Как доказать что интеграл расходится

1

Как вычислить несобственный интеграл и выяснить его сходимость

Понятие несобственного интеграла и его геометрический смысл

Для вычисления несобственных интегралов требуются хорошие знания определенных интегралов. и пределов. По сути несобственный интеграл — особый случай определенного интеграла.

Как и при решении определенного интеграла, в результате решения несобственного интеграла должно получиться некоторое число. Но это лишь тогда, когда несобственный интеграл сходится. Если же он расходится, то ответ так и записывается: несобственный интеграл расходится.

А теперь — о том, почему несобственный интеграл — особый случай определенного интеграла.

Несобственные интегралы первого рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интегралы имеют бесконечный верхний или нижний пределы интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интеграл берётся от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не имеет, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.

Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f(x) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f(x) (на рисунке ниже — красного цвета), x = a и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.

Несобственные интегралы первого рода — с бесконечными пределами и их сходимость

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса — не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).

Решение. Предположим сначала, что , тогда

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. С помощью метода замены переменной можно получить очень полезную формулу:

Доказывать эту формулу нет необходимости, но запомнить стоит — пригодится. Итак, применяя эту формулу для нахождения первообразной получим

Итак, несобственный интеграл сходится и равен 1.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Но предел не существует, т. е. данный несобственный интеграл расходится.

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке, поэтому определённый интеграл от неё на отрезке [0, b] существует при всяком b . Находим этот интеграл:

Находим предел этого интеграла:

По определению, значение данного несобственного интеграла:

Несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования , обозначаемый символом , а именно

Если этот предел существует (и, значит, конечен, то есть, равен некоторому числу, а не бесконечности), то данный несобственный интеграл называется сходящимся.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом(если он сходится).

Решение. Находим предел данного интеграла:

Вывод: данный несобственный интеграл сходится, а его значение равно -1/2.

Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования , обозначаемый символом , нужно предварительно представить в виде суммы двух несобственных интегралов, один из которых с конечным верхним пределом интегрирования, другой — с конечным нижним пределом интегрирования, т.е.

причём этот несобственный интеграл считается сходящимся, если оба предела существуют, когда a и b независимо друг от друга неограниченно возрастают по абсолютной величине.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами представляем данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов:

Преобразуем подынтегральное выражение к форме , с помощью выделения полного квадрата:

По формуле находим:

(Эта формула, которой мы воспользовались, а также другие формулы, пригодные для интегрирования дробей, приведены в уроке Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей).

Предел этого интеграла существует:

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

Предел этого интеграла также существует:

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:

Несобственные интегралы второго рода — от неограниченных функций и их сходимость

Пусть функция f(x) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.

Определение. Несобственным интегралом функции f(x) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим:

Это также обобщённая формула Ньютона-Лейбница. Именно она применяется в решении задач на вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Пример 8. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция при неограниченно возрастает, а в точке x = 0 функция не определена, то есть, не существует. Применяем обобщённую формулу Ньютона-Лейбница:

(так как при x = 0 первообразная непрерывна). Вывод: данный несобственный интеграл сходится и равен -3/2.

Пример 9. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке полуотрезка [0, 1] . В точке x = 1 функция обращается в бесконечность. Если взять , то на [0, c] подынтегральная функция непрерывна и, следовательно, существует интеграл.

Найдём предел этого интеграла:

Результат предыдущих действий: несобственный интеграл сходится и его значение мы нашли.

Пример 10. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (верхний предел интегрирования больше нижнего).

Решение. Подынтегральная функция обращается в бесконечность при x = b , в остальных точках она непрерывна. Предположим сначала, что , тогда для :

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Высшая математика (Интегралы и дифференциальные уравнения) / 02 семестр / Лекции и семинары / Лекции / Несобственные интегралы

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на . Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода).

12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку , принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции от до и обозначается .

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

2.;

следовательно, интеграл сходится и равен .

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до :

и в пределах от до : . В последнем случае определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; — произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки . Примеры:

3. . Интеграл сходится.

