Доказать что последовательность функционалов сходится

Глава 12. Функциональные ряды

12.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Пусть последовательность функций, каждая из которых определена на некотором подмножестве. В этом случае говорят, что на множествезаданафункциональная последовательность . Например:

Аналогично, если задан ряд , каждый член которого является функцией, определенной на множестве, то говорят, что на множествезаданфункциональный ряд. Например, ,.

Определение 1. Функциональная последовательность называетсясхдящейся на множестве к функции , еслипоследовательностьсходится к, т.е.такое, что выполняетсядля.

Обозначается . Эта сходимость называется монотонной, т.е. сходимостью в каждой точке множества.

Определение 2. Функциональный ряд называетсясходящимся намножестве к функции , если последовательность его частных суммсходится к функциина множестве, которое называетсяобластью сходимости ряда.

, .

Функция называетсясуммой функционального ряда.

Один из основных вопросов, рассматриваемых в теории функциональных рядов – нахождение области сходимости функционального ряда.

Пример 1. Найти область сходимости следующих рядов:

а) ; б); в)

Решение. а)– бесконечная геометрическая про- грессия. На множествеX=(-1,1) ряд сходится, причем .

б) По признаку Даламбера ряд сходится для. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно для.

в) По признаку Коши = Откуда следует, что х>4. Областью сходимости является множество X=(4,+).

Кроме поточечной сходимости , есть также другой тип сходисти, которая называется равномерной сходимостью на множестве.

Определение 3. Последовательность называетсяравномерно сходящейся на множестве к функции , еслитакое, чтоивыполняется. Обозначается.

Определение 4. Функциональный ряд называетсяравномерно сходящимся на множестве к функции, если последовательность его частичных суммсходится равномерно нак.

Сравним между собой оба типа сходимости. Пусть ряд сходит- ся для. Это означает, что каждомубудет соответствовать свой числовой ряд, для сходимости которого, определенное в каждой точке. В общем случае значениебудет меняться от точки к точке, т.е.. При равномерной сходимости требуется, чтобы для выбранногочислоне зависело оти было одним и тем же для.

Отсюда следует важный вывод: если последовательность (ряд) равномер но сходится на , то последовательность (ряд) просто сходятся на. Обратное утверждение неверно.

Пример 2. Проверить сходимость последовательности ,.

Решение. Понятно, что , т.е. последовательность сходится. Однако эта сходимость будет неравномерной. Действительно, возьмем. Найдется литакое, что дляивыполняется неравенство? Выполнение этого неравенства для всех точекневозможно, так как прих близких к 1 , потому что. Таким образом, последовательность сходится, но неравномерно.

Пример 3. Рассмотрим ряд . Он сходится на. Покажем, что он сходится неравномерно.

Решение. Последовательность частичных сумм сходится кпри. Поэтому длятакое, чтодля. Однако дляэто невозможно, так как прифункцияпринимает любое, как угодно большое значение. Ряд сходится, но неравномерно.

Теорема 1. (критерий Коши). а) Для того, чтобы последовательность равномерно сходилась на множественеобходимо и достаточно, чтобы длятаких, что дляивыполнялось

; (1)

б) Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве, необходимо и достаточно, чтобы длятаких, что дляивыполнялось, или, если обозначить, то

, (2)

Доказательство выполним для последовательностей.

 Необходимость. Пусть равномерно сходится кна. Зададим, тогда, чтои.

Возьмем , тогда дляимеем

, т.е. выполняется (1).

Достаточность. Пусть выполняется условие теоремы а), т.е. для такие, что дляивыполняется. Это означает, что длячисловая последовательностьфундаментальная, а, следовательно, она сходится. Положим. Перейдем к пределу в неравенствепри. Тогда получим, что длявыполняется неравенство, т.е. сходится равномерно кна, при.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда на интервале.

Решение. Неравенство ,, показывает, что последовательность сходится к нулю равномерно на, но в тоже время для любого значениярядрасходится.

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса). Пусть для ивыполняются неравенстваи числовой рядсходится. Тогда функциональный рядсходится абсолютно и равномерно на множестве.

