Как изобразить на комплексной плоскости множество точек

Множества на комплексной плоскости.

Для того, чтобы правильно строить типичные кривые на комплексной плоскости, прежде всего надо помнить, что . Следовательно,— это окружность радиусас центром в точкена комплексной плоскости (расстояние от точкидо точки равно).— это круговое кольцо с центром в точке, включая внутреннюю окружность радиусом, исключая внешнюю окружность радиусом.

— это прямая линия на комплексной плоскости,— угол наклона прямой к действительной оси. Некоторые часто встречающиеся кривые и области изображены ниже

При построении двух последних областей надо вспомнить определение эллипса (геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости постоянна и равна()) и определение параболы (геометрическое место точек плоскости, расстояние которых от фиксированной точки плоскостиравно расстоянию до фиксированной прямой).

Открытые и замкнутые множества, односвязное множество.

называется множество.

Точка называетсявнутренней точкой множества,если существует ее окрестность, целиком принадлежащая этому множеству. Например, все точки круга— внутренние.

Точка называетсяграничной точкой множества, если в любой ее окрестности найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству.Границей множества называется совокупность его граничных точек. Например, окружность— граница круга.

Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Например, круг— открытое множество.

Замыканием множества называется объединение множества и его границы.Замкнутымназывается множество, совпадающее со своим замыканием.

Множество называется ограниченным,если его можно накрыть кругом конечного радиуса.

Открытой областью (или просто областью) называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить ломаной, целиком принадлежащей множеству.

Замкнутой областью называется объединение открытой области и ее границы.

Рассмотрим последовательность комплексных чисел . Последовательность называетсянеограниченно возрастающей, если. То есть все элементы неограниченно возрастающей последовательности нельзя накрыть кругом конечного радиуса.

По определению полагают, что все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к (единственной) бесконечно удаленной точке (илиБУТ), которая не принадлежит комплексной плоскости. Пополняя комплексную плоскость, мы получаемрасширенную комплексную плоскость.

Пояснить единственность бесконечно удаленной точки можно, рассматривая сферу Римана

Сфера находится на комплексной плоскости. Проведем прямую из верхней точки сферы (ее северного полюса) в какую-либо точку комплексной плоскости. Прямая «проткнет» сферу в некоторой точкеM. Организуем из точекzплоскости неограниченно возрастающую последовательность. Образы этих точек стремятся к точкеP, а сама точкаPявляется отображением бесконечно удаленной точки плоскости.

Кривой на комплексной плоскости называется однопараметрическое семейство точек плоскости.Точкой самопересечения или кратной точкой кривойназывается точка, отвечающая двум или более значениям параметра.

Кривая, не содержащая кратных точек, называется простой или жордановой кривой. Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с ее концом.

Теорема Жордана. Любая замкнутая жорданова кривая делит расширенную комплексную плоскость на две области, общей границей которых она является. Одна из этих областей ограничена и называется внутренностью кривой. Вторая не ограничена и называется внешностью кривой.

Множество называетсяодносвязным,если для любой замкнутой кривойлибо внутренность кривой принадлежит, либо внешность кривой принадлежит. Например, множества, да и все изображенные на рисунках области, за исключением кругового кольца— односвязные, они «не содержат дыр».

04. Множества точек на комплексной плоскости. задание геометрических мест

При решении геометрических задач используется геометрический смысл модуля комплексного числа, его аргумента, геометрический смысл введенных алгебраических операций и пр. Приведем конкретные примеры.

Пример 1. Какое множество точек на плоскости (z) определяется условием

Решение. Имеем и, стало быть, . По условию или . Последнее неравенство определяет множество точек в первом и третьем квадрантах, соответственно над и под гиперболой (см. рис.6).

Пример 2. Какое множество точек на плоскости (Z) определяется условием ?

Решение. Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка –1+I и концом – точка z. Угол между этим вектором и осью Ox есть , и он меняется в пределах от до . Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки –1+ I и образующими с осью Ox углы в и
(рис.7).

Пример 3. Какая кривая задается уравнением , где C и A – действительные положительные числа, причем A >C.

Решение. Модуль Есть расстояние между точками Z и – C; — расстояние между точками Z и C. По условию сумма расстояний от точки Z до двух данных точек —C и C есть величина постоянная. Значит, точка Z лежит на эллипсе. Уравнение этого эллипса имеет вид , где
(рис.8).

Пример 4. Какая кривая определяется уравнением ?

Решение. Имеем (см.(1.9)) . По условию или — это окружность (рис.9).

Пример 5. Написать в комплексной форме уравнение прямой .