4.

следовательно, интеграл сходится и равен .

Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого , удовлетворяющего неравенству , сходится интеграл (док-во: так как при по свойству аддитивности , и от не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом будем обозначать ; символом — соответственно, ; тогда можно записать , , , подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто: — интеграл сходится; — интеграл расходится.

Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть , ; если , то ; если то ; Поэтому (это уже собственный интеграл) = .

12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае — расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная в практических задачах часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.

12.1.3.1. Признак сравнения. Пусть функции и интегрируемы по любому отрезку и при удовлетворяют неравенствам . Тогда:

если сходится интеграл , то сходится интеграл ;

если расходится интеграл , то расходится интеграл

(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).

Док-во: если , , то функции и — монотонно возрастающие функции верхнего предела (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть сходится. ограничена , ограничена, т.е. сходится. Пусть расходится неограничена неограничена, т.е. расходится.

Примеры: Исследовать на сходимость интегралы 5. . Функция не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При имеет место ; интеграл сходится сходится сходится.

6. . При ; интеграл расходится расходится расходится.

В качестве «стандартного» интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если , и расходится, если :

7. . На всём промежутке интегрирования ; интеграл сходится (), поэтому исходный интеграл сходится;

8. . Здесь при , расходится (),поэтому исходный интеграл расходится;

9. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью невозможно, так как числитель — неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При — бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью , поэтому ограниченная функция, поэтому , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;

10. . На всём промежутке интегрирования (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится.

Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших выполняются неравенства , поэтому и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения — предельный.

12.1.3.2. Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции и интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Док-во. Так как функции неотрицательны, то . По определению предела для существует такое значение , что при выполняется . Дальше рассуждения простые: пусть ; если сходится , то сходится , тогда, по теореме сравнения, сходится сходится сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится расходится расходится. Случаи, когда сходится или расходится , рассмотреть самостоятельно.

Сравнение интеграла со «стандартным» интегралом в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при неотрицательная функция — бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то сходится; если не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится. Примеры:

11. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл сходится.

12. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

13. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

14. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

12.1.4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции к исследованию интеграла от положительной функции ? Можно показать, что если сходится интеграл , то обязательно сходится интеграл (идея доказательства: разобьем отрезок на два множества, и , т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму — в которых функция отрицательна. Тогда , . В последней сумме оба слагаемые — монотонно возрастающие с ростом , ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при . Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла интеграл может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.

Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно.

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:

15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл .

1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.

2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего — нет, следовательно, расходится.

Вывод — исходный интеграл сходится условно.

Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:

признак сходимости Абеля: пусть функции и определены в промежутке , причём 1. интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);

2. монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится.

признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция интегрируема в любом конечном промежутке , и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела ): ;

2. монотонно стремится к нулю при : .

Тогда интеграл сходится.

Применим, например, признак Дирихле к . Здесь , , условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.

12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода).

12.2.1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.

12.2.1.1. Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция определена на полуинтервале , интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от по отрезку называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Примеры:

Как исследовать несобственный интеграл на сходимость?

Приветствую опытных и не очень любителей несобственных интегралов, и на трёх ближайших уроках мы рассмотрим новый материал – признаки их сходимости.

Напоминаю основные типы несобственных интегралов:
– несобственные интегралы 1-го рода;

– несобственные интегралы 2-го рода, в которых функция терпит бесконечный разрыв в точке и / или или в промежуточных точках отрезка .

Предположим, что нам дан произвольный несобственный интеграл. В чём состоит сегодняшняя задача? Задача состоит в том, чтобы выяснить, СХОДИТСЯ ЛИ (в принципе) данный интеграл или нет.

Зачем это нужно? Ну, во-первых, иногда бывает полезно сразу выяснить этот вопрос. Во-вторых, рассмотрим, например, такие несобственные интегралы:

Здесь соответствующие неопределенные интегралы являются неберущимися, и поэтому решить данные примеры обычным способом невозможно. Но можно выяснить, сходятся ли эти интегралы или расходятся.