 Так как числовой ряд сходится, то для него выполняется критерий Коши, т.е., что выполняетсядля

Возьмем и, тогда дляимеем

, ,

т.е. выполняется критерий Коши (2). Ряд сходится равномерно и абсолютно по признаку сравнения. ■

Замечание. Ряд в теореме 2 называетсямажорантой для ряда , а саму теорему 2 часто называютмажорантным признаком сходимости.

Пример 5. Доказать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится абсолютно, т.к. по признаку сравнения. Поэтому исходный ряд абсолютно и равномерно сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда на отрезке.

Решение. Первое слагаемое в сумме принимает наибольшее значение в точке, второе в точке. Следовательно, для всехимеем, что, и в силу признака Вейерштрасса получаем, что данный ряд сходится равномерно на.

Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие. Непосредственно из определения вытекает необходимый и достаточный признак равномерной сходимости, которым удобно пользоваться на практике.

Теорема 3. Для того чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась на множествек предельной функциинеобходимо и достаточно, чтобы

, (3)

где ,.

 Необходимость. Пусть при. Так как по определениюнеравенствовыполняется дляи при, то при такихбудет справедливо. Отсюда следует, чтопри.

Достаточность. Пусть при. Это означает, что дляпри достаточно большихбудет выполняться, тогда тем более для всехибудет выполняться. А это означает равномерную сходимость.

Теперь, пользуясь этой теоремой и определением равномерно сходящегося функционального ряда, можно сформулировать необходимое и достаточное условия равномерной сходимости ряда: для того, чтобы функциональный ряд сходился кнанеобходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательностьравномерно сходилась к нулю, т.е..

Пример 7. Исследовать сходимость .

Решение. Ранее было показано, что сходимость есть, но она неравномерная. Это же самое получается более просто по теореме 3:

При этом не стремится к 0 при, поэтому сходимость неравномерная.

Пример 8. Сходится ли равномерно последовательность ,.

Решение. Сначала проверим существование предельной функции .

при ,.

Таким образом, . Рассмотрим

где .

Найдем , т.е. наибольшее значениена. Вычислим значенияна концах интервала

и в критических точках. Продифференцируем :

при , откуда.

При этом берем только . Тогда. Поэтомупри. Следовательно,прина. Последовательностьравномерно сходится на.

Пример 9. Проверить сходимость ряда ,.

Решение. Прежде всего, отметим, что в указанном промежутке ряд сходится по признаку сравнения, так как он знакоположительный, и существует сходящийся ряд для, так что выполняется условие.

Рассмотрим остаток и найдем его сумму. Так как, тот-я частичная сумма остатка будет

, при .

Т.е. . Тогдапри. Таким образом, наряд сходится неравномерно. На любом промежутке, где сходимость равномерная, т.к.

при .

Пример 10. Исследовать на равномерную сходимость ряд на.

Решение. Так как ,, то оценкане дает сходящегося мажорантного ряда. Найдем. Поскольку, то, следовательно,,и в силу признака Вейерштрасса ряд сходится равномерно на.

Сходимость функционального ряда

а) Сходимость последовательности функций. Пусть функции Сходимость функционального ряда определены на множестве и пусть Если числовая последовательность сходится, то говорят, что последовательность функций сходится в точке Сходимость функционального ряда

Последовательность Сходимость функционального ряда сходящуюся в каждой точке называют сходящейся на множестве В этом случае на множестве определена функция значение которой в любой точке Сходимость функционального ряда равно пределу последовательности Эту Функцию называют предельной функцией последовательности на множестве и пишут

Сходимость функционального ряда

По определению предела запись (1) означает, что

Сходимость функционального ряда

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти предельную функцию Сходимость функционального ряда последовательности на множестве если:

Сходимость функционального ряда

Так как Сходимость функционального ряда

б) Используя асимптотическую формулу Сходимость функционального ряда при , получаем при если

Поэтому Сходимость функционального ряда

б) Сходимость функционального ряда. Пусть функции определены на множестве и пусть для каждого существует

конечный предел последовательности Сходимость функционального ряда где

Тогда ряд Сходимость функционального ряда

называют сходящимся на множестве Сходимость функционального ряда

Если Сходимость функционального ряда — предельная функция последовательности на множестве т. е.

