Президентский ФМЛ №239
Значение косинуса угла не зависит от того, какую длину наклонной выбрать.
Доказательство
Первый способ.
Следует из корректности определения синуса и теоремы Пифагора.
Второй способ.
Следует из подобия треугольников.
Свойства косинуса
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Первое свойство следует из того, что проекция меньше наклонной.
Докажем второй пункт теоремы.
Второе свойство следует из того, что углы $180^\circ-\alpha$ и $\alpha$ являются смежными.
Докажем третий пункт теоремы.
Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке $A$ и диаметром $DE$.
Пусть на прямой $DE$ задана числовая ось с началом в точке $A$ и единичным отрезком $AE$.
Проведем радиус $AB$ и получим угол $\a BAE$ некоторой величины $\alpha$.
Пусть точка $C$ является проекцией точки $B$ на прямую $DE$.
Тогда $\cos<\alpha>=AC$ при $\alpha\leqslant 90^\circ$ и $\cos<\alpha>=-AC$ при $\alpha>90^\circ$.
Это означает, что $\cos<\alpha>$ равен координате точки $C$ на оси $AE$.
Когда $\alpha$ возрастает $0^\circ$ до $180^\circ$ (то есть, когда точка $B$ пробегает полуокружность от точки $E$ до точки $D$), точка $C$ пробегает диаметр $ED$ от точки $E$ до точки $D$.
При этом координата точки $C$, то есть $\cos<\alpha>$, убывает от $1$ до $-1$.
Почему cos 90 равен 0
VIP
Сообщения: 1264 Зарегистрирован: 03 фев 2010, 00:42 Награды: 6 Версия LabVIEW: 6.1 — 2022 Откуда: Германия Поблагодарили: 11 раз Контактная информация:
Re: cos(90) не равен 0 ! почему так ?
Вычисления выполняются в радианах а не градусах
90 = Pi/2
а число Пи по определению иррациональное
так что приходится делать его округление на каком-то порядке
но в первую очередь, по крайней мере мне так кажется, что ошибка возникает именно из-за использования факториала в формулах вычисления Cos
VIP
Сообщения: 1264 Зарегистрирован: 03 фев 2010, 00:42 Награды: 6 Версия LabVIEW: 6.1 — 2022 Откуда: Германия Поблагодарили: 11 раз Контактная информация:
Re: cos(90) не равен 0 ! почему так ?
Ну как бы и LabVIEW немножко развращает в том смысле, что, к примеру, в классическом Си
код
a = 1.345;
b = 1.123;
c = a + b;
if (c == 2.468).
не даст истины, а LabVIEW бодро сравнивает и не чихает. Просто пользователь и не догадывается, что на самом деле введя 1.345, он ввёл 1,344999999999999970, а результат будет 2,467999999999999970.
Это на самом деле здорово, что теперь не надо городить конструкций типа FLOAT_EQ(c, 2.468), но иногда косяки вылазят — типа cos(90)!=0 и т.д.
Косинус угла.
КОСИНУС УГЛА (cos) – это отношение прилежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе.
Косинус угла α обозначается как cos α
Рассмотрим по квадрантам изменения функции косинуса угла а при том же движении подвижного радиуса ОВ по окружности от 0° до 360°.
По определению косинуса угла: cos α = OC / OB. Для единичной окружности, где ОВ=1, это длина отрезка ОС. Следовательно, косинус угла – это величина проекции подвижного отрезка ОВ на ось х.
Величина отрезка ОС изменяется (в пределах окружности) на оси х в зависимости от положения подвижного радиуса (величины угла).
Рассмотрим изменения функции (отрезка ОС) при движении подвижного радиуса по окружности и увеличении угла. Пределы изменения косинуса угла будем определять по квадрантам.
В I квадранте (ОС):
при α = 0° cos α = 1;
при 0° < α < 90° 1 > cos α > 0;
при α = 90° cos α = 0.
Во II квадранте (ОС1):
при α = 90° cos α = 0;
при 90° < α < 180° 0 > cos α > -1;
при α = 180° cos α = -1.
За пройденный подвижным радиусом (ОВ) первый полукруг изменился от 1 до -1, наибольшее и наименьшее его значения совпадают с длиной радиуса на положительной и отрицательной полуосях х.
Второй полукруг движения подвижного радиуса можно рассматривать как положительное направление (при движении ОВ дальше против часовой стрелки) и как отрицательное направление (если ОВ вращать по часовой стрелке). Рассмотрим только положительное направление.
В III квадранте (ОС2):
при α = 180° cos α = -1;
при 180° < α < 270° -1 < cos α < 0;
при α = 270° cos α = 0;
В IV квадранте (ОС3):
при α = 270° cos α = 0;
при 270° < α < 360° 0 < cos α < 1;
при α = 360° cos α = 1.
За пройденный второй полукруг изменился от -1 до 1, а наименьшее и наибольшее его значения совпадают с длиной радиуса на отрицательной и положительной полуоси х.
За весь оборот подвижного радиуса ОВ, от совпадения с ОА до второго их совпадения, угол численно изменился от 0° до 360°, а численное значение косинуса угла изменялось в предела от 1 до -1.
Численное значение синуса и косинуса угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от параметров прямоугольного треугольника и его расположения на плоскости. Функции синуса и косинуса угла в численном значении не превышают 1.
Вычислить значения синуса и косинуса любого острого угла прямоугольного треугольника всегда можно, если известны длины его катетов и гипотенузы, но чаще вычисления не производят, а считывают значения функций по таблицам логарифмов тригонометрических функций в зависимости от величины острого угла.