И, в-третьих, такие интегралы встречаются в практических работах, а значит, материал этой странички действительно нужен 🙂 Более того, он тесно «перекликается» с исследованием числовых рядов, а значит, вы получите двойную выгоду. И я постараюсь изложить всю информацию в своём традиционном стиле – просто и доступно!

Вопрос третий: как определить, сходится ли несобственный интеграл или нет?

С помощью так называемых признаков сходимости / расходимости, к изучению которых мы незамедлительно приступаем.

Начнём с несобственных интегралов 1-го рода, и сразу признак:

Если подынтегральная функция непрерывна на промежутке и её предел – не равен нулю, то несобственный интеграл расходится.

Это следует непосредственно из определения предела функции и особо очевидно в случае бесконечного предела , когда функция не ограничена сверху. Пожалуйста: . Вспоминаем «школьный» график прямой пропорциональности . Что-то и сам проностальгировал:

При этот график уходит вверх на плюс бесконечность, и совершенно понятно, что площадь под ним (серая штриховка) бесконечна: .

То же самое справедливо и для «страшных» интегралов наподобие , которые на самом деле ничуть не страшнЫ. Во-первых, отмечаем непрерывность подынтегральной функции на промежутке интегрирования, и, во-вторых, выясняем порядок роста числителя и знаменателя – этим мы уже занимались, когда находили пределы функций. В числителе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые под корнем: и константу-множитель: , следовательно, старшая степень числителя равна . …Возникли трудности со степенями? Срочно повторять школьные формулы! В знаменателе тоже отбрасываем все младшие слагаемые: , следовательно, старшая степень знаменателя равна 2.

Неравенство говорит нам о том, что числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, а значит, . То есть, при подынтегральная функция не ограничена сверху и площадь под графиком данной функции на промежутке – бесконечна: .

Актуализируем ещё пару важных фактов о порядке роста. Рассмотрим следующие несобственные интегралы от непрерывных на промежутке интегрирования функций:

При показательная функция с основанием более высокого порядка роста, чем любая степенная функция . Поэтому и соответствующий несобственный интеграл – расходится. Подчёркиваю, что в знаменателе может стоять «икс» хоть в сотой, хоть в тысячной степени, суммы степенных функций – результат от этого не изменится: . В справедливости предела можно убедиться, 100 раз применив правило Лопиталя 🙂

Второе. При степенная функция – более высокого порядка роста, чем натуральный логарифм, таким образом, функция (не ограничена сверху) и соответствующий несобственный интеграл расходится: .

Возьмите на заметку эту информацию, она нам потребуется в будущем, в том числе самом близком.

Хорошо, если , то несобственный интеграл расходится. НО! Из того, что , ещё не следует, что интеграл сходится. Он может, как сходиться, так и расходиться. В этом случае понятно лишь то, что подынтегральная функция ограничена на промежутке (и сверху и снизу).

. На всякий случай приведу яркие примеры ограниченных функций, вдруг у кого недопонимание этого термина: экспонента – ограничена осью абсцисс снизу; синус: , арктангенс: – ограничены и сверху и снизу.

! Откройте методичку по графикам (откроется на соседней вкладке), освежите воспоминания о графиках основных элементарных функций, и продолжаем. Справку не закрывать! – она будет здОрово помогать на сегодняшнем уроке.

В этой связи для исследования используют другие признаки, и наиболее распространенными из них являются так называемые признаки сравнения. Ключевая идея состоит в том, что СРАВНИТЬ «подопытный» интеграл с несобственным интегралом, сходимость или расходимость которого нам уже известна, и на этом основании сделать вывод о сходимости или расходимости «пациента».

Признак сравнения: пусть две неотрицательные функции непрерывны на промежутке , и для всех этого промежутка справедливо неравенство . Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости следует расходимость интеграла .