Сходимость функционального ряда

то функцию называют Сходимость функционального ряда суммой ряда (2) и пишут

Сходимость функционального ряда

Например, если Сходимость функционального ряда то

Сходимость функционального ряда

Если в каждой точке Сходимость функционального ряда сходится ряд то ряд (2) называют абсолютно сходящимся на множестве

Равномерная сходимость функциональной последовательности

а) Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Определение. Последовательность функций

называется равномерно сходящейся на множестве к функции если

В этом определении существенно, что номер Сходимость функционального ряда не зависит от Если справедливо утверждение (3), то пишут

Сходимость функционального ряда

Говорят, что последовательность Сходимость функционального ряда равномерно сходится на множестве если существует функция удовлетворяющая условию (3).

Если существуют числовая последовательность Сходимость функционального ряда и номер такие, что

Сходимость функционального ряда

причем Сходимость функционального ряда то

Сходимость функционального ряда

Пример 2.

Доказать, что последовательность Сходимость функционального ряда равномерно сходится на множестве и найти ее предельную функцию если:

Сходимость функционального ряда

В этом случае Сходимость функционального ряда (пример 1.а) и так как Следовательно

Сходимость функционального ряда

б) Используя неравенство Сходимость функционального ряда получаем

откуда следует, что Сходимость функционального ряда

в) Так как Сходимость функционального ряда при то

откуда получаем Сходимость функционального ряда

г) В этом случае Сходимость функционального ряда (пример 1, б)). Используя неравенство

Сходимость функционального ряда (§ 18, пример 1, а)), получаем

Сходимость функционального ряда

так как Сходимость функционального ряда Следовательно,

Сходимость функционального ряда

б) Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Теорема 1. Для того чтобы последовательность функций Сходимость функционального ряда определенных на множестве сходилась равномерно на этом множестве к функции необходимо и достаточно, чтобы

Сходимость функционального ряда

Обозначим Сходимость функционального ряда Тогда условие (4) означает, что

Сходимость функционального ряда

Если Сходимость функционального ряда то

Сходимость функционального ряда

откуда следует, что Сходимость функционального ряда для Поэтому неравенство

выполняется при всех Сходимость функционального ряда где Обратно, если выполняется условие (4) или равносильное ему условие (5), то, используя неравенство для получаем для т.е.

Пример 3.

Доказать, что последовательность сходится равномерно на множестве и найти предельную функцию если:

Сходимость функционального ряда

Если Сходимость функционального ряда то для всех и поэтому

Если Сходимость функционального ряда то откуда следует,

что Сходимость функционального ряда при так как Таким образом, предельная функция

Так как при Сходимость функционального ряда справедливо неравенство причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда то

Сходимость функционального ряда

Следовательно, Сходимость функционального ряда при если

и поэтому Сходимость функционального ряда

б) Если Сходимость функционального ряда то при и поэтому при Если то и поэтому Следовательно,

Чтобы вычислить Сходимость функционального ряда найдем точки экстремума функции

Уравнение Сходимость функционального ряда имеет внутри отрезка единственный корень причем

Сходимость функционального ряда Заметим, что при

при Сходимость функционального ряда Поэтому для всех

и, согласно теореме Сходимость функционального ряда

в) Учитывая, что Сходимость функционального ряда при (если находим

Сходимость функционального ряда

Так как Сходимость функционального ряда при то функция

является убывающей на промежутке Сходимость функционального ряда и поэтому

Сходимость функционального ряда при

По теореме 1 последовательность Сходимость функционального ряда равномерно сходится к на множестве

Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность функций Сходимость функционального ряда сходилась равномерно на множестве необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши

Сходимость функционального ряда

Необходимость. Пусть Сходимость функционального ряда Тогда по определению равномерной сходимости

Сходимость функционального ряда

В частности, (7) выполняется при Сходимость функционального ряда если и при для

Сходимость функционального ряда

откуда следует, что

Сходимость функционального ряда

т. е. выполняется условие (6).

