Доказать что проектирование трехмерного пространства на координатную ось

68. Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов

Оператор Проектирования. Пусть требуется найти матрицу линейного оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на координатную ось Е1 в базисе Е1, Е2, Е3. Матрица линейного оператора – это матрица, в столбцах которой должны стоять образы базисных векторов Е1 = (1,0,0), Е2 = (0,1,0), Е3 = (0,0,1). Эти образы, очевидно, есть: Ае1 = (1,0,0)

Следовательно, в базисе Е1, Е2, Е3 матрица искомого линейного оператора будет иметь вид:

Найдем ядро этого оператора. Согласно определению ядро – это множество векторов Х, для которых АХ = 0. Или

Т. е. ядро оператора составляет множество векторов, лежащих в плоскости Е1, Е2. Размерность ядра равна n – rangA = 2.

Множество образов этого оператора – это, очевидно, множество векторов, коллинеарных Е1. Размерность пространства образов равна рангу линейного оператора и равна 1, что меньше размерности пространства прообразов. Т. е. оператор А – вырожденный. Матрица А тоже вырождена.

Еще пример: найти матрицу линейного оператора, осуществляющего в пространстве V3 (базис I, J, K) линейное преобразование – симметрию относительно начала координат.

Имеем: Ai = — i

Т. е. искомая матрица

Рассмотрим линейное преобразование – Симметрию относительно плоскости Y = X.

Aj = I (1,0,0)

Ak = K (0,0,1)

Матрица оператора будет:

Еще пример – уже знакомая матрица, связывающая координаты вектора при повороте осей координат. Назовем оператор, осуществляющий поворот осей координат, — оператор поворота. Допустим, осуществляется поворот на угол j:

Ai ’ = cosjI + sinjJ

Aj ’ = — sinjI + cosjJ

Матрица оператора поворота:

Ai ‘ Aj ‘

Вспомним формулы преобразования координат точки при смене базиса – замена координат на плоскости при смене базиса:

Эти формулы можно рассматривать двояко. Ранее мы рассматривали эти формулы так, что точка стоит на месте, поворачивается координатная система. Но можно рассматривать и так, что координатная система остается прежней, а перемещается точка из положения М* в положение М. Координаты точки М и М* определены в той же координатной системе.

Все сказанное позволяет подойти к следующей задаче, которую приходится решать программистам, занимающимся графикой на ЭВМ. Пусть необходимо на экране ЭВМ осуществить поворот некоторой плоской фигуры (например треугольника) относительно точки О’ с координатами (a, b) на некоторый угол j. Поворот координат описывается формулами:

Параллельный перенос обеспечивает соотношения:

Для того, чтобы решить такую задачу, обычно применяют искусственный прием: вводят так зазываемые “однородные” координаты точки на плоскости XOY: (x, y, 1). Тогда матрица, осуществляющая параллельный перенос, может быть записана:

А матрица поворота:

Рассматриваемая задача может быть решена в три шага:

1й шаг: параллельный перенос на вектор А(-а, — b) для совмещения центра поворота с началом координат:

2й шаг: поворот на угол j:

3й шаг: параллельный перенос на вектор А(а, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение:

Искомое линейное преобразование в матричном виде будет выглядеть:

(**)

По формуле (**) можно пересчитать координаты любой точки плоской фигуры, а затем построить ее на экране, осуществив тем самым ее поворот.

§4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Выяснить, какие из следующих векторных функций в трехмерном пространстве векторов являются линейными операторами, если х(х₁, х₂, х₃):

а) Ах = (х₂ + х₃, 2х₁ + 3х₃, 3х₁ – х₂ + х₃); б) Ах = (х₁, х₂ + 1, х₃ + 2);

в) Ах = (2х₁ + х₂, х₁ + х₃, ); г) Ах = (х₁ – х₂ + х₃, х₃, х₂).

2. Доказать, что любой линейный оператор в одномерном пространстве сводится к умножению всех векторов на одно и то же число, т.е. Ах = х, хV.

3. В бесконечномерном пространстве всех полиномов от t с вещественными коэффициентами заданы операторы А и В: АР(t) = Р(t), ВР(t) = tР(t).

а) показать, что оба оператора – линейны;

б) имеет ли место равенство АВ = ВА? в) найти АВ – ВА;

г) показать, что .

 б) нет; в) АВ – ВА = Е. 

4. Можно ли рассматривать в пространстве полиномов степени не выше n оператор В такой, что ВР(t) = tР(t)?

нет, потому, что умножение на t повышает степень многочлена и, следовательно, не

действует в данном пространстве. 

5. В линейном пространстве всех многочленов от t операторы А и В заданы так: A(a₀ + a₁t + … + a_nt n ) = a₁ + a₂t + … + a_nt n –1 и

B(a₀+a₁t+ … +a_nt n ) =a₀t+a₁t 2 + … +a_nt n +1

Показать, что А и В линейные операторы и, что АВ = Е, ВА  Е. Имеет ли оператор А обратный?  нет. 

6. Пусть х(х₁, х₂, … , х_n)произвольный вектор n-мерного арифметического пространства. Будет ли А линейным оператором, если:

а) n = 2; Ах = (х₂, х₁ – х₂); б) n = 2; Ах = (х₂, х₁х₂);

в) n = 3; Ах = (х₂, х₁ – х₃, х₃ +3); г) n = 3; Ах = (2х₃ + х₁, 2х₃х₁, х₁ – х₂);

д) Ах = (0, 0, 0, … , 0, 0); е) n = 3; Ах = (0, х₁+ 3х₂, х₁, );

ж) Ах = (0, 0, 0, … , 0, 1); з) n = 3; Ах = (sinх₁, cosх₂, х₃);

 а) да; б), в), г) нет; д) да; е), ж), з) нет; и) да. 