Таким образом, данный признак работает в двух различных ситуациях, геометрия которых очень и очень простА:

1) Пусть несобственный интеграл сходится. Тогда площадь, заштрихованная на чертеже серым цветом, будет конечна. В силу условия график функции (красная линия) расположен не выше графика и интегралу соответствует «красная» площадь, которая является ЧАСТЬЮ конечной «серой» площади. Следовательно, «красная» площадь тоже конечна, то есть несобственный интеграл – сходится:

2) Ситуация вторая: пусть на том же промежутке интеграл расходится. Это означает, что «красная» площадь бесконечна. А коль скоро, она является частью «серой» площади, то интегралу ничего не остаётся делать, как тоже расходиться.

Такой же признак можно сформулировать для интегралов и, кроме того, для неположительных функций, удовлетворяющих условию , чертёж в последнем случае отобразится в нижнюю полуплоскость, симметрично относительно оси . Признаки сравнения для этих случаев сформулируйте и осознайте самостоятельно. На практике такие примеры встречаются, и они не должны поставить вас в тупик!

Но в первую очередь, конечно, традиционные примеры:

В начале вводного урока о несобственных интегралах мы установили сходимость интеграла . Теперь поставим задачу исследовать сходимость интеграла .

Подчёркиваю, что решать его не нужно (хотя делается это легко) – а нужно выяснить, сходится ли он (в принципе) или нет.
Прежде всего, обратим внимание, что функция непрерывна на промежутке и её предел при равен нулю. Но, как отмечалось выше, это не делает погоды, а посему пробуем использовать признак сравнения. Сравнивать будем с интегралом , сходимость которого уже установлена. Разбираемся:

На промежутке функции непрерывны? Да, непрерывны.

Неотрицательны? Да, более того, строго положительны: . Очень хорошо – условия признака выполнены, и поэтому можно приступать к анализу самих функций.

Для ВСЕХ из данного промежутка справедливо очевидное неравенство:

а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:

Вы согласны? В случае сомнений всегда можно взять несколько значений «икс» (проще всего целых) и расписать несколько неравенств подробно, чтобы убедиться в своей правоте или неправоте. В нашем случае:

если , то ;
если , то ;
если , то ;
Если , то ;
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что для всех из промежутка неравенство действительно справедливо.

Таким образом, по признаку сравнения интеграл сходится (равен конечному числу) вместе с интегралом . Кстати, на чертеже выше я «по партизански» изобразил именно графики функций .

С помощью признака сравнения легко установить, что интеграл вида сходится при и расходится, если , а при он будет очевидно расходящимся.

Так, например, интегралы – сходятся, а – расходятся (в случаях непоняток со степенями повторяем формулы!).

Запишите данную информацию на листок!

Это семейство «эталонных» интегралов активно используется в практических заданиях, причём, опционально нижний предел интегрирования может быть и другим, например: – зависит от того, какой интеграл предложен для исследования.

Исследовать сходимость интеграла

Решение: данный биномиальный интеграл является неберущимся, но есть возможность выяснить, сходится он или нет. Во-первых, отмечаем, что подынтегральная функция непрерывна на промежутке и предел – равен нулю. Таким образом, отделаться «малой кровью» у нас не получилось и решение продолжается.

По «общим очертаниям» предложенный интеграл напоминает сходящийся «эталон» . Начинаем проводить рассуждение. На промежутке :

(что совершенно очевидно). «Навешивание» корней сохраняет «статус-кво»:
, а вот дела с дробями обстоят ровно наоборот – по той причине, что дробь с бОльшим знаменателем является мЕньшей:

, таким образом, по признаку сравнения исследуемый интеграл сходится вместе с интегралом .

Ответ: сходится

И ничего лишнего – что спрашивали, то и отвечаем.

Подобных примеров можно придумать очень много: – сравниваем с соответствующими сходящимися интегралами .

Как вариант, знаменатель может быть «утяжелён» какой-нибудь возрастающей функцией – «иксом» в положительной степени, логарифмом, экспонентой: и т.д.