Достаточность. Заметим, что числовая последовательность Сходимость функционального ряда где — фиксированная точка множества удовлетворяет условию Коши (6) и в силу критерия Коши для числовой последовательности (§ 8) существует конечный

Сходимость функционального ряда

Так как предел (8) существует для каждого Сходимость функционального ряда то на множестве определена функция (обозначим ее которая является предельной функцией для последовательности на множестве Запишем условие Коши (6) в виде

Сходимость функционального ряда

Переходя в неравенстве (9) к пределу при Сходимость функционального ряда (при каждом фиксированном и фиксированном и учитывая, что существует получаем неравенство

Сходимость функционального ряда

справедливое при всех Сходимость функционального ряда и для всех Это означает, что

Сходимость функционального ряда

в) Неравномерная сходимость последовательности функций. Последовательность Сходимость функционального ряда не является равномерно сходящейся на множестве если условие Коши (6) не выполняется, т. е

Сходимость функционального ряда

Ряд функций — это серия, где каждый член является функцией, а не числом, в отличие от ряда чисел

Пример 4.

Доказать, что последовательность Сходимость функционального ряда где не является равномерно сходящейся на множестве

Для любого Сходимость функционального ряда возьмем Тогда

Сходимость функционального ряда

т. е. выполняется условие (10), и поэтому последовательность Сходимость функционального ряда не является равномерно сходящейся на

Если существует предельная функция Сходимость функционального ряда последовательности на множестве но не выполняется условие (3), т. е.

Сходимость функционального ряда

то говорят, что последовательность Сходимость функционального ряда сходится неравномерно на множестве к функции

Пример 5.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве Сходимость функционального ряда последовательность если:

Сходимость функционального ряда

а) В этом случае предельная функция Сходимость функционального ряда Для любого возьмем Тогда при любом п и т. е. выполняется условие (11), и поэтому последовательность сходится неравномерно на множестве Сходимость функционального ряда

б) Здесь предельная функция Сходимость функционального ряда на множестве (пример 1, )). Возьмем Тогда

для любого Сходимость функционального ряда и поэтому сходится неравномерно на множестве

Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие (4) не выполняется, т. е.

Сходимость функционального ряда при

то Сходимость функционального ряда сходится неравномерно на множестве

Пример 6.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность Сходимость функционального ряда

Предельная функция Сходимость функционального ряда Так как уравнение имеет на интервале (0,2) единственный корень причем при и при то

Таким образом, выполняется условие (12), и поэтому Сходимость функционального ряда сходится неравномерно на множестве

3. Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда. Пусть функции Сходимость функционального ряда определены на множестве Обозначим

Сходимость функционального ряда

называется равномерно сходящимся на множестве Сходимость функционального ряда если на этом множестве определена функция такая, что

Сходимость функционального ряда

Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись (15) означает, что

Сходимость функционального ряда

где Сходимость функционального ряда — сумма ряда (14), а определяется формулой (13).

Пусть Сходимость функционального ряда т.е. остаток ряда (14). Тогда условие (15) примет вид

Сходимость функционального ряда

Это означает, что

Сходимость функционального ряда

В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда (14) на множестве Сходимость функционального ряда необходимо и достаточно, чтобы

Сходимость функционального ряда

Если ряд (14) сходится на множестве Сходимость функционального ряда но не выполняется условие (17) или равносильное ему условие (18), то говорят, что ряд (14) сходится неравномерно на множестве Следовательно, если

Сходимость функционального ряда

то ряд (14) сходится неравномерно на множестве Сходимость функционального ряда

Пример 7.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд Сходимость функционального ряда если:

Сходимость функционального ряда

а) В этом случае Сходимость функционального ряда для любого

т. е. ряд сходится на множестве Сходимость функционального ряда а значит, и на Для любого выполняется неравенство

откуда следует, что Сходимость функционального ряда и поэтому выполняется условие (18). Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве

На множестве Сходимость функционального ряда ряд сходится неравномерно. В самом деле, возьмем Тогда для любого

при Сходимость функционального ряда откуда следует, что выполняется условие (20).

