Как привести матрицу к диагональному виду

§ 4. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

Во многих практических задачах бывает важно привести матрицу линейного преобразования к простейшей форме. Очевидно, простейшей формой для матрицы является диагональная форма. В настоящей главе мы рассмотрим достаточные условия того, чтобы, за счет выбора базы линейного пространства, можно было получить диагональную матрицу линейного преобразование .

Для решения этой задачи сначала докажем теорему, непосредственно использующую определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования:

Линейное преобразование , тогда и только тогда задаётся в базе e=(e₁,e₂,…,e_n) диагональной матрицей, если все векторы этой базы являются собственными векторами этого преобразования.

►Действительно, равенство: == равносильно тому, что в — ой строке матрицы преобразования в указанной базе, равны нулю все элементы, стоящие вне главной диагонали, а на главной диагонали стоит число : = ·. ◄

Следующая теорема устанавливает важное отношение между собственными векторами:

Собственные векторы и линейного преобразования , относящиеся к разным собственным числам и , линейно независимы.

►Допустим, что всё-таки нашлись такие, не равные нулю, числа и , что выполняется равенство: +=0. (16)

Применим к (16) преобразование : +=0, и вычтем из этого равенства равенство (16), умноженное на число . Получим невозможное равенство:

(–)=0,

так как по условию собственные числа и — различны. ◄

Следствие: Всякая матрица, все характеристические корни которой действительны, подобна диагональной матрице, то есть матрица преобразования приводится к диагональной форме, если существует база , составленная из собственных векторов линейного преобразования . Рассмотренные примеры достаточно полно иллюстрируют особенности поиска диагональной матрицы для разных линейных преобразований .

Пример 10–15:Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некотором базисе матрицей: .

1). Составляем характеристический многочлен и находим его корни, используя свойства определителя и правила нахождения корней многочлена:

===,

откуда корни многочлена : = -1, = 6.

2). Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующим найденным собственным значениям: (A)

3). Для собственного значения = -1 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений только одно. Назначаем свободной неизвестной =–, тогда = , получаем собственный вектор: =(1, -1).

4). Для собственного значения = 6 система (A) принимает вид:

Так как определитель системы равен нулю, то независимых уравнений только одно. Назначаем свободной неизвестной =5, тогда =2, получаем собственный вектор: =(2, 5).

3) Построим базис из собственных векторов и составляем для этого базиса диагональную матрицу линейного преобразования: =.

Ответ: собственные значения: = -1, = 6; собственные векторы: = -1 имеем: =(1, -1), для = 6 имеем: =(2, 5). Диагональная форма матрицы линейного преобразования в базисе имеет простейший вид: .

Пример 10–16:Линейное преобразование , заданного матрицей: в некотором базисе пространства .Можно ли привести матрицу преобразования к диагональному виду. Если можно, найти базис, в котором такая запись возможна.

== (1) == (2) →

=(1–)·= (3) =(1–)·= (4) →

=(1–)·= (5) =–(1–)·(1+)·= .

Выполнены операции: (1): [R1]+[R2]+[R3]+[R4]. (2): вынесен общий множитель первой строки. (3): [R4]–[R1]. (4): разложим определитель по первому столбцу. (5): разложим определитель по третьему столбцу.

Получены характеристические корни: ==1, ==–1.

3). Для собственного значения = 1 система (A) принимает вид:

или (B)

Ранг системы уравнений (B) равен двум. Это значит, что ФСР этой системы уравнений содержит два независимых решения. Примем: =,=. Найдём фундаментальную систему решений для системы (B):

Подобие числовых матриц

Преобразование матрицы называется преобразованием подобия , а матрица преобразующей .

Свойства подобных матриц

1. Каждая квадратная матрица подобна самой себе: 2. Если матрица подобна матрице при .

3. Если матрица , а подобна , то , где .

4. Подобие является частным случаем эквивалентных преобразований.

5. В случае ортогональности преобразующей матрицы подобные матрицы являются конгруэнтными.

