Как найти расстояние от центра окружности до прямой

0

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d<r (Рис.2). На прямой l от точки H отложим два отрезка HM и HN, которые имеют длину \( \small \sqrt\) (Рис.2). Вычислим расстояния OM и ON используя теорему Пифагора:

Получили, что расстояние от центра окружности O до точек M и N равно r. Тогда эти точки лежат на окружности и являются общими для прямой l и данной окружности.

Докажем, далее, что прямая l и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку P. Поскольку эта точка находится на окружности, то OM=OP=r. Тогда треугольник MOP равнобедренный и медиана OD, проведенная к основанию MP является высотой треугольника MOP. Поэтому \( \small OD ⊥ MP .\) Отрезки \( \small OD \) и \( \small OH \) не совпадают, так как середина D отрезка MP не совпадает с точкой H, которая является серединой отрезка MN. Получили, что из точки O проведены два перпендикуляра OH и OD к прямой l, что невозможно (см. статью Перпендикуляр к прямой). Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда \( \small OH > r\). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда \( \small OM > OH>r\). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Расстояние от точки до прямой на плоскости (метод координат) и задача с параметром

Расстояние от точки до прямой на плоскости и задача с параметром.

Выведем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости с помощью метода координат, а затем используем эту формулу для решения задачи с параметром.

Пусть нам нужно найти расстояние от точки до прямой .

Запишем уравнение прямой, перпендикулярной вектору , проходящей через точку .

Для любой точки , принадлежащей прямой, вектор , поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала:

Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

— это число, пусть

Получим: , или .

Таким образом, в уравнении прямой коэффициенты и — координаты вектора нормали.

Выведем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой .

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Пусть основание перпендикуляра — точка .

Координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: , отсюда . (1)

Мы получили вектор , коллинеарный вектору нормали . Нам надо найти длину этого вектора.

Если вектора коллинеарны, то косинус угла между этими векторами равен 1.

Запишем, чему равно скалярное произведение векторов и .

С одной стороны, скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

(2)

С другой стороны, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат:

(из равенства (1)) (3)

Приравняем выражения для скалярного произведения (правые части равенств (2) и (3):

Отсюда

Так как длина вектора есть величина неотрицательная, возьмем правую часть по модулю, и получим формулу для нахождения расстояния от точки до прямой :

Решим задачу с параметром с использованием этой формулы.

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет более одного решения.

Первое уравнение системы представляет собой уравнение окружности с центром в точке , радиус которой равен .

Второе уравнение — уравнение прямой. Запишем его в виде

Прямая имеет с окружностью одну общую точку, если является касательной к окружности, то есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. И прямая имеет с окружностью две общие точки, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.

Нас интересует второй случай.

Запишем формулу расстояния от точки до прямой :

Так как , и если , то окружность вырождается в точку, и прямая в этом случае имеет с окружностью только одну общую точку, то этот случай нас не устраивает.

Отсюда и . Следовательно,

;

Введем замену:

;

Отсюда .

;

;

Ответ: .

Как найти расстояние от центра окружности до данной прямой

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Расстояние между двумя фигурами

Общее определение расстояния между двумя произвольными фигурами выходит за рамки школьной программы, и мы его не приводим. Ряд частных случаев, когда расстояние между двумя фигурами можно ввести на базе школьного материала, перечислен в следующей таблице.

Определение расстояния:
Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка AB.

Точка, лежащая на прямой

Расстояние равно 0.

Точка, не лежащая на прямой

Определение расстояния:
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Две параллельные прямые параллельные прямые

Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.

Две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые

Расстояние равно 0.

Определение расстояния:
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым.

Точка, лежащая на плоскости

Расстояние равно 0.

Точка, не лежащая на плоскости

Определение расстояния:
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние равно 0.

Расстояние равно 0.

Определение расстояния:
Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость.

Две пересекающиеся плоскости

Расстояние равно 0.

Две параллельные плоскости

Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину).

Парабола y = a x 2 + b x + c , не пересекающая ось абсцисс, и ось абсцисс

Определение расстояния:
Расстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс.
Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс.

Окружность и не пересекающая ее прямая

Определение расстояния:
Расстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности , а другой конец – на прямой.
Если перпендикуляр OB , опущенный из центра O окружности на прямую, пересекает окружность в точке A , то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка AB.

Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другой Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другой

Определение расстояния:
Расстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности, а другой конец – на другой окружности.
Если линия центров O₁O₂ пересекает окружность с центром O₁ в точке A₁, а окружность с центром O₂ – в точке A₂, то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка A₁A₂.

Окружность

Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение окружности

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки.

В рамках определения 1, заданная точка называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой называется радиусом окружности $(r)$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром $(d)$.