б) Так как Сходимость функционального ряда

Если Сходимость функционального ряда при где

и поэтому Сходимость функционального ряда

Читать:

Доменное имя и сайт в чем разница

На множестве Сходимость функционального ряда ряд сходится равномерно, так как

и поэтому выполняется условие (18), а на множестве Сходимость функционального ряда неравномерно, и поэтому выполняется

в) При каждом Сходимость функционального ряда последовательность монотонно стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница (§ 41, теорема 1)

ряд Сходимость функционального ряда сходится на множестве причем

откуда следует, что выполняется условие (18).

Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве Сходимость функционального ряда

Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (14) равномерно сходился на множестве Сходимость функционального ряда необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т. е.

Сходимость функционального ряда

По определению равномерная сходимость ряда (14) на множестве Сходимость функционального ряда означает равномерную сходимость последовательности на

Согласно теореме 2 Сходимость функционального ряда на тогда и только тогда, когда

Сходимость функционального ряда

Так как Сходимость функционального ряда то условие (22) равносильно условию (21). •

Если условие (21) не выполняется, т. е.

Сходимость функционального ряда

то ряд (14) не является равномерно сходящимся на множестве Сходимость функционального ряда В частности, если

Сходимость функционального ряда

то ряд (14) не является равномерно сходящимся на множестве Сходимость функционального ряда

Пример 8.

Доказать, что ряд Сходимость функционального ряда не является равномерно

сходящимся на множестве Сходимость функционального ряда если:

Сходимость функционального ряда

а) Пусть Сходимость функционального ряда тогда т. е. выполняется условие (24).

б) Возьмем Сходимость функционального ряда и воспользуемся тем, что при

(§ 12, (3)). Тогда Сходимость функционального ряда при всех т. е. выполняется условие (24).

в) Возьмем Сходимость функционального ряда тогда при любом Если

Сходимость функционального ряда

Сходимость функционального ряда и поэтому

откуда следует, что

Сходимость функционального ряда

так как Сходимость функционального ряда Следовательно, выполняется условие (23), и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве при

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

а) Признак Вейерштрасса.

Теорема 4. Если для функционального ряда (14) можно указать такой сходящийся числовой ряд Сходимость функционального ряда что для всех и для всех

Сходимость функционального ряда выполняется условие

то ряд (14) сходится абсолютно и равномерно на множестве Сходимость функционального ряда

Согласно условию (25) для любого Сходимость функционального ряда любого и для каждого выполняется неравенство

Из сходимости ряда следует (§ 39), что для него выполняется

условие Коши, т. е.

а из (26) и (27) следует, что для ряда (14) выполняется на множестве Е условие Коши (21), и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве Е.

Абсолютная сходимость ряда (14) для каждого следует из правого неравенства (26).

Следствие. Если сходится ряд Сходимость функционального ряда то ряд (14) сходится абсолютно и равномерно на множестве

Пример 9.

Доказать, что ряд Сходимость функционального ряда сходится равномерно на множестве если:

Сходимость функционального ряда

а) Так как при Сходимость функционального ряда справедливо неравенство пример то при всех и из сходимости ряда по теореме 4 следует равномерная сходимость ряда на множестве

б) Используя неравенство Сходимость функционального ряда для всех и учитывая, что получаем откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве

в) Так как Сходимость функционального ряда для всех

Из сходимости ряда Сходимость функционального ряда следует равномерная сходимость ряда на множестве

г) На промежутке Сходимость функционального ряда уравнение

имеет единственный корень Сходимость функционального ряда причем при

Поэтому Сходимость функционального ряда и из сходимости ряда следует равномерная сходимость ряда на множестве

Сходимость функционального ряда

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Функциональные последовательности и ряды
в комплексной области

Основные понятия, связанные с функциональными последовательностями и рядами в комплексной области, вводятся так же, как и в действительной.

Определение функциональной последовательности

1. Рассмотрим функции , определенные на некотором множестве . Для любой точки этого множества получаем последовательность комплексных чисел , где . Если последовательность сходится, т.е. существует предел последовательности , или, что то же самое, , то говорят, что функциональная последовательность сходится в точке .

