинной. По крайней мере, не меньше, чем нить наклонного подвеса.)
Подвесим маятник за оба конца сложенной пополам нитки на кнопках или гвоздиках (например, в дверной проем). Если теперь отклонить маятник от положения равновесия и затем отпустить, то увидим любопытную картину. Маятник будет двигаться по эллипсу, причем этот эллипс будет постоянно меняться, вытягиваться то в одну, то в другую сторону. Почему это происходит?
У маятника с одной точкой подвеса плоскость колебаний ничем не выделена. Каким бы ни было первоначальное отклонение маятника, все силы, действующие на него, лежат в одной плоскости. Нужно только, отпуская маятник, не толкнуть его вбок.
Другое дело наш маятник. Здесь точками закрепления и линией отвеса строго фиксирована первоначальная плоскость. Поэтому с самого начала маятник отклонен так, что он не лежит в этой плоскости. Конечно, если отклонить маятник строго перпендикулярно плоскости подвеса, он будет совершать колебания в одной плоскости, перпендикулярной плоскости подвеса. Но практически всегда существуют отклонения от перпендикуляра. Сила натяжения имеет составляющую, перпендикулярную первоначальной плоскости. Благодаря этой составляющей движение маятника выходит из первоначальной плоскости. При этом, поскольку сила натяжения не постоянна, меняется и ее перпендикулярная составляющая. Далее, отклоняясь в противоположную сторону, маятник натягивает другую из закрепленных нитей. Это приводит к появлению силы, действующей в другом направлении. При этом, как показывает опыт, и возникает движение по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
IV. Наблюдение фигур Лиссажу
Кривые, которые описывает наш маятник, называются фигурами Лиссажу, по имени французского физика Ж. Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их. Фигуры Лиссажу получаются при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний. Они могут быть довольно сложными, особенно при близких частотах продольных и поперечных колебаний. Если частоты одинаковы, траекторией движения будет эллипс. Соотношение частот можно варьировать, меняя отношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса. При этом вычислить частоты колебаний маятника довольно сложно, а вот увидеть фигуры, вычерчиваемые им, значительно проще.
Вот как это, например, делается. Склеим из картона конус с маленьким (один- два миллиметра) отверстием в его вершине. Подвесим конус за две нитки в дверном проеме вершиной вниз. Зажмем обе нитки зажимом «крокодил» в каком-нибудь месте, скажем, в пяти сантиметрах от конуса. На пол положим кусок бумаги черного цвета.
Затем надо отвести маятник немного на себя и вправо и насыпать в воронку конуса просеянного, промытого, просушенного песка. Отпустив маятник, сможем наблюдать получающиеся в результате его колебаний фигуры Лиссажу. Меняя положение зажима ниток, т.е. соотношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса, можно получать разные фигуры.
В опытах с маятником следует учитывать, что более или менее правильная траектория получается только в том случае, когда нет сильных затуханий. Колебания маятника с малой массой груза и достаточно большим объемом будут быстро затухать. Такой маятник качнется несколько раз, быстро уменьшая амплитуду. Естественно, при движении с сильным затуханием увидеть и сфотографировать изменение направления колебаний маятника не удается.
V. Математическая модель фигур Лиссажу
Самые простые колебания тела – это колебания, при которых отклонение x тела от положения равновесия изменяется по закону
где А- амплитуда, ω — частота, φ — начальная фаза колебаний.
Такие колебания называются гармоническими.
Кривую, которая является графиком функции вида x = А sin (ω t + φ) называют синусоидой. График этой функции получается из синусоиды x= sin t сдвигом по оси Оt на – φ, растяжением (сжатием) в ω раз по оси Оt и растяжением (сжатием) в А раз по оси Ох.
Гармонические колебания совершают математический маятник, груз на пружинке, напряжение в электрическом контуре. Еще один пример синусоидальных колебаний- звук (гармонические колебания воздуха). Однако редко удается услышать чистый звук- звук, соответствующий колебанию x=А sinωt. В большинстве случаев мы слышим ряд других звуков (обертоны), соответствующих колебаниям с меньшей амплитудой. Эти звуки музыкальных инструментов дают основному тону специфическую окраску- тембр.
Сумма двух любых гармонических колебаний с одной и той же частотой (периодом) снова является гармоническим колебанием с той же частотой (периодом):
Результатом сложения гармонических колебаний с различными частотами служит более сложное колебание, вообще говоря, отличное от гармонического колебания.
При сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях получается более сложная траектория, которая описывается системой уравнений
где x и y – проекции смещения тела на осях X и Y.
