7.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Основная задача, связанная с квадратичными формами, состоит в приведении ее с помощью линейного невырожденного преобразования переменных (преобразования базиса) к максимально простому (каноническому) виду.
Определение 2. Каноническим видом эрмитовой квадратичной формы называется выражение вида
где — координаты вектора , а — вещественные канонические коэффициенты.
7.1.1. Метод Лагранжа
Метод Лагранжа позволяет привести к каноническому виду симметрическую вещественную квадратичную форму. Идея метода состоит в последовательном дополнении квадратного многочлена по каждой переменной до полного квадрата.
Будем считать, что . Если это не так, то возможны два варианта:
1. Какой–нибудь из . Тогда перенумеровав базисные векторы (переобозначение переменных), получим требуемое условие.
2. Если все , и, например, , то сделаем следующее невырожденное преобразование
При этом и коэффициент при .
Выделим в выражении для слагаемые, содержащие :
Преобразуем слагаемые с :
Сделаем невырожденное преобразование переменных
Обозначим . Тогда для получим
Если теперь квадратичная форма
то приведена к каноническому виду. Если , то, проводя аналогичные преобразования координат , за конечное число шагов приведем квадратичную форму к каноническому виду.
Пример. Приведем к каноническому виду квадратичную форму
Здесь все , а коэффициент . Поэтому сделаем преобразование
Выделим и преобразуем слагаемые с :
Сделаем замену переменных
Преобразуем далее слагаемые с :
и сделаем замену переменных
Квадратичная форма принимает канонический вид
7.1.2. Метод Якоби
Метод Якоби позволяет найти канонические коэффициенты невырожденной эрмитовой квадратичной формы по ее коэффициентам в произвольном базисе, не строя сам канонический базис.
Обозначим через главный минор — го порядка матрицы квадратичной формы , т. е.
Если все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля, то существует канонический базис, в котором данная форма имеет вид
Пример. Приведем к каноническому виду методом Якоби квадратичную форму
Матрица квадратичной формы
Главные миноры матрицы
где — координаты вектора в каноническом базисе.
7.1.3.Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе
Пусть — эрмитова квадратичная форма, заданная в унитарном (евклидовом) пространстве. С помощью некоторого невырожденного линейного преобразования она может быть приведена к каноническому виду, причем выбор канонического базиса неоднозначен. Оказывается, что для эрмитовой квадратичной формы среди всех канонических базисов существует и ортонормированный базис.
Так как — матрица квадратичной формы является эрмитовой (самосопряженной), то она представима в виде
где — собственные значения, а — ортонормированная матрица собственных векторов матрицы А. Введем новые переменные (новые координаты вектора ) соотношениями
В новых переменных квадратичная форма
Таким образом, для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные значения матрицы А, которые и являются каноническими коэффициентами. Если нужна также связь между старыми и новыми координатами вектора , то нужно найти ортонормированную матрицу собственных векторов.
Пример. Найдем канонический вид в ортонормированном базисе квадратичной формы
Матрица квадратичной формы
Для определения канонических коэффициентов составим и решим характеристическое уравнение
Откуда , и канонический вид квадратичной формы
Найдем связь между старыми и новыми координатами вектора . Собственные векторы матрицы А при определяются уравнением
линейно независимые решения которого, например, векторы
Координаты третьего собственного вектора определяются системой
которая имеет решение . Применяя к полученным векторам процесс ортогонализации Грама — Шмидта, получим искомый ортонормированный базис
Как привести квадратичную форму к каноническому виду?
Метод Лагранжа
Приветствую вас на втором уроке о квадратичных формах, который посвящен её каноническому виду и соответствующим методам. «Чайникам» и вновь прибывшим с поисковика рекомендую сначала ознакомиться первой частью – чтобы быстренько привести себя в форму 🙂
И мы сразу же продолжаем. Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в каноническом виде. …Первая часть предложения была понятной? Тогда едем дальше.
Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду:
– форму двух переменных – к виду (различаем коэффициенты «а» и «альфа»!);
– трёх переменных – к виду ;
– форму переменных «простыня» – к виду:
Чуть позже я сформулирую это утверждение более строго, расскажу о геометрическом смысле, да и просто смысле приведения – после того, как мы освоим техническую сторону вопроса.
И ключевой момент этой технической стороны состоит в линейных заменах:
– ТАКИХ, которые как раз и приводят форму к каноническому виду.
Систему часто записывают в виде компактного матричного уравнения , где:
– столбцы старых и новых переменных, – матрица линейного преобразования.
Внимание! Если вам не понятно, как из уравнения получить систему замен, обязательно посмотрите здесь (после Примера 3). Это важно.
Существует несколько способов приведения формы к каноническому виду, и в рамках сайта я расскажу о методе Лагранжа и методе ортогональных преобразований (уже следующий урок).
Начнём с наиболее простого метода:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
простенько и со вкусом
Решение: здесь используются стандартные замены с последующим применением бородатой формулы :
– форма в каноническом виде.
Запишем матрицу проведённого линейного преобразования: – она состоит из «игрековых» коэффициентов замен .
Ответ: ,
Пример, конечно, прозрачный, но сразу зададимся вопросом – как выполнить проверку? Её можно выполнить матричным методом по формуле , где – транспонированная матрица линейного преобразования, – исходная и – новая матрица квадратичной формы.
В нашем случае – исходная матрица формы , и, перемножая три матрицы:
– получаем матрицу формы , что и требовалось проверить.
Но то был лишь частный случай:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение: когда в форме присутствуют квадраты переменных (а они есть почти всегда), то используется другой приём. Идея состоит в выделении полных квадратов по формулам , с дальнейшей заменой переменных.
Сначала выбираем какую-нибудь переменную, которая находится в квадрате, здесь можно выбрать или . Переменные традиционно перебирают по порядку, поэтому рассматриваем и собираем вместе все слагаемые, где есть эта переменная:
«двойку» удобно вынести за скобки:
очевидно, всё дело сведётся к формуле , и нам нужно искусственно организовать данную конструкцию. Для этого в скобках прибавляем и, чтобы ничего не изменилось – за скобками проводим вычитание:
выделяем полный квадрат:
, после чего выполним проверку обратными действиями – раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК
Теперь проведём замены :
– форма в каноническом виде.
И тут вроде бы можно записать матрицу линейного преобразования, но есть одна загвоздка, проведённые замены имеют вид :
но нам-то нужна другая матрица – матрица уравнения .
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, а сразу приведу готовый результат – искомая матрица линейного преобразования. Напоминаю (см. начало урока), что в этой матрице находятся «игрековые» коэффициенты «прямых» замен:
Справка: возможно, ещё не все до конца понимают, как из матричного уравнения получается система замен. В правой части уравнения выполняем матричное умножение:
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, таким образом:
И в самом деле, выполняя прямые замены в форме :
– получаем её канонический вид, найденный выше.
То же самое можно установить матричным методом. Запишем матрицу формы и в результате перемножения трёх матриц:
– получим «каноническую» матрицу.
Прямая подстановка, безусловно, удобнее, но особенность метода Лагранжа состоит в том, что к канонической форме мы подбираемся «с другой стороны» (за исключением немногочисленных случаев наподобие предыдущего примера).
Ответ: ,
Если условие не запрашивает линейное преобразование, то решение заметно сократится. Но мы его наоборот – ещё больше увеличим 🙂 В образовательных целях.
Квадратичную форму можно привести к каноническому виду не единственным способом. Это следует уже из самого алгоритма действий. Так, например, полный квадрат можно выделить без выноса «двойки» за скобку:
и, после замен тоже получается канонический, но уже другой вид рассматриваемой формы:
Кстати, начать можно и со 2-й переменной –
выполните это задание самостоятельно:
Привести квадратичную форму к каноническому виду, выделив полный квадрат при переменной . Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение и ответ в конце урока.