Решение. Подставляя X и Y по формуле (1.9) в уравнение прямой, получим , или . Обозначив , получим уравнение: — уравнение прямой в комплексной форме.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать следующие соотношения:

3. Найти действительные решения уравнений:

Б) , где A, B – заданные действительные числа, ;

4. Представить комплексное число в алгебраической форме.

5. Вычислить (X— действительное число).

6. Выделить X и Y через U и V (X,…,V – действительные числа), если .

7. Найти все числа, удовлетворяющие условию .

8. Решить системы уравнений:

9. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа. Записать число в тригонометрической и показательной формах:

А) –2; б) 2I; в) ; г) –Z — I; д) 4-3I; е)
ж) ; з) ;

10. Вычислить:

11. Найти все значения корней:

А) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

Ж) ; з) ; и); к) ; л) ; м) .

12. Решить квадратные уравнения:

13. Решить уравнения:

14. Найти множества точек на плоскости (Z), определяемые заданными условиями:

15. Какие линии определяются следующими уравнениями:

16. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий:

А) координатных осей Ox и Oy; б) прямой Y = X; в) прямой , — действительные числа; г) гиперболы ; д) окружности .

Решение неравенств с комплексными переменными

Рассмотрим задачи на нахождение областей в комплексной плоскости, заданных неравенствами. Чтобы решить данные неравенства с комплексными числами, вначале необходимо перейти к декартовым координатам, т.е. перейти к действительному представлению.

Чтобы представить комплексное число в действительной форме, нужно заменить комплексную переменную z действительными переменными x и y, а именно z = x + iy, где
x = Re(z), y = Im(z).

Пример 1. Найти на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

|z + i| < 2.

Решение неравенства с комплексными числами начинается с представления числа в действительной форме. Неравенство примет вид:

Для того, чтобы избавиться от ограждающего знака модуля, используют стандартную замену:

Как мы знаем из начальных уроков, |z| это модуль комплексного числа, х — действительная часть комплексного числа, y — это мнимая часть комплексного числа, которая находится в связке с мнимой единицей. Итоговый ответ, область решения — это часть плоскости, расположенная внутри круга

Пример 2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

Заменяем переменную z представлением в действительной форме z = x + iy, приводим подобные члены, берем действительную часть от получившегося комплексного числа и
приводим к стандартному виду получившееся комплексное число:

Областью решения неравенства

является плоскость, расположенная выше прямой у = 1. Рисунок не прикрепляю, все просто — чертим прямую у = 1 и штрихуем область выше этой прямой.

Чтобы изобразить область, заданную несколькими неравенствами, нужно изобразить области, задаваемые отдельными неравенствами, а затем найти их общую часть.

Пример 3. Построить область, заданную неравенствами

Вначале, заменяем z=x+iy, затем группируем подобные члены, чтобы сформировать действительное представление комплексного числа.

Первое неравенство задает внешнюю часть окружности радиуса 1 с центром в точке (-1; 0) с границей (белый круг). Второе неравенство задает внутреннюю часть окружности радиуса 1 с центром в точке (0; -1) без границы.

Сделаем рисунок в качестве графического доказательства. Область окружности, закрашенная зеленым цветом, является графическим ответом к решению заданного неравенства с комплексными числами:

Множества на комплексной плоскости

Напомним известные из анализа функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать в терминах комплексной плоскости, т.е. точка плоскости — это точка 1. Множество точек на расстояние, меньшее чем заданное число , называется ε-окрестностью точки , будем обозначать ее . Используя понятие расстояния между точками плоскости , определение можно записать в виде соотношения:

Очевидно, что геометрически — круг с центром в точке и радиусом .

2. Множество точек , образует проколотую окрестность точки .

3. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. — внутренняя точка множества , если и , что .

4. Множество, состоящее только из внутренних точек (множество, все точки которого являются внутренними), называется открытым.

5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не принадлежащие ему, т.е. — граничная точка множества , если для и , то , такие. что .

Совокупность граничных точек множества образует границу множества.

Направление обхода границы называется положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева.

6. Множество, содержащее все свои граничные точки (множество вместе с границей), называется замкнутым. Оно обозначается , то есть — граница множества .

7. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству.

8. Открытое, связное множество называется областью. Область с присоединенной границей — замкнутая обметь, 9. Область (множество) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей области, точки множества, границей которого является кривая, также принадлежат области. В противном случае — область многосвязная.

10. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из компонент. Порядок связности многосвязной (n-связной) области определяется числом связных компонент границы области.

На рис. 1.10 приведены геометрические примеры односвязных и многосвязных областей. Обход границы области указан стрелкой.

11. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество, т.е. ограничено, если

Кривые на комплексной плоскости

На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая принимает на этом множестве комплексные значения: любому соответствует — комплекснозначная функция действительной переменной.

Например, — комплекснозначные функции, первые две определены для любого .