В этой работе я рассмотрела случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Фигуры Лиссажу можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая одновременно на вход X и вход Y (горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины) переменные напряжения кратных частот.
где φ — угол сдвига фаз колебаний, ω = 2πν- круговая частота колебаний
Введем новые переменные 
, получаем
Исключая время t, получаем кривую в координатах (x, y) . Из первого уравнения найдем 
и подставим во второе:
Возведем обе его части в квадрат, тогда окончательно получаем:
— уравнение эллипса.
В зависимости от значения φ получаем различно ориентированные эллипсы.
Если φ= φ(t), то фигуры будут двигаться на экране осциллографа.
В случае кратных частот колебаний получаем соответствующие фигуры Лиссажу:
б) при кратности частот 
получаем фигуру Лиссажу типа короны с тремя пиками:
в) при кратности частот 
получаем кардиоиду:
Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы, которые при разности фаз φ=0 или φ=π вырождаются в отрезки прямых, а при φ=π/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний не совпадают точно, то φ всё время меняется, вследствие чего эллипс непрерывно деформируется. При существенно различных периодах эллипс деформируется быстро, картина размывается, и фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. При этом число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, в который она вписывается, даёт отношение периодов обоих колебаний.
Вид фигур Лиссажу при различных соотношениях периодов (1 : 1, 1 : 2 и т. д.) и разностях фаз.
Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране электронно-лучевого осциллографа, если к двум парам отклоняющих пластин подведены переменные напряжения с равными или кратными периодами. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между периодами и фазами обоих колебаний. Если колебания, которые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные фигурам Лиссажу, но искажённой формы. По виду этих фигур можно судить о форме колебаний. Таким образом, наблюдение фигур Лиссажу- удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также и формы колебаний.
От двух камертонов из опытов Лиссажу к одной эллиптической уровнемерной трубке с шагом в столетия и всё на Python
Картинки из сети, качество желает лучшего, но они достаточно точно отражают суть опыта по визуализации фигур. Зри в корень – основа мудрости поколений.
Немного истории
Ещё в школе на уроках физики я вглядывался в осциллограф, на экране которого, сменяя друг друга, появлялись разные фигуры: сначала простые – линия, парабола, круг, эллипс, потом фигуры становились всё более насыщенные непрерывными волнообразными линиями, напоминающие мне кружева. Автором этого кружевного дива был Жюль Антуан Лиссажу французский физик, член — корреспондент Парижской АН (1879) [1]. Сами фигуры — это замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях [2]. Думаю, что в те далёкие от современности годы основной заслугой Жюля, кроме конечно накопленных опытом знаний математики и физики, была простая механическая визуализация этих фигур подручными средствами. Захотелось конструировать подобно Жулю максимально просто и наглядно, реализовать его идеи применительно к современной задаче линейных измерений. Но сделать это путём математического моделирования с графической визуализацией его результатов на Python. Но сначала рассмотрим классический вариант [3] построения фигур.
Какими должны быть фигуры Лиссажу
Для этого воспользуемся системой уравнений, описывающих фигуры:
x(t), y(t) в общем случае зависящие от времени гармонические колебания вдоль взаимно перпендикулярных плоскостей, частоты b, a и начальная фаза d. Для анализа фигур в вычислениях принимают постоянным модуль разности частот |b — a| = 1. Будем рассматривать отношение круговых частот b / a и начальную фазу d. Имеем для линии A = B d = 0, окружности 
, и параболы 
. Основные отношения частот, удовлетворяющие условию, занесём во вложенный список m=[[0],[2,2],[2,1],[1,2],[3,2],[3,4],[5,4],[5,6],[9,8]].
Результат не привожу, отдельные фигуры не впечатляют. Хочу коллаж из «кружев».
И вот они «кружева».
Что нельзя отнести к фигурам Лиссажу по определению о их замкнутости
Зачем нам |b — a| = 1, “за флажки!” попробуем например так m=[[1,3],[1,5],[1,7],[1,9]]
На втором графике при m=0,2 получена незамкнутая траектория, которая по определению не является фигурой Лbссажу.
В поисках механических аналогов
Поищем аналогии фигур в измерительной технике и вот вибрационный уровнемер с резонатором в виде эллиптической трубки [4].