Взаимное расположение прямой и окружности

Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Готовые работы на аналогичную тему

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то по определению 3, получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Длина окружности

Выведем формулу длины окружности $C$ через её радиус. Для этого рассмотрим две окружности с длинами $C$ и $C’$ и радиусами $R$ и $R’$. Впишем в ним правильные $n-угольники$ с периметрами $P$ и $P’$ и длинами сторон $a$ и $a’$ соответственно. Как нам известно, сторона вписанного -угольника равна

Неограниченно увеличивая количество сторон правильных многоугольников $n$ получим, что

Получили, что отношение длины окружности к её диаметру постоянное число для любой окружности. Эту константу принято обозначать числом $\pi \approx 3,14$. Таким образом, получим

Формула (2) и есть формула для вычисления длины окружности.

Пример задачи на понятие окружность

Найти уравнение окружности с центром в точке $(1,\ 2)$. Проходящей через начало координат и найти длину данной окружности.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать формулу (1). Так как центр окружности лежит в точке $(1,\ 2)$, получим

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(1,\ 2)$ до точки $(0,0)$

Получаем, уравнение окружности имеет вид:

Найдем длину окружности по формуле (2). Получим

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

Начертите какую-нибудь окружность и прямую, её не пересекающую. Найдите расстояние от центра окружности до прямой. Отметьте на окружности точку, ближайшую к данной прямой.

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,282
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,044
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Касательная и секущая к окружности

На плоскости прямая и окружность могут либо пересекаться друг с другом, либо не пересекаться:

Расстояние от центра O до прямой m равно длине перпендикуляра OA. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой всегда будет равно перпендикуляру, опущенному из центра окружности на прямую.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса данной окружности, то прямая и окружность не пересекаются и не имеют общих точек:

Касательная

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу данной окружности, то прямая касается окружности и они имеют одну общую точку, такая прямая называется касательной к окружности:

Прямая m — касательная. Точка соприкосновения прямой и окружности, то есть их общая точка, называется точкой касания: точка A — точка касания.

Касательная – это прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса данной окружности, то прямая пересекает окружность и они имеют две точки касания, такая прямая называется секущей к окружности:

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в некоторой пдскзадана прямаяи точкаНайдем расстояние от точкидо прямой

y

Пусть – проекция точкина(рис. 26), тогда. Нормаль

,

где – искомое расстояние, а– скалярное произведение.

Следовательно, .

Так как , то. Поэтому

.

Отсюда . (3.8)

(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

ПРИМЕР. Найти длину высоты

Уравнение (3.4):– искомая длина высотыАН.

Кривые второго порядка. Окружность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск задаются уравнениями второй степени относительно двух переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Окружностью называется совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой ее центром.

Выведем уравнение окружности. Зададим пдск . Пусть– фиксированная точка (центр окружности), а– расстояние от точек окружности до ее центра (радиус окружности). Если– произвольная точка окружности, то длинаравна.

(3.9)

Если точка не лежит на окружности, тои ее координаты уравнению (3.9) не удовлетворяют, поэтому, (3.9) – уравнение окружности с центромрадиуса.

Если , то уравнение окружности примет вид:

. (3.10)

(3.10) – каноническое уравнение окружности.

ПРИМЕР. Показать, что уравнение задает окружность (то есть найти ее центр и радиус).

Приведем данное уравнение к виду (3.9), выделив полный квадрат по переменной :

ПРИМЕР. Написать уравнение линии центров окружностей и.

Найдем центр второй окружности:

Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипс – совокупность точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы и, а ось ординат – посередине отрезкаперпендикулярно оси абсцисс. Обозначим расстояние между фокусами, тогда. Пусть– произвольная точка, лежащая на эллипсе, а– сумма расстояний от точек на эллипсе дои,

У

О Х

по определению эллипса.

(рис. 27).

Запишем в виде уравнения свойство точек, принадлежащих эллипсу, сформулированное в определении:

(3.11)

(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11) на сопряженное выражение:

. (3.12)

Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат:

(3.13)

Так как по определению , то есть, то обозначим. Тогда из (3.13) получим:

(3.14)

(3.14) – каноническое уравнение эллипса.

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пе-

У

b

Х

—a —c О c a

-b

ресечения с осями координат:

.

Из (3.14) следует, что

.

Значит, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами .

Кроме того, из уравнения следует, что он симметричен относительно и.– точка пересечения осей симметрии – центр симметрии эллипса.

Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. –полуфокусное расстояние, –малая полуось, –большая полуось эллипса и (рис. 28).

Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси называетсяэсцентриситетом эллипса. Он характеризует форму эллипса. Так как , то, и чем меньше, тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнение эллипса, центр которого , а оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:

. (3.15)

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа относятся также мнимый эллипс и точка.

У

ПРИМЕР. Найти эксцентриситет эллипса (рис. 29).

Так как , то фокусы лежат на осии поэтому.