Построить поверхность второго порядка
Задача. Дано уравнение поверхности второго порядка. Требуется построить соответствующую поверхность. Решение. Для решения этой задачи следует просто ввести в решатель ваше уравнение и вы сразу получите рисунок поверхности. Решатель можно также использовать для того, чтобы определить тип поверхности. Приведем примеры как надо вводить уравнения поверхностей.
Эллиптический параболоид: Эллипсоид: Бесконечный эллиптический конус: Гиперболический параболоид:
Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
Тогда полуоси эллипсоида будут
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
Гиперболический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.
Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
Гиперболический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
Параллельные плоскости
Если K 2 < 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
перепишем его в виде
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
перепишем его в виде
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .
Решаем характеристическое уравнение:
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .
Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 < 0 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
, целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением
F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.
Эллипсоид:
Мнимый эллипсоид.
где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.
Свойства эллипсоида.
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Эллипсоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается
Однополостной гиперболоид.
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Однополостной гиперболоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается
эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
 |
 |
Двуполостной гиперболоид.
Свойства двуполостного гиперболоида.
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при
получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям
Ox и Oy, – гипербола.
 |
 |
 |
Эллиптический параболоид.
В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной
гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.
Эллиптический параболоид.
Свойства эллиптического параболоида.
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
2. Эллиптический параболоид обладает:
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:
Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную
вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через
вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z0>0 является эллипсом.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x0 или y=y0 является параболой.
kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Поверхности второго порядка
где A, B, C, D, E, F, G, H, K, L – действительные числа.
Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Существует девять классов невырожденных поверхностей второго порядка, канонические уравнения которых можно получить из общего уравнения с помощью преобразований системы координат (параллельного переноса и поворота в пространстве осей координат). В результате этих преобразований получаем следующие канонические уравнения:
(эллипсоид, рис. 1)
(однополостный гиперболоид, рис. 2)
(двуполостный гиперболоид, рис. 3)
(конус второго порядка, рис. 4)
(эллиптический параболоид, рис. 5)
(гиперболический параболоид, рис. 6)
(эллиптический цилиндр, рис. 7)
(гиперболический цилиндр, рис. 8)
(параболический цилиндр, рис. 9)
Определение 2. Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l (мы будем рассматривать прямые, параллельные координатной оси), называется цилиндрической поверхностью.
Линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность – образующей.
Рассмотрим в плоскости Oxy линию L, уравнение которой
Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и
Покажем, что уравнение этой поверхности есть уравнение (11). Пусть
– любая фиксированная точка цилиндрической поверхности. Через точку
проведем образующую, точка N – точка пересечения этой образующей с направляющей цилиндрической поверхности. Точки M и N имеют одну и ту же абсциссу и ординату. Но точка N лежит на кривой L и ее координаты x и y удовлетворяют уравнению (11). Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M (x, y, z), так как оно не содержит z. Координаты любой точки M (x, y, z) цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (11). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (11) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость Oxy вне кривой L.
Вывод. Уравнение F (x, y) = 0, не содержащее z, если его отнести к системе координат Oxyz, является уравнением цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными оси Oz, и направляющей L, которая в плоскости Oxy задается тем же уравнением F (x, y) = 0.
уравнение F (x, z) = 0, не содержащее y, и
уравнение F (y, z) = 0,
x, определяют цилиндрические поверхности с
образующими, параллельными соответственно осям Oy и Ox.
Примерами цилиндрических поверхностей являются эллиптический цилиндр (рис. 7), гиперболический цилиндр (рис. 8) и параболический цилиндр (рис. 9). Их образующие параллельны оси Oz, а направляющими являются соответственно эллипс, гипербола и парабола, лежащие в плоскости Oxy.
Определение 3. Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку P, называется конической поверхностью.
Линия L называется направляющей конической поверхности, точка P – ее вершиной,
а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность – образующей.
Примером конической поверхности является конус второго порядка (рис. 4). Направляющей для нее является эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости z = c.
Форму и свойства поверхности второго порядка устанавливают с помощью метода сечений. Суть этого метода состоит в том, что исследуемая поверхность пересекается плоскостями, параллельными координатным плоскостям. По виду и свойствам линий, получаемых в сечениях, делается вывод о форме и свойствах самой поверхности. Сечения поверхности координатными плоскостями называются главными сечениями.