Для функции , так же как для действительной функции действительной переменной, вводится понятие предела в точке, а на его основе — понятия непрерывности, производной, интеграла.

Так как для любого значения является комплексным числом, то, записав его в алгебраической форме , получим, что задание комплексной функции действительной переменной на некотором множестве равносильно заданию на этом множестве двух действительных функций и .

Используя соответствующие определения, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул:

1. Для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции и .

Уравнения кривых на комплексной плоскости

Одним из способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание:

Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые.

Кривая называется гладкой на множестве , если функции имеют на непрерывные производные . Геометрически гладкая кривая характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой.

Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.

На рис. 1.11 изображены кривые, которые являются кусочно-гладкими на и гладкими на каждом из интервалов и .

Из определения функции , данного выше, следует, что геометрически её задание определяет кривую на плоскости (и обратно): по формуле (1.18) любому значению , то есть число .

Следовательно, параметрическое задание кривой в форме (1.18) равносильно заданию . Равенство

называется уравнением кривой в параметрической форме.

Пример 1.26. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке , а радиус равен Решение

Используем известные параметрические уравнения окружности:

Отсюда получаем или , где — центр окружности. Используя формулу Эйлера, окончательно запишем уравнение окружности в параметрической форме:

Заметим, что если переписать (1.20) в виде , то получим равенство , которое определяет окружность как геометрическое место точек плоскости (точек . Очевидно, уравнение (1.20) определяет гладкую кривую, что соответствует геометрическому виду этой кривой.

Уравнение плоской кривой, как известно, можно также записать в виде , т.е. соотношения, связывающего декартовы координаты точек, принадлежащих этой линии; в частности, — явное задание линии. Но так как пара определяет комплексное число , то, выразив через и получаем и . Поэтому равенство

есть уравнение кривой на плоскости, записанное в комплексной форме. Используя тригонометрическую форму задания комплексного числа, можно получить и другие виды уравнений кривых на комплексной плоскости.

Пример 1.27. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности.

а) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид . Подставляя в это уравнение и , находим

Введя обозначение , окончательно получим — уравнение прямой в комплексной форме.

б) Используем уравнение окружности в общем виде . Подставляя в это уравнение и получаем

уравнение окружности в комплексной форме. Заметим, что при Замечание 1.2. Утверждение, что уравнение прямой на плоскости является частным случаем уравнения окружности на комплексной плоскости имеет более глубокий смысл: прямые как геометрический образ являются частным случаем окружности (их можно рассматривать как окружности "бесконечного" радиуса, ) точками на сфере Римана.

Имеет место утверждение: окружности и прямые плоскости при стереографической проекции отображаются в окружности, причем образом окружности является окружность на сфере Римана, не проходящая через точку и ввести систему координат , направив по лучу , а плоскость , где ось , совпадает с , а ось — с , то, используя коллинеарность векторов плоскости на сфере. Эти формулы имеют вид .

Подставляем их в уравнение окружности и учитывая, что точка лежит на сфере, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению или , после преобразований получаем уравнение плоскости . Следовательно, образом окружности является линия пересечения сферы этой плоскостью, т.е. окружность на сфере. При ; ее образом на сфере будет окружность

проходящая через точку удовлетворяют этой системе.

Аналогично доказывается обратное утверждение: окружностям на сфере, не проходящим через точку , а окружностям, проходящим через Пример 1.28. Записать в комплексной форме уравнения: а) координатных осей; б) биссектрисы первого и третьего координатных углов.

а) Для уравнения оси из и получаем из следует принимает вид , или .

Если умножить уравнение на , то его можно записать иначе: Пример 1.29. Записать в комплексной форме уравнение:

Для решения удобно использовать задание комплексного числа в тригонометрической форме, т.е. через и :

а) любой точке дуги соответствует число , а аргумент удовлетворяет условию . Соотношения определяют соответствующую дугу. Полученный результат можно записать в комплексной форме: или в параметрической форме: ;

б) используя результат примера 1.28, ответ можно записать в вид Более удобной является запись ;

в) используя результат предыдущего пункта, ответ можно записать в виде .

Пример 1.30. Определить вид кривой, заданной комплексным соотношением: a) ; б) .

а) Подставив , запишем числа в алгебраической форме: . Далее по определению модуля запишем квадраты модулей полученных комплексных чисел: . Отсюда после преобразований имеем — уравнение биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Задачу можно решить иначе, геометрически, если воспользоваться геометрическим смыслом модуля как расстояния между точками. Переформулируем условие следующим образом: найти геометрическое место точек .