Множество точек , называется областью сходимости функциональной последовательности (область , что можно записать, учитывая определение сходимости числовой последовательности, следующим образом:

Заметим, что в отличие от числовой последовательности (см. соответствующее определение) номер , но и от . Для различных значений получаем различные , т.е. последовательность номеров .

Равномерная сходимость функциональной последовательности

2. Если последовательность ограничена, т.е. существует для любого сходится к на множестве . Таким образом,

Функциональный ряд в комплексной области

3. Ряд, членами которого являются функции комплексного переменного , определенные на некотором множестве комплексной плоскости, называется функциональным рядом в комплексной плоскости и обозначается

4. Последовательность , где , называется последовательностью частичных сумм ряда (3.1), где — частичные суммы.

5. Ряд (3.1) называется сходящимся ни множестве

Область сходимости и равномерная сходимость рядов

6. Множество точек ряда в области сходимости

7. Ряд (3.1) называется равномерно сходящимся на множестве , то есть

Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:

Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость

8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.

Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве

следует равномерная сходимость ряда (3.1) на множестве 9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.

Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций

Теорема 3.2 (теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций). Если ряд (3.1) аналитических в области равномерно сходится внутри , то сумма ряда аналитична в , равномерно сходится на любом , и сумма такого ряда равна производной от суммы исходного ряда, т.е.

Нахождение области сходимости рядов

Так как по определению ряд (3.1) сходится в точке , если сходится числовой ряд , то для нахождения всех таких точек, т.е. области сходимости ряда, можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов (признаки абсолютной сводимости). Так, можно найти пределы:

Согласно признакам Даламбера (в первом случае) и Коши (во втором случае) область .

Граничные точки, т.е. точки, для которых выполняется равенство , могут быть как точками абсолютной или условной сходимости, так и точками расходимости.

Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами

Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:

Все ряды, очевидно, сходятся в точке . Исследуем их сходимость в других точках. Для первых двух рядов используем признак Коши (найдем ), а для других — признак Даламбера (найдем ).

а) Имеем ; неравенство определяет область сходимости ряда. Границей области является окружность или, в комплексной форме, . Для точек границы получаем числовые ряды вида , или , очевидно, расходящиеся, так как пределы и не существуют. Область сходимости ряда — круг .

б) . Неравенство определяет область сходимости ряда. В точках границы, уравнение которой .

в) для любого . Ряд сходится только в одной точке для любого . Ряд сходится всюду, во всей комплексной плоскости Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:

В отличие от предыдущего примера точка , очевидно, не входит в область сходимости этих рядов. Сходимость в других точках исследуем, как в предыдущем примере.

a) ; область сходимости — внешность круга с центром в точке ; область сходимости — внешность круга с центром в точке при любом . Ряд сходится всюду, кроме точки .

г) . Ряд расходится всюду.

Пример 3.3. Найти области сходимости рядов: а) ; б) .

Используем для решения радикальный признак Коши:

a) ; область сходимости находим из неравенства , получаем — круг с центром в точке и радиусом .

Пример 3.4. Исследовать сходимость комплексного ряда .

Общий член данного ряда имеет вид , то есть

Рассмотрим два вспомогательных ряда и , найдем их области сходимости. Первый ряд сходится в области , второй — в круге (см. п. "б" примеров 3.1 и 3.2). Пересечение областей сходимости рядов образует кольцо . В любой точке этого кольца сходятся оба ряда, т.е. сходятся соответствующие числовые ряды. По свойствам числовых рядов сходящиеся ряды можно складывать, общий член полученного при сложении ряда равен сумме общих членов рядов — слагаемых. В данном случае, складывая два ряда, сходящиеся при любом , получим ряд с общим членом . Следовательно, исходный функциональный ряд сходится в кольце .

Пример 3.5. Найти область сходимости ряда .

Находим предел . Область сходимости определяем из неравенства , то есть . Границей множества является линия, комплексное уравнение которой . Геометрически — это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки , то есть . Эта линия разделяет плоскость на две части: и . Областью сходимости ряда будет Imz > —, так как, например, для точки , принадлежащей этой области, неравенство выполняется.