Все эти интегралы исследуются по той же схеме, единственное, здесь появляется дополнительная строчка в решении. Так, например, если в разобранном примере:
, то, домножая левую часть на , мы только её увеличим, и поэтому неравенство:
будет выполнено подАвно.

Следовательно:
, и по признаку сравнения, интеграл тоже сходится.

Разберём ещё одну классику жанра:

Исследовать сходимость интеграла

Решение: для удобства исследования перепишем его в виде . Очевидно, что подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования и предел – равен нулю. Поэтому интеграл может как сходиться, так и расходиться.

Сравним предложенный интеграл с интегралом, сходимость которого выясняется в прямом смысле одной строкой:

Для любого из промежутка справедливо неравенство:
, и поскольку основание функции , то:

а дробь с бОльшим знаменателем является мЕньшей:
, таким образом, по признаку сравнения, интеграл сходится вместе с интегралом .

Ответ: сходится

И здесь интересно провести дополнительное исследование: в силу чётности подынтегральной функции, сходиться будет и интеграл по симметричному промежутку: Кроме того, собственный или «обычный» определённый интеграл , разумеется, тоже сходится, т.к. равен конечному числу.

Тогда, в силу свойства аддитивности, сходится и интеграл:
. И парадоксально, но факт – данный интеграл рассчитан точно: , невзирая на то, что соответствующий неопределенный интеграл не берётся. Да, так бывает! Это так называемый гауссов интеграл, который нам встретится в теории вероятностей, но желающие могут ознакомиться с его вычислением уже сейчас.

Другая вариация задания – это уменьшение числителя:

Исследовать сходимость интеграла

Решение: поскольку синус ограничен: , то , и:
, значит, по признаку сравнения исследуемый интеграл сходится вместе с интегралом .

Ответ: сходится

И тут попутно возникает вопрос об интеграле , подынтегральная функция которого знакопеременна, т.е. постоянно меняет знак. Как быть в этом случае? Для таких интегралов существуют свои признаки, которые мы рассмотрим на уроке об условной и абсолютной сходимости интегралов. Ну а пока продолжаем.

Ситуация вторая: сравнение интеграла с заранее известным расходящимся интегралом . Кратко напомню, что здесь на промежутке интегрирования должно выполняться то же неравенство . Как и в предыдущей ситуации, анализировать можно знаменатель или числитель:

Исследовать сходимость несобственных интегралов

Скромно и со вкусом. И последнее «китайское» напоминание – в дальнейшем это будет подразумеваться по умолчанию: перед решением ВСЕГДА проверяем (мысленно или на черновике) непрерывность функции на промежутке интегрирования. Так, например, интеграл терпит бесконечный разрыв в точке , и для его исследования используются другие методы (о которых позже). Далее убеждаемся, что . А то может статься, промучаетесь с примером битый час, в то время как этот предел ненулевой, из чего сразу следует расходимость интеграла (см. примеры начала урока).

Решаем:

а) Множитель-константа не влияет на сходимость или расходимость, поэтому его можно сразу вынести за пределы интеграла:

Для каждого промежутка справедливо неравенство:
(т.к. «икс» более высокого порядка роста, чем натуральный логарифм),

а мЕньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый интеграл расходится вместе с «эталонным» интегралом .

Вместо слова «ответ» я привык выделять вердикт жирным шрифтом, а при оформлении задания от руки подчёркивать его карандашом. Впрочем, кому как удобнее.

б) – а вот это вот более хитрый пример. Здесь напрашивается сравнение с расходящимся интегралом , но не всё так просто. Во-первых, при натуральный логарифм отрицателен (смотрим график!!). И, во-вторых, на участке этот логарифм меньше единицы, а значит, желаемое неравенство не является справедливым: .

Что делать? Решение можно оформить двумя способами. Первый способ академичный. Согласно свойству аддитивности, делим интеграл на 3 части:

Первый и второй интегралы сходятся, т.к. являются определёнными интегралами. Для всех же значений справедливо неравенство:
, значит, интеграл расходится вместе с интегралом ,

а значит, расходится и весь интеграл интеграл .