Поясним свойства 4, 5. Напомним, что эквивалентные матрицы связаны соотношением , где — невырожденные (элементарные) матрицы. Если , то получаем преобразование подобия . Если же матрица , то подобные матрицы, связанные равенством с невырожденной квадратной матрицей — новых неизвестных и новый столбец свободных членов с , для которых система уравнений будет выглядеть так

Матрица имеет диагональный вид: , то решение системы находится просто: , после чего нетрудно вычислить и решение исходной системы .

Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия

Рассмотрим задачу приведения квадратной матрицы при помощи преобразования подобия.

Теорема 7.5 о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица

или , где — столбцы матрицы матрицы

Поэтому, если матрицу являются собственными векторами матрицы , удовлетворяющих (7.18). Тогда, составив из них матрицу Следствие 1. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.

Действительно, в этом случае по свойству 1 собственных векторов все собственные векторы будут линейно независимы.

Следствие 2. Если матрица , то числа (среди которых могут быть равные) являются собственным значениями матрицы преобразующей матрицы являются соответствующими собственными векторами матрицы Следствие 3. Если — линейно независимые собственные векторы матрицы (среди которых могут быть равные), то матрица при помощи преобразующей матрицы , составленной из собственных векторов.

Чтобы привести квадратную матрицу 1. Найти л линейно независимых собственных векторов матрицы 2. Из собственных векторов составить преобразующую матрицу (см. следствие 3 теоремы 7.5).

3. По собственным значениям матрицы — диагональный вид матрицы можно найти, выполняя преобразование подобия

Пример 7.9. Привести данные матрицы к диагональному виду и найти соответствующие преобразующие матрицы:

Решение. Матрица и ): . Эти столбцы линейно независимы (по свойству 1 собственных векторов).

2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу .

3. Находим диагональный вид матрицы

На главной диагонали (согласно следствию 2 теоремы 7.5) стоят собственные значения матрицы . Тогда в результате преобразования подобия получили бы диагональную матрицу .

Матрица . 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Для собственных значений и возьмем соответствующие собственные векторы (полагая ): . Эти столбцы линейно независимы, поэтому матрицу можно привести к диагональному виду.

2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу . Выполняем преобразование подобия

На главной диагонали матрицы стоят (согласно следствию 2 теоремы 7.5) собственные значения матрицы .

Читать:

Файл z01 что это

Матрица . Найдем собственные векторы матрицы , используя алгоритм, изложенный в разд.7.2.1.

1. Составляем характеристический многочлен .

2. Решаем характеристическое уравнение .

3. Для собственного значения составляем однородную систему уравнений , которую решаем методом Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы равен единице , количество неизвестных решение. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , находим решение .

4. Все собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид , где — произвольная постоянная. отличная от нуля.

Как видим, матрица второго порядка имеет только один линейно независимый собственный вектор, поэтому ее нельзя привести к диагональному виду при помощи преобразования подобия.

Пример 7.10. Привести матрицу к диагональному виду и найти соответствующую преобразующую матрицу. Найти выражение для степени Решение. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Выберем три линейно независимых собственных вектора (см. пример 7.8):

Векторы и соответствуют собственному значению

Найдем m-ю степень матрицы

Нетрудно получить степень диагональной матрицы, так как произведение диагональных матриц является диагональной матрицей:

Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц

Получим необходимое и достаточное условие подобия числовых квадратных матриц n-го порядка. Напомним, что с этими числовыми матрицами связаны λ -матрицы и , которые называются характеристическими. Две λ -матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Согласно пункту 6 замечаний 7.4, если λ -матрицы и эквивалентны, то существуют такие обратимые λ -матрицы и , что .

Критерий подобия числовых матриц

Теорема 7.6 (критерий подобия числовых матриц). Для того чтобы числовые матрицы были подобными необходимо и достаточно, чтобы их характеристические λ -матрицы и были эквивалентны.

В самом деле, если числовые матрицы подобны, т.е.

Значит, характеристические матрицы эквивалентны, так как числовую матрицу λ -матрицы, а невырожденная числовая матрица является элементарной (следствие 3 теоремы 3.3). Необходимость доказана.