Пример 3.6. Доказать, что ряд сходится равномерно в круге .

Для точек , выполняется неравенство , т.е. функциональный ряд в круге мажорируется числовым рядом . Так как ряд сходится, то по признаку Вейерштрасса данный функциональный ряд в круге сходится равномерно.

Заметим, что, очевидно, ряд сходится равномерно и в большей области, а именно в любой области , так как мажорируется в этой области сходящимся числовым рядом: , а при ряд сходящийся. Как отмечено выше, в таком случае говорят, что ряд сходится равномерно внутри круга .

Пример 3.7. Найти область равномерной сходимости ряда .

Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Поскольку числовой ряд сходится, то область равномерной сходимости данного ряда будут составлять те , так как при этом справедливо неравенство . Учитывая равенство , получаем . Для нахождения области равномерной сходимости нужно рассмотреть неравенство — левая полуплоскость, или любое множество вида .

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Что нужно, чтобы доказать, что функция сходится к Дельт.Ф-ии

Скажите пожалуйста. Насколько я понимаю для того чтобы при $\epsilon\rightarrow 0$ было $f(x,\epsilon) \rightarrow \delta (x)$ достаточно чтобы $f(x_0,\epsilon) \rightarrow 0$ при $x_0\neq0$ $f(0,\epsilon) \rightarrow \infty$ и, самое главное, что бы $$\int_<-\infty>^\infty f(x,\epsilon) =1$» /> то есть правая часть не зависела от <img decoding=$ . Например это будет так для $$f(x,\epsilon) =\frac<\epsilon><2 \pi(x^2+\epsilon^2)>$» />. Достаточно ли показать все вышеперечисленное чтобы функция была дельта функцией? Я спрашиваю поскольку для двумерной функции<img decoding=$ ?

Последний раз редактировалось PAV 15.04.2012, 17:45, всего редактировалось 1 раз.

Будет ли достаточно если $$\int_<-\infty>^\infty f(x,\varepsilon) =1$» /> заменить на <img decoding=$ , если $\langle f_n, \varphi \rangle \to \langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$ для всех $$\varphi \in \mathcal<D>$» />. Посмотрите, например, Л. Шварца «Математические методы для физических наук». Например, достаточно таких свойств: Пусть последовательность <img decoding=$ вне отрезка $[-\frac 1 n, \frac 1 n]$ и $$\int_<\mathbb<R>> f_n(x) \, dt = 1$» /> для всех <img decoding=$ сходится к $\delta$ -функции в указанном Nimza смысле.

Последний раз редактировалось drug39 05.01.2012, 10:08, всего редактировалось 4 раз(а).

На самом деле двумерная дельта-функция $\delta_2(x,y)$ вводится так:
$\delta_2(x,y)=0$ при $x\ne 0, y\ne 0$ ;
$$\int_<-\infty>^<+\infty>\int_<-\infty>^<+\infty>\delta_2(x,y)dxdy=1$» />. А отсюда уже <img decoding=$ .
В полярных координатах:
$\delta_2(\rho,\varphi)=0$ при $\rho\ne 0$ ;
$$\int_0^<2\pi>\int_0^<\infty>\delta_2(\rho,\varphi) d\rho \rho d\varphi=1$» />. Если <img decoding=$ не зависет от $\varphi$ , то
$$\int_0^<\infty>\delta_2(\rho) \pi d\rho^2=1$» /> или <img decoding=$ вне отрезка $[-\frac 1 n, \frac 1 n]$ и $$\int_<\mathbb<R>> f_n(x) \, dt = 1$» /> для всех <img decoding=$ сходится к $\delta$ -функции в указанном Nimza смысле.
Этого недостаточно. Надо ещё потребовать неотрицательность или хотя бы $$\sup_n\int_<\mathbb R>|f_n(x)|\,\mathrm dx<\infty$» />. А вот основные функции <img decoding=$ здесь совершенно не при чём (наверное, имелись в виду суммируемые?).