Повысим уровень сложности, а точнее, количество переменных:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решать начинаем традиционно – группируем все слагаемые, которые содержат 1-ю переменную:
и начинаем конструировать полный квадрат:
здесь чётко просматривается формула и для её применения мы должны прибавить и вычесть :
«собираем» квадрат суммы и упрощаем «хвост», распишу это упрощение подробно:
На следующем шаге обычно выделяется ещё один полный квадрат, но у нас осталось единственно слагаемое с парным произведением, и в подобной ситуации сразу же выполняются замены, в данном случае :
В результате получен неканонический вид формы и поэтому нам потребуется ещё одна замена. Используем стандартный трюк, который встретился в самом начале урока:
. Таким образом, получаем:
– форма в каноническом виде.
Теперь нужно записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Ситуация осложнятся тем, что мы провели ДВА преобразования, и нам предстоит найти их композицию – результирующее преобразование, которое выражает через сумму / разность «игреков».
Давайте разбираться, что к чему. Запишем первую замену в матричной форме: .
Вторая же замена имеет несколько другой вид:
Из уравнений следует, что:
Для разрешения полученного уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу (уже не нужно:)) и выполнить матричное умножение:
– получив тем самым искомое результирующее преобразование.
Но подставлять в форму что-то неохота, и поэтому «пропустим через мясорубку» её матрицу , благо, матричный калькулятор под рукой:
– получена матрица приведённой формы , в чём мы и хотели убедиться.
Обратите внимание на удобство матричной записи и матричного метода – они практически «сводят на нет» путаницу в индексах и степенях квадратичной формы.
Ответ: ,
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
б) – особенно часто встречающийся тип приведения.
В образцах решения использован «традиционный» путь, т.е. полные квадраты выделяются по порядку, начиная с 1-й переменной. Перед заменой переменных полезно выполнять обратный ход – раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить исходный вид. Это вполне надёжный способ проверки. Также обратите внимание, что здесь не требуется указывать линейное преобразование, однако, я коротко рассказал, как его находить (мало ли, понадобится).
…у всех всё получилось? Тогда продолжаем – начинается самое интересное! Наверное, все понимают, что подавляющее большинство линейных преобразований не приводят нас к желаемому результату. Вернёмся к подопытной форме Примера 7 и проведём, например, такую замену: .
Запишем матрицу формы , матрицу преобразования и воспользуемся знакомой формулой:
Таким образом, форма приняла другой, тоже неканонический вид .
И тут я хочу отметить ещё одно преимущество матричного решения, о котором не говорил. В результате умножения ДОЛЖНА получиться симметрическая и только такая матрица, и этот факт значительно снижает риск пропустить ошибку. Но, разумеется, можно выполнить и прямую подстановку в :
Правда, запутаться тут легче и гарантий никаких.
Далее. Все преобразования, которые нам встретились выше, не вырождены. Что это означает? Это означает, что для них существует обратное преобразование – образно говоря, «путь назад». Теперь не образно:) определитель матрицы невырожденного линейного преобразования непременно отличен от нуля , что гарантирует существование обратной матрицы и «зеркальной» формулы , с помощью которой мы можем однозначно восстановить исходную матрицу .
Чего не скажешь о преобразовании вырожденном – это «билет в один конец». Одним из таких преобразований является тривиальное нулевое преобразование. Так, например, если , то форма вырождается в нулевую форму с матрицей . Обратного пути нет, то есть, если нам изначально дана вырожденная «игрековая» форма с матрицей , то невозможно выяснить, от какой формы она произошла.
Существуют и другие типы «вырождения», но всех их объединяет тот факт, что определитель матрицы такого преобразования равен нулю: , из чего следует, что обратной матрицы не существует, а значит, не существует и возврата.
А теперь заметим, что нулевое преобразование привело нас… к каноническому виду ! И в самом деле – это же канонический вид по определению. И поэтому сейчас мы усилим утверждение, сформулированное в начале урока: любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Существование такого преобразования, в частности, гарантирует метод Лагранжа.
