Доказать что последовательность расходится

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе — расходящейся.

Задание. Доказать, что последовательность не имеет предел.

Доказательство. Пусть — предел рассматриваемой последовательности, то есть . Рассмотрим

Пусть :

Пусть :

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательностьимеет предел, равный числу :

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность имеет бесконечный предел, если для любого

Последовательность называется бесконечно малой, если

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого существует номер такое, что для любого

Пусть , тогда

а) ;

б) ;

в) если , то начиная с некоторого номера заданная последовательность

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как доказать что последовательность расходится?

От противного, сдвиньте номер члена последовательности на 1 и тогда последовательность cos(n) тоже сойдется к 0, что противоречит осн. триг. тождеству.

Добавлено спустя 20 минут 12 секунд:

Прошу прощения, в предыдущем своем сообщении я написал, как доказать, что эта последовательность не сходится к нулю. А для Вашего вопроса нужно использовать несоизмеримость числа пи с 1 и принцип ящиков Дирихле- тогда Вы сможете доказать, что множество частичных пределов этой последовательности состоит из более, чем одной точки, что противоречит сходимости.

А можно перейти к пределу в равенствах

Народ! Помогите плз доказать что последовательность = 1 + (1/2) + (1/3) + . + (1/n) расходиться

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Очень надо седня.

Суммируйте по от n-го до 2n-го и т.д.
Всвязи с синусами имеется задача. Доказать, что .

Попробуйте доказать, что, к примеру, сумма
.

Последовательность
s(n)=1+1/2+1/3+1/4+. +1/n — расходится.

Чтобы доказать это достаточно показать что последовательность неограничена.

Возьмем =2^k: ( ^ — означает «в степени»)
Тогда s(n)=s(2^k) =
= 1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+. +
+1/[2^(k-1)+1]+1/(2^k) =>
=> 1+1/2+2/2^2+ . +2^(k-1)/2^k = 1+k/2 > k/2

Отсюда следует что для любого M>0, всегда можем найти такой n=2^k, что s(n) > k/2 > M. Для этого достаточно выбрать k > 2*M.
Следовательно последовательность s(n) — не ограничена и расходится

Блин обьясните мне тупому человеку что такое М

Народ! Помогите плз доказать что последовательность = 1 + (1/2) + (1/3) + . + (1/n) расходиться

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Очень надо седня.

Доказательство расходимости гармонического ряда есть, например, в книге

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчислния, том II.

Доказать что последовательность расходится

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_ \frac =0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_\) разность \(\left|\frac -0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Предел числовой последовательности

Последовательность $\left\\right\>$ называется сходящейся, если существует такое число $a \in R$ такое, что последовательность $\left\-a\right\>$ является бесконечно малой последовательностью.

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\\right\>$ и обозначается $\lim _ x_=\lim _ x_=a$, $x_ \underset <\longrightarrow>a$

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\\right\>$ , если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_<0>=n_<0>(\epsilon)$ такой, что для любого $n>n_<0>$ выполняется неравенство $\left|x_-a\right| \lt \epsilon$ :

$\lim _ x_=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_<0>=n_<0>(\epsilon) : \forall n>n_<0>,\left|x_-a\right| \lt \epsilon$

Целой частью $[x]$ некоторого числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$

Задание. Найти целую часть чисел — 2,36; 2,36; 2.

Решение. $[-2,36]=-3,[2,36]=2,[2]=2$

Задание. Доказать равенство: $\lim _ \frac<1>=0$

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности $\frac<1>$ , если для любого $\epsilon>0$ найдется такой номер $n_<0>=n_<0>(\epsilon)$, что для любого $n>n_<0>$ выполняется неравенство $\left|x_-0\right| \lt \epsilon$:

В качестве $n_<0>$ возьмем $n_<0>=\left[\frac<1><\epsilon>\right]+1$

Итак, для любого $n>n_<0>$ указано соответствующее значение $n_<0>$ , а тогда равенство $\lim _ \frac<1>=0$ доказано.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе — расходящейся.

Задание. Доказать, что последовательность $x_=(-1)^$ не имеет предел.

Доказательство. Пусть $a$ — предел рассматриваемой последовательности, то есть $\lim _ x_=a$. Рассмотрим $\epsilon=\frac<1> <10>\Rightarrow \exists n_<0>=n_<0>(\epsilon) \in N : n>n_ <0>:\left|x_-a\right| \lt \epsilon$

$\left|x_<2 k>-a\right| \lt \frac<1> <10>\Rightarrow|-1-a| \lt \frac<1> <10>\Rightarrow|1+a| \lt \frac<1><10>$

$\left|x_<2 k+1>-a\right| \lt \frac<1> <10>\Rightarrow|1-a| \lt \frac<1><10>$

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Последовательность на бесконечности

Последовательность $\left\\right\>$ имеет бесконечный предел, если для любого $\epsilon>0, \exists n_ <0>\in N : n>n_ <0>:$ $x_>\epsilon : \lim _ x_=\infty$

Последовательность $\left\\right\>$ называется бесконечно малой, если $\lim _ x_=0$

Последовательность $\left\\right\>$ называется бесконечно большой, если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_<0>$ такое, что для любого $n>n_ <0>:\left|x_\right|>\epsilon$

в) если $b \neq 0$ , то начиная с некоторого номера заданная последовательность $\lim _ \frac>>=\frac$

Похожие публикации:

1. Picasso viewer что это
2. Как изменить название процессора в свойствах системы
3. Какую версию андроид поддерживает вк
4. Конфигурация pcr7 что это