Для доказательства достаточности запишем условие эквивалентности λ -матриц и :

Разделим λ -матрицу , а λ -матрицу справа на

Здесь остатки и — обратимые числовые матрицы, так как и — обратимые λ -матрицы (см. пункт 3 замечаний 7.3). Подставим выражения (7.20) в (7.19):

Отсюда следует, что , в противном случае равенство ложное, так как степень многочлена в левой части не менее второй, а в правой части — не более первой. При получаем

Сравнивая это равенство с (7.19), делаем вывод, что λ -матрицы и в (7.19) можно заменить числовыми матрицами и . Приравнивая в (7.21) коэффициенты при одинаковых степенях

Следовательно, , т.е. матрицы подобны.

Следствие. Если матрицы подобны, т.е. , то в качестве преобразующей матрицы можно взять матрицу — левое или правое значения соответствующих λ -матриц из равенства

В самом деле, из доказательства теоремы следует, что λ -матрицы в (7.23) можно заменить числовыми матрицами:

где преобразующая матрица на , который по теореме Безу равен правому значению . Учитывая (7.22), получаем . Равенство доказывается аналогично на основании теоремы Безу.

Свойства собственных векторов

Любые два собственных вектора F и F(X₂), соответствующие различным собственным значениям А, ф А₂ характеристического уравнения А — ХЕI = 0 матрицы А, являются линейно независимыми.

Доказательство

Если F(A,j), F(Х₂) линейно независимые, то равенство F(X_<)a + + Е(А₉)Р = 0 выполняется только при а = Р = 0. Предположим, что F(X_l)а + Е(А₉)Р = 0 при р * 0. Так как F(X_l) и F(X₂) — собственные векторы, то они удовлетворяют уравнению АХ = XX, т. е.

Умножим первое равенство на а, второе на Р и сложим, получим

По предположению F(X_x)a + Е(А₉)р = 0, тогда Составим и решим систему уравнений

Так как по условию X,, * X_v а по предположению р * 0, то F(X₂) = 0. Это противоречит тому, что собственным вектором может быть только ненулевой вектор.

Система собственных векторов, составленная из систем собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям АДА!), А₂(Л). А_П(Л), является линейно независимой.

Пример 7.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Составим систему (А — ХЕ)Х = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приравняем определитель матрицы этой системы к нулю

Раскроем этот определитель по правилу треугольника, получим характеристическое уравнение

Найдем характеристические значения матрицы А (корни этого уравнения):

Для каждого из характеристических значений найдем собственные векторы.

При = 1 система (7.1) принимает вид

Система является разрешенной. Включим в набор разрешенных неизвестных х_< и х_т Свободной неизвестной х₃ придадим значение д’₃ = 1, получим решение С(Х₁) = (1, 0, -1), которое является собственным вектором.

Аналогично найдем соответствующие собственным значениям Х₂ и Х₃ собственные векторы

Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрицу А можно привести к диагональному виду с помощью матрицы Г, если матрица Т

г АТявляется диагональной.

Для нахождения матрицы Т необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Матрицу Т составляют из собственных векторов-столбцов. Если эта матрица является квадратной, то матрицу А можно привести к диагональному виду.

Пример 7.2. Матрицу

привести к диагональному виду.

Решение. В предыдущем примере для матрицы А были найдены собственные значения

и соответствующие им собственные векторы Из этих векторов составим матрицу Т

Найдем обратную матрицу Т 1 с использованием присоединенной матрицы.

Найдем произведение матриц Т 1 АТ:

Упражнения

7.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Записать матрицу Т приводящую матрицу А к диагональному виду и Гр

10.06. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду

Тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого преобразования.

Матрица.Называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрицаТакая, что матрицаЯвляется диагональной. Следовательно, если матрицаПриводима к диагональному виду, то

Где— характеристические числа матрицы

Т е ор е м а 10.7. МатрицаЛинейногопреобразования-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов данного преобразования.

Если все собственные числа матрицыПопарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.