И сейчас я озвучу кульминационный и ОЧЕНЬ важный момент: невырожденное линейное преобразование не меняет СУЩНОСТИ квадратичной формы. Здесь можно привести такой ассоциативный пример: рассмотрим произвольную ненулевую форму и представим, что это квадратный лист бумаги, на котором записано некое слово. Если форма находится в неканоническом виде, то лист занимает такое положение, в котором мы слова не видим, или же только догадываемся, что это за слово.
1) Невырожденное преобразование, которое приводит форму к каноническому виду, поворачивает листок бумаги к нам «лицом» – чтобы слово было отчётливо видно. Поскольку таких преобразований на самом деле много, то лист бумаги в общем случае будет менять свой размер и местоположение, и размер шрифта тоже будет меняться. Но что не изменится – так это слово.
2) Невырожденное преобразование, которое НЕ приводит форму к каноническому виду, делает то же самое с большим и толстым нюансом: слова мы по-прежнему не видим.
3) Вырожденное линейное преобразование либо полностью стирает с листа слово (нулевое преобразование), либо стирает отдельные буквы – так, чтобы нельзя было однозначно сказать, от какого слова они остались; причём, мы можем не увидеть даже и этих букв (если форма осталась в неканоническом виде).
И, завершая ассоциацию, отметим наиболее интересный случай – когда невырожденное преобразование не только приводит форму к каноническому виду, но ещё и сохраняет размер листа, т.е. поворачивает его к нам в неизменном виде. Жду вас на третьем уроке о методе ортогонального преобразования, где мы продолжим увлекательную беседу и вложим в сущность формы конкретный геометрический смысл.
Решения и ответы:
Задание к Примеру 7. Решение: приведём форму к каноническому виду
Проведём замены :
– форма в каноническом виде.
Найдём матрицу линейного преобразования , где – матрица «иксовых» коэффициентов проведённых замен.
В данном случае (см. урок Как найти обратную матрицу?)
Выполним проверку прямой подстановкой в :
, что и требовалось проверить.
Пример 9. Решение:
а) проведём замены :
Полученная форма имеет неканонический вид, и здесь следует выделить полные квадраты. Начнём с переменной :
теперь выделяем квадрат при переменной :
Контроль:
, что и требовалось проверить.
Проведём замены:
Примечание: проведённые замены можно записать в виде матричных уравнений . Из последнего уравнения выразим и подставим в первое уравнение: . Таким образом, для нахождения матрицы итогового линейного преобразования нужно найти и выполнить умножение .
б) Решение: выделим полный квадрат при 1-й переменной:
«собираем» полный квадрат и упрощаем «хвост»:
выделим полный квадрат при 2-й переменной:
Выполним проверку раскрыв все скобки:
– получен исходный вид формы.
Примечание: выполненные замены имеют вид , таким образом, матрица линейного преобразования:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид , если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующие коэффициенты равны нулю):
где — диагональная матрица, для которой условие симметричности матрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется.
Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (6.5) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (6.8), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (6.11). Как показывает следующая теорема, эта задача всегда разрешима. Заметим, что на практике нередко бывает достаточно определить только канонический вид квадратичной формы, не указывая замены переменных.
Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.
Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
Для приведения квадратичной формы переменных
к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.
1. Выбрать такую переменную ( ведущую ), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2.
Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3.
Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.
2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.
3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1.
Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная — ведущая (т.е. и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной (собираем все члены с и дополняем их сумму до полного квадрата):
Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому
где — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная — линейная форма, содержащая ведущую переменную . Обозначим , или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных:
Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду .
Заметим, что в результате этого преобразования все члены, содержащие ведущую переменную в первой и второй степени, заменены квадратом одной новой переменной . В дальнейших преобразованиях переменная ух уже никогда не будет ведущей.
Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выделение полного квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, который порождает члены с квадратами переменных.
Например, в п. 1 выделена пара переменных и , произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом . Тогда нужно сделать замену переменных
При этом получим новую квадратичную форму , в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результате замены член преобразуется к виду
а других членов с в новой квадратичной форме не будет.
Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид, но и определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом деле, замены переменных (6.12), (6.13), которые производятся в п.2, 3 алгоритма, это линейные замены с матрицами
Определители матриц отличны от нуля . Следовательно, эти замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных замен переменных).
Пример 6.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду.
1(1). В данную квадратичную форму переменная входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.
2(1). По ведущей переменной выделяем полный квадрат:
Обозначим , тогда получим новую квадратичную форму . Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.
1(2). В квадратичной форме нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.
3(1). Заменяем выбранную пару переменных . Оставшуюся старую переменную принимаем за соответствующую новую . Получаем квадратичную форму
Переходим к пункту 1 алгоритма.
1(3). В квадратичной форме нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей .
Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены и с матрицами
Следовательно, матрица искомой замены находится как произведение
Получим матрицу квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10):
то есть что соответствует найденному каноническому виду.
1. Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Сделав, например, замену переменных в (6.11), получим другую квадратичную форму, которая тоже имеет канонический вид.
2. Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы. Поэтому, если коэффициенты квадратичной формы рациональные, действительные, комплексные, то и коэффициенты линейной замены рациональные, действительные, комплексные соответственно.
Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду
Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который учитывает особенности преобразования (6.10) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.
Две квадратные матрицы конгруэнтными , если существует такая невырожденная матрица , что . Конгруэнтными, например, являются матрицы квадратичных форм, получающиеся при невырожденной замене переменных (6.8), так как они связаны равенством (6.10).
Напомним, что главными минорами квадратной матрицы называются миноры, составленные из ее элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например, — главный минор k-го порядка квадратной матрицы n-го порядка. Угловыми минорами квадратной матрицы
где угловой минор k-го порядка составлен из элементов матрицы
Свойства конгруэнтных матриц
1. Конгруэнтные матрицы имеют равные ранги. В самом деле, ранг произведения матрицы и 2. Матрица, конгруэнтная симметрической матрице, также является симметрической. Действительно, если , то
3. Определители действительных конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки. В частности, если и . В самом деле, из равенства и свойства 1 определителя следует, что , т.е. знаки величин и совпадают. Если же .
4. Если квадратные матрицы , где матрица — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали
то все угловые миноры матриц обозначаются любые числа.
Действительно, разобьем квадратные матрицы и
Здесь обозначаются блоки соответствующих размеров, значения элементов которых для доказательства не существенны и могут быть любыми. Получили, что . Учитывая, что для любого , по свойству 3 имеем
т.е. угловые миноры и матриц .
1. Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы. Это следует из свойства 1 конгруэнтных матриц.
2. Ранг квадратичной формы равен количеству отличных от нуля коэффициентов в ее каноническом виде (6.11). Действительно, согласно предыдущему пункту , но ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых ее элементов.
Теорема 6.2 Якоби о каноническом виде квадратичной формы. Если квадратичная форма имеет ранг и ее угловые миноры отличны от нуля:
то ее можно привести к каноническому виду
при помощи линейной замены переменных с верхней треугольной матрицей вида (6.15).
Действительно, применяя метод Лагранжа, выбираем первую переменную в качестве ведущей и выделяем по ней полный квадрат. Другими словами, делаем линейную замену переменных (6.12). Этой замене соответствует матрица в (6.14), которая является верхней треугольной вида (6.15). Получим квадратичную форму с матрицей
где звездочкой обозначены некоторые элементы матрицы — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали. Тогда по свойству 4 конгруэнтных матриц, получаем , следовательно . Отсюда . Значит, вторую переменную можно взять в качестве ведущей и выделить по ней полный квадрат. Для этого делаем линейную замену переменных с матрицей вида (6.15) и т.д. Условия (6.16) обеспечивают возможность применения пункта 2 метода Лагранжа раз. В результате описанных действий получается канонический вид (6.17). Формулы (6.17) для вычисления следуют из свойства 4 конгруэнтных матриц. Так как угловые миноры матриц соответственно равны (по свойству 4 конгруэнтных матриц), то
Остальные угловые миноры равны нулю , так как .