Упруго закреплённая трубка эллиптического сечения с помощью систем возбуждения 5,6,7 совершает автоколебания в одной плоскости, а с помощью систем 8, 9, 10 в другой плоскости перпендикулярной первой. Трубка колеблется в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с разными частотами близкими к собственным. Масса трубки зависит от уровня заполняющей её жидкости. С изменением массы меняются и частоты колебаний трубки, которые и являются выходными сигналами уровнемера. Частоты несут дополнительную информацию о мультипликативных и аддитивных дополнительных погрешностях, компенсируемых при обработке частот микропроцессором 11.
Условия адекватного моделирования
Для более-менее корректной привязки фигур Лиссажу к работе упомянутого уровнемера, следует учесть следующие обстоятельства. Во-первых, закреплённая одним концом трубка эллиптического сечения — это колебательная система с распределёнными параметрами, что сильно усложняет анализ её колебаний. Во-вторых, отношение частот колебаний трубки не может изменяться произвольно, оно зависит от эллипсности сечения и допустимых зазоров в системе возбуждения колебаний. Для отношения частот можно получить простое соотношение.
К чему принадлежат переменные, a, b, a0, b0 ясно из рисунка и кроме того формула для циклической частоты осциллятора известна из школьного курса физики. Для «реализации на Python в последнее отношение введём толщину стенки и показатель эллипсности внутреннего сечения трубки, тогда вместо четырёх переменных получим три.
В результате работы программы получим график.
График построен для малой внутренней полуоси в 9 мм. Для конструктивно допустимого отношения малой к большой полуоси сечения в диапазоне от 0.8 до 0.95. Это основной фактор влияния на отношение частот, которое изменяется от 1.18 до 1.04. Толщина стенки влияет незначительно. Теперь у нас есть диапазон отношений и ним можно воспользоваться для дальнейшего моделирования.
Формы колебаний вертикальной оси трубки
Что касается распределённых механических параметров консольной трубки, то они при помощи равенства собственных частот и импеданса могут быть приведены к сосредоточенной массе жёсткости и демпфированию. Кроме того, для определения форм изгибных колебаний консольной трубки можно получить выражение для распределённых параметров. Уравнение для форм – балочные функции имеет вид:
где 
— корни уравнения:
Следует отметить что, не смотря на большое количество публикаций о формах и частотах колебаний консольного стержня, балки или трубки уравнения (4) нигде не приводяться, только рисунки без координат. Поэтому уравнение (4), я вывел через условия на концах и балочные функции, проверил по корням (5) и расположению узлов. Однако это тривиальное уравнение, о котором просто забыли.
1.1 — 
В результате работы программы получим график построенный с учётом вертикального положения трубки.
На графике координата осевой линии приведена к длине трубки, а амплитуда нормирована. Положение узлов колебаний трубки относительно места её крепления в точности соответствует теории колебаний.
По каким траекториям движется конец трубки
Последнее препятствие — сложность получения осмысленного численного решения дифференциальных уравнений колебаний, при условии варьирования несколькими параметрами одновременно. Тут на помощь пришли две мои статьи о колебательном звене на Python [5,6], в которых приведена методика получения точных символьных решений дифференциальных уравнений.
Запишем два условно независимых уравнения для колебаний трубки в плоскости OX и OY с разными частотами a и b отношение между которыми выбрано из ранее установленного диапазона. Остальные параметры выбраны во правильной взаимосвязи, но произвольно для лучшей демонстрации результата.
Здесь введены следующие обозначения (для упрощения без индексов).
─ приведенная амплитуда силы, 
─ коэффициент затухания, 
─ собственная частота колебаний системы, m ─ сосредоточенная масса одинаковая для обоих уравнений, 
─ сосредоточенные коэффициенты демпфирования, разные из-за разных амплитуд, а следовательно разных зазорах в системах возбуждения колебаний, 
─ разные жёсткости из-за эллиптичности сечения трубки.
Программа позволяет менять все параметры модели, например, для:
N=1000, B=0.2, f=1, n1=0, n2=20, w1=5.0, w2=10.0, v1=0, v2=0
Для отношения частот 0.5 переходной процесс множит фигуры. Поставим “ворота” времени n15=0, n2=20, получим.
Снимем” ворота” и введём начальную фазу v2=-pi/2, получим:
С учётом изложенного выше, графики комментарий не требую.
Для интриги
Если эта статья найдёт своих читателей или читатели её найдут, не устрашившись теней прошлого, то я опубликую трёхмерные анимационные графики сложных пространственных колебаний трубки при изменении в ней уровня заполняющей жидкости.
Вместо выводов
Изобретение Жюля Антуана Лиссажу продолжает свой путь во времени, но уже и на Python. Надеюсь, что представленная интерпретация, конечно далёкая от совершенства, позволит продолжить знакомство с работами гениального математика Лиссажу.