б) Решим задачу геометрически. На оси отмечаем точки –3 и 5 и через середину отрезка их соединяющего (точку Пример 1.31. Определить вид кривой, заданной уравнением в комплексной форме:

а) Используя правило деления , находим . Получаем уравнение кривой в действительной форме:

Это уравнение окружности радиуса .

б) Производим действия, как в предыдущем пункте:

В результате получено уравнение окружности радиуса с центром в точке .

Области на комплексной плоскости

Будем рассматривать области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых, в частности простых кривых, т.е. не имеющих точек самопересечения, а также отдельных изолированных точек.

Приведем аналитические выражения для областей простейшего вида, границами которых являются простейшие линии — прямые, окружности.

1. Круг радиуса задается неравенством . Это — открытое, связное множество, т.е. область. Область — ограниченная, односвязная; ее границей является окружность (рис. 1.12,а). В частности, круг есть окрестность точки . Заметим, что неравенство определяет замкнутую область, т.е. область вместе с границей.

2. Проколотая окрестность точки — круг с выброшенным центром задается неравенством . Это двусвязная, ограниченная область, граница которой состоит из двух компонент — окружности и точки (рис. 1.12,б).

3. Окрестность бесконечно удаленной точки определяется как множество точек плоскости , образами которых на сфере Римана являются точки, принадлежащие окрестности точки этой окружности соответствует также окружность, центр которой, очевидно, находится в точке . Сферической окрестности точки и которая содержит бесконечно удаленную точку (образ точки (рис. 1.12,в).

4. Кольцо с центром в точке , радиус внешней окружности которого , задается неравенством (рис. 1.12,г). Это — ограниченная, двусвязная область, граница которой состоит из двух окружностей и .

5. Верхняя полуплоскость плоскости — множество точек, для которых , т.е. в комплексной форме — нижняя полуплоскость. Неравенство — левую полуплоскость. Это односвязные, неограниченные области.

Заметим, что на расширенной комплексной плоскости граница односвязной области состоит либо только из одной замкнутой кривой, либо её границей является единственная точка ).

Теорема Жордана

Утверждение 1.1. Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две области.

Если граница — ограниченная кривая, то области называются внутренней и внешней; внутренняя — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, внешняя — другая область. Так, на рис. 1.12,в область внешность круга; а множество — внутренняя часть круга, или просто круг

Пример 1.32. Определить вид множеств, заданных соотношениями:

1) Искомым множеством является пересечение кольца и нижней полуплоскости — нижнее полукольцо (рис. 1.13,а). Это — ограниченная односвязная область.

2) Искомым множеством является пересечение круга и правой полуплоскости — правый полукруг (рис.1.13,б). Область ограниченная односвязная.

3) Определяем вид границы множеств — линий и . Второе равенство определяет два луча и и, следовательно, мнимую ось. Чтобы определить вид другой линии, запишем уравнение в действительной форме, производя указанные действия с

Поэтому уравнение , то есть , есть уравнение окружности , а неравенство — круг, который можно записав иначе . Ответом является та же область, что и в предыдущем пункте (рис. 1.13,б).

Пример 1.33. Определить вид множеств, заданных неравенствами:

Для выяснения вида множества в каждом случае сначала определяем вид границы:

1) границей множества является линия , или , то есть . Она разбивает плоскость на две полуплоскости — верхнюю (содержит, например, точку , то есть . Условие определяет полосу на плоскости (условию удовлетворяет, например, точка и . Контур прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, разбивает плоскость МП два множества: внутреннюю часть и внешнюю. Условию задачи удовлетворяет, например, точка , описывает внутреннюю часть прямоугольника (рис. 1.14,в).

Пример 1.34. Записать в виде неравенств множества точек:

Чтобы получить неравенства, определяющие эти множества, сначала составим уравнения, описывающие их границы:

а) границами множества являются лучи и и , где и , то есть и . На комплексной плоскости уравнения этих лучей записываются в виде равенств и ; область, ими ограниченная, — в виде неравенства (рис. 1.15,д);

б) сектор . Это множество — ограниченная односвязная область (рис. 1.15,б).

Пример 1.35. Записать в виде неравенств множества, изображенные на рис. 1.16 (области заштрихованы, обход границ указан стрелками).

Как и в предыдущем примере, для каждого случая составим уравнение, описывающие границы множеств:

а) геометрически множество есть первый квадрант с разрезок (выброшенным лучом). Границами множества являются лучи и луч по биссектрисе от точки в бесконечность. Уравнение этого луча можно писать в виде .

Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,а, можно описать соотношениями: для точек или .

б) геометрически множество есть верхняя полуплоскость с разрезом по лучу от точки в бесконечность; уравнение луча: Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,б, можно описать соотношениями

в) на рис. 1.16,в изображена верхняя полуплоскость с "выброшенным" полукругом. Точки полукруга описываются системой