В укороченном способе оформления можно ограничиться такой фразой:

– при справедливо неравенство – и тот же самый вывод.

Таким образом, сходимость или расходимость несобственного интеграла 1-го рода зависит от «поведения» его бесконечного «хвоста». Следует заметить, что все эти очевидные свойства строго доказываются в курсе математического анализа, но чтобы не перегружать вас информацией, я излагаю их в обзорно-популярном стиле.

Исследовать сходимость несобственных интегралов

а) , б) , в) , г) , д) , …пожалуй, достаточно.

Примерные образцы чистового оформления примеров в конце урока. И обязательно проверьте, успешно ли вы обошли все «подводные камни» 😉

Всегда ли работает рассмотренный признак сравнения? Нет, далеко не всегда, и сейчас мы рассмотрим примеры, ради которых и зашли некоторые более опытные читатели:

Исследовать сходимость несобственных интегралов

Решение:

а) По «общим очертаниям» интеграл напоминает сходящийся «эталон» , но как провести сравнение? Шаблон Примера 3 (интеграл ) не годится, так как на промежутке аналогичное неравенство является неверным:

Но мы его всё равно организуем: при степенная функция , и в частности корень для любого – более высокого порядка роста, чем .
Следовательно:

Отмечу одну тонкость: если неравенство выполнено вообще для всех положительных «икс», то для более «мелких» корней, например , это утверждение неверно. Так, неравенство начинает выполняться лишь примерно с , и поэтому при использовании таких корней нельзя применять формулировку «на всём промежутке интегрирования». Следует сказать уклончиво: «при , по умолчанию подразумевая, что «начало» интеграла (где неравенство не выполнено) – тоже сходится.

Однако возвращаемся к задаче. В силу установленного неравенства возникает вопрос сходимости интеграла и тут возникает вторая загвоздка: поскольку , то нужное нам неравенство опять не выполняется:

Предельный признак сравнения: пусть те же неотрицательные функции непрерывны на промежутке и существует конечный предел их отношения , отличный от нуля. Тогда интегралы (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Кроме того, при из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1), а при из расходимости того же интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).

Но последняя часть признака применяется редко, гораздо чаще подбирают такой интеграл, чтобы получился конечный предел.

Итак, исследуем сходимость интеграла . Вопрос: с каким интегралом его нужно сравнить, чтобы в результате получился предел?

Нечто подобное мы уже проделывали при вычислении пределов функций. Смотрим на знаменатель нашей функции и МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: – таким образом, старшая степень знаменателя равна 2. Поскольку в числителе находится только , то старшая степень числителя равна . Теперь находим разность старших степеней: (строго такую, не наоборот!), и в результате приходим к выводу, что наш интеграл следует сравнить с интегралом , который сходится.

Составляем предел, избавляемся от четырёхэтажности дроби и получаем:
– конечное число, значит, по предельному признаку сравнения, интеграл сходится вместе с интегралом .

И в силу установленного выше неравенства , исследуемый интеграл сходится вместе с интегралом .

Таким образом, у нас получилась двухшаговое исследование, в котором мы использовали оба признака сравнения.

б) Интеграл . Проведём предварительный анализ: на промежутке арктангенс ограничен: , но эта информация помогает мало, т.к. на обоих этажах есть и другие одно- и многочлены с «иксами». И это типичная ситуация, в которой хорошо срабатывает предельный признак сравнения! Используем ту же методику: МЫСЛЕННО отбрасываем под корнем все младшие члены а также множитель-константу (двойку) при самой высокой степени: , значит, старшая степень знаменателя равна . В числителе находится одинокий (ограниченный арк не принимаем во внимание), и поэтому старшая степень числителя равна 1.

Из старшей степени знаменателя (именно так) вычитаем старшую степень числителя:
, таким образом, наш интеграл следует сравнить с интегралом , который расходится. Возможно, у некоторых возник вопрос: а что делать, если разность степеней получилась отрицательной? Это означает, что числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель и интеграл расходится – вычисляем предел , и готово.