Таким образом, для нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби необходимо выполнить следующие действия.
1. Составить матрицу 2. Найти первые отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы. Если , то перейти к пункту 3, положив , то процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. Если и , где , то найти отличный от нуля минор (r+l)-порядка, окаймляющий минор . Если такого минора нет, то перейти к пункту 3, иначе процесс закончить, так как метод Якоби неприменим.
3. Записать искомый канонический вид (6.17) квадратичной формы
1. Алгоритм метода Якоби можно модифицировать, дополнив его перенумерацией переменных. Например, замена на и, одновременно, на (короче, перенумерация ) приводит к перестановке i-й и j-й строк, а также i-го и j-го столбцов матрицы квадратичной формы. Такая замена является линейной невырожденной и не нарушает симметричности матрицы квадратичной формы. При помощи таких двойных перестановок можно любой главный минор симметрической матрицы переместить в левый верхний угол, т.е. сделать его угловым. Например, для матрицы квадратичной формы метод Якоби неприменим, так как . Перенумеровав переменные , получаем матрицу , для которой условия (6.16) применимости метода Якоби выполняются.
2. При выполнении условий теоремы 6.2 метод Лагранжа (последовательного выделения полных квадратов) соответствует методу Гаусса приведения матрицы 3. При выполнении условий теоремы 6.2 для нахождения матрицы линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия:
1) Составить блочную матрицу , приписав к матрице . В результате получить блочную матрицу , где — искомая матрица замены переменных. Элементы главной диагонали матрицы
Пример 6.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби
1. Составляем матрицу квадратичной формы (см. пример 6.8): .
2. Вычисляем угловые миноры . Получили . Ищем отличный от нуля минор 2-го порядка, окаймляющий минор . Например, . Следовательно, метод Якоби для рассматриваемой формы применить нельзя.
Воспользуемся перенумерацией переменных (см. пункт 1 замечаний 6.6). Сделаем замену , т.е. меняем местами 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы матрицы . Применяем для нее метод Якоби.
2(1). Вычисляем угловые миноры . Найдено отличных от нуля угловых миноров.
3(1). Записываем искомый канонический вид
Этот вид отличается от полученного в примере 6.8, что соответствует п.1 замечаний 6.4.
Пример 6.10. Найти матрицу линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду
Составим матрицу квадратичной формы (см. пример 6.9 после перенумерации переменных ). Применяем к этой матрице алгоритм, описанный в пункте 3 замечаний 6.6.
1. Составляем блочную матрицу .
2. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочной матрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду:
Следовательно, искомая матрица , а коэффициенты квадратичной формы имеющей канонический вид, являются элементами главной диагонали матрицы , что совпадает с результатом примера 6.9. Нетрудно проверить равенство .
Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестра
Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы .
Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов и задаётся следующим образом:
Где являются элементами матрицы квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что , , , , , , т. е. .
Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?
Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. .
а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как , т. е. она не является симметрической.
Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, , , , , , . Следовательно, квадратичная форма примет вид
Задание 3. Задана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием: , .
Решение. При невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу .
Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: . Матрица заданного линейного преобразования , тогда . Следовательно,
Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:
Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .
Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: . Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если – матрица перехода к такому базису, то координаты вектора в разных базисах связаны между собой соотношением:
Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.
Составим характеристическое уравнение:
Значит, собственные значения , , .
Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.
При : , откуда получаем однородную систему уравнений тогда .
При : , т. е. тогда .
При : , откуда получаем однородную систему уравнений
Из системы следует, что – свободная переменная. Примем , тогда
Векторы , , попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы
Матрица перехода от ОНБ к ОНБ примет вид:
Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .
Формулы перехода от координат к координатам :
Канонический вид заданной квадратичной формы:
Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.
Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы .
Метод 1. Если все собственные значения , то квадратичная форма положительно определённая; если все – отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:
И характеристическое уравнение:
Его корни , , т. е. все , а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.
Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. , , …, , а если знаки этих миноров чередуются, т. е. , , , …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.