Но в предельном признаке сравнения нас ожидает более занятный предел:

– конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый интеграл расходится вместе с интегралом .

Следует отметить, что при использовании предельного признака отношение функций можно составлять и наоборот, так, в только что разобранном примере можно составить предел , получить и прийти к тому же содержательному выводу.

Как быть, если нижний предел интегрирования равен нулю? Всё просто, по свойству аддитивности: . Первый интеграл сходится (это обычный определённый интеграл, равный конечному числу), а для второго интеграла используем предельный признак сравнения (см. выше). Сумма сходящегося и расходящегося интеграла – есть расходящийся интеграл.

Такую же хитрость можно применить, если нижний предел отрицателен, но здесь важно проследить, чтобы промежуток интегрирования полностью вошёл в область определения подынтегральной функции. Так, интеграл существует, но вот его собрат – уже нет. И в легальном случае никаких проблем:
.

Пара интегралов для самостоятельного решения:

Исследовать сходимость несобственных интегралов

а) , б) , вот такой вот совсем не страшный красавец 🙂

И хотел я тут продолжить про несобственные интегралы 2-го рода, но статья задалась недетская, и поэтому милости прошу во вторую часть, где нас ожидает самый настоящий «экшн»!

Решения и ответы:

Пример 5. Решение:
а) Сравним данный интеграл со сходящимся интегралом . На промежутке :
, значит, исследуемый интеграл тоже сходится.

б) (т.к. более высокого порядка роста, чем ), следовательно, исследуемый интеграл расходится.

в) На промежутке от до : , поэтому:
, значит, по признаку сравнения, исследуемый интеграл расходится вместе с интегралом .

г) На промежутке :
, следовательно:
, таким образом, интеграл сходится вместе с интегралом .
И поскольку – сходится (обычный определённый интеграл), то сходится и весь исследуемый интеграл: .

д) Способ первый. Использование признака сравнения. На промежутке :

, значит:
, то есть, исследуемый интеграл расходится вместе с интегралом .

Способ второй. Прямое вычисление. Перед нами табличный «длинный» логарифм:
, таким образом, исследуемый интеграл расходится.

Пример 7. Решение:
а) Сравним предложенный интеграл с расходящимся интегралом . Используем предельный признак сравнения:
(т.к. более высокого порядка роста, чем ). В результате получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый интеграл расходится вместе с интегралом .

б) Поскольку косинус ограничен: , то и:
(*)
Исследуем сходимость интеграла (множитель-константа не влияет на сходимость или расходимость, и поэтому его сразу выносим). Старшая степень знаменателя равна 3, старшая степень числителя равна , их разность:
, поэтому сравнивать будем со сходящимся интегралом . Используем предельный признак сравнения:

делим числитель и знаменатель на в старшей степени:
– получено конечное число, отличное от нуля, значит, интеграл сходится вместе с интегралом и, в силу неравенства (*) (по «обычному» признаку сравнения), исследуемый интеграл сходится вместе с интегралом .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

15. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого рода

Выше был определён интеграл для ограниченных и заданных на ограниченном отрезке функций. Распространим понятие интеграла на случаи, когда одно или оба этих условия нарушаются.

Определение. Пусть задана на бесконечном промежутке и для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен Бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Примеры.

1. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при расходится. Пусть теперь Тогда

И мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при расходится и при сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

2. Выясним сходимость интеграла .

Имеем

. Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

3. Выяснить сходимость интеграла . По определению получаем

.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

4. Для интеграла имеем

.

Следовательно, интеграл расходится.

5. Для интеграла по определению имеем

.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

6. Выяснить сходимость интеграла , .

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

Задание 2.4

Вычислить несобственные интегралы первого рода или доказать их расходимость.

1. ; 2.; 3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Ответы: 1. ; 2. расходится; 3. ; 4. расходится; 5. расходится; 6. .

Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.

Теорема 2.8. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого существует Такое, что для всех выполнено неравенство

Доказательство этого результата опустим.

Определение. Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для интеграла выполнен критерий Коши, а в силу справедливости неравенства , критерий Коши выполнен и для интеграла

Обратное утверждение неверно.

Сходимость несобственного интеграла определяется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.

Для несобственного интеграла можем записать и назвать этот интеграл сходящимся, если сходятся оба слагаемых. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то будем считать интеграл расходящимся. В качестве точки выбирают обычно 0.

Пример. Рассмотрим интеграл По определению сходимости этого интеграла получаем

Так как оба слагаемых расходятся, то исходный интеграл расходится. Получаемая при этом неопределённость при разных скоростях стремления к и к даёт разные результаты. В частности, если , , то

.

Если , , то абсолютно аналогично показывается, что этот предел равен . Подобрав скорости стремления к и к можно получить в пределе любое заранее заданное число от до .

С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к можем записать

Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл первого рода сходится в смысле главного значения Коши, если существует и конечен предел .

Рассмотренный выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода может сходиться в смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.

Отметим несколько свойств несобственных интегралов первого рода

1. Если интеграл сходится, то для всякого интеграл сходится и

2. Если интеграл сходится, то сходится интеграл и имеет место равенство

3. Если интегралы и сходятся, то сходятся интегралы и имеет место равенство

Обратное утверждение неверно, то есть, если интеграл от алгебраической суммы функций сходится, то интегралы от слагаемых сходиться не обязаны. Например, интегралы и расходятся, а интеграл , как будет показано позднее, сходится.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.

Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.

Теорема 2.9. Пусть для всякого Выполнено неравенство . Тогда, если интеграл абсолютно сходится, то интеграл абсолютно сходится, а если интеграл абсолютно расходится, то интеграл абсолютно расходится.

Доказательство. Действительно, в условиях теоремы для всех имеем . Тогда, если интеграл сходится, то есть монотонно возрастающая ограниченная сверху функция от и поэтому имеет предел при . Если интеграл расходится, то и поэтому .

Теорема 2.10. Если и — бесконечно малые в одного порядка малости, то есть , то интегралы И либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно расходятся.

Доказательство. Так как , то . Возьмем . По определению предела существует такое, что для всех выполнено неравенство а, следовательно, и неравенство Из последнего неравенства и теоремы 2.9 получаем утверждение теоремы.

Замечание. После изучения теоремы 2.10 может сложиться впечатление, что для сходимости несобственного интеграла первого рода, в том числе и абсолютной, необходимо, чтобы подынтегральная функция была бесконечно малой при . То, что это не так, показывает следующий пример [15].

Возьмем функцию, график которой состоит из отрезков прямых, соединяющих точки , , , . Ее аналитическое выражение имеет вид

Площадь, заключенная между графиком этой функции и осью , равна сумме площадей треугольников с вершинами в точках , , , . Так как площадь каждого такого треугольника равна , , то . Заметим, что условие ограниченности функции несущественно, так как вершины треугольников можно взять, например, в точках , , , ..

Примеры

1. Выяснить сходимость интеграла

Так как для всех а интеграл сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.

2. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 2 и так как сходится, то исходный интеграл сходится.

3. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 1,5 и так как сходится, то исходный интеграл сходится.

4. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен И, следовательно, интеграл сходится.

5. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.

6. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 0,5 и, следовательно, интеграл расходится.

7. Интеграл сходится, так как имеет место оценка для всех , а интеграл , как было показано ранее, сходящийся.

8. Интеграл расходится, так как имеет место оценка для всех , а интеграл, как было показано ранее, расходится.

Задание 2.5

Используя признак сравнения выяснить сходимость несобственных интегралов. В ответе указана сходимость и порядок малости подынтегральной функции относительно .

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. .

Ответы: 1. сходится, />; 2. сходится, />;

3. расходится, ; 4. сходится, ; 5. сходится, ;

6. сходится, ;