7. Пусть – произвольный вектор; – фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного пространства (двумерного или трехмерного). Проверить, что оператор А линеен и выяснить его геометрический смысл, если:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

 а) ортогональное проектирование на прямую ; б) проектирование на подпространство параллельно подпространству ; в) ортогональное проектирование на подпространство ; г) проектирование на подпространство параллельно вектору ā; д) ортогональное отражение в подпространстве ; е) ортогональное отражение в прямой . 

8. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную ось е₁ = i параллельно координатной плоскости векторов е₂ = j, е₃ = k является линейным оператором и найти матрицу этого оператора в базисе е₁, е₂, е₃.  . 

9. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость векторов е₁, е₂ параллельно оси координат е₃ является линейным оператором и найти его матрицу в базисе:

 а) ;б) ; в) . 

10. Доказать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, является линейным оператором, и найти его матрицу в базисе единичных векторов координатных осей.  . 

11. Доказать, что поворот плоскости на угол  вокруг начала координат является линейным оператором и найти матрицу этого оператора в любом ортонормированном базисе, если положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего е₁ в е₂.  . 

12. Доказать, что поворот трехмерного пространства на угол вокруг i + j + k является линейным оператором, и найти матрицу этого оператора в базисе е₁ = i, е₂ = j, е₃ = k.

 , если е₁ переходит в е₂; , если е₂ переходит в е₁. 

13. Составить матрицу оператора ортогонального проектирования в геометрическом линейном пространстве V₃ на подпространство L, если L есть:

а) прямая х = z = 0; б) прямая х = у = z; в) плоскость х + у + z = 0;

г) плоскость, натянутая на векторы а(–1, 1, –1), b(1, –3, 2).

 а) ; б) ; в) ; г) . 

14. Составить матрицу оператора проектирования в геометрическом линейном пространстве V₃ на подпространство L, параллельно подпространству М: а) L: x = 0; M: 2x = 2y = – z;

б) L: –20x = 15y = 12z; M: 2x + 3y – z = 0;

в) ; M: 2x + 3y – 4z = 0.

 а) ; б) ; в) . 

15. Линейный оператор А в арифметическом пространстве в стандартном базисе задан матрицей. Найти образы векторов а₁, а₂, а₃ для оператора А:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

16. Линейный оператор Aℒ(V_n, V_m) задан матрицей А. Написать образы указанных векторов:

а) ; б) ;

в) .

 а) (0, 6, 24), (6, 5, –1), (1, 2, 2); б) (0, 0, 0, 0), (2, 2, 2, 2), (10, 14, 18, 22), (7, 9, 11, 13);

в) (–8, –13, 3, 0, –13), (–1, 5, 0, 8, 11), (3, 8, –1, 4, 0), (4, 14, –1, 11, 20), (–5, –3, –3, –4, 5); 

17. Доказать, что существует единственный линейный оператор в V_n, переводящий данные линейно независимые векторы а₁, а₂, … , а_n в данные векторы b₁, b₂, … , b_n. Как найти матрицу этого оператора в базисе а₁, а₂, … , а_n?

 В i oм столбце матрицы стоят координаты вектора b_i в базисе < a_i>. 

18. Пусть линейный оператор С в V_n переводит линейно независимые векторы а₁, а₂, … , а_n в векторы b₁, b₂, … , b_n соответственно. Доказать, что матрицу C этого оператора в некотором базисе е₁, е₂, … , е_n можно найти из равенства С = ВА –1 , где А и В состоит из координат векторов а₁, а₂, … , а_n и b₁, b₂, … , b_n в базисе е₁, е₂, … , е_n, записанных в столбцы.

19. Составить матрицу оператора А, переводящего в трехмерном линейном пространстве векторы х₁(0, 0, 1), х₂(0, 1, 1), х₃(1, 1, 1) в векторы у₁(2, 3, 5), у₂(1, 0, 0), у₃(0, 1, –1) соответственно, в базисе:

 а) ; б) . 

20. Составить матрицу оператора А, переводящего векторы а₁, а₂, а₃ в векторы b₁, b₂, b₃ в том же базисе в котором заданы координаты всех векторов:

 а) ; б) . 

21. Доказать, что оператор в трехмерном пространстве , где является линейным оператором, и найти его матрицу:

а) в ортонормированном базисе е₁, е₂, е₃ в котором даны координаты

б) в базисе: b₁(1, 0, 1), b₂(2, 0, –1), b₃(1, 1, 0).

 а) ; б) . 

22. Скорости точек тела, движущегося вокруг неподвижной точки, определяются по формуле , где – мгновенная угловая скорость, а – радиус-вектор точки. Доказать, что оператор – линеен, и найти его матрицу в базисе: е₁ = i, е₂ = j, е₃ = k.

 . 

23. Показать, что оператор дифференцирования является линейным оператором в пространстве полиномов степени не выше n от одного переменного с вещественными коэффициентами. Найти матрицу этого оператора в базисе: а) 1, х, х 2 , … , х n ; б) ;

в) , где сR.

 а) ; б), в) />. 

24. Доказать, что оператор является линейным и отображает пространство функций интегрируемых с косинусом на (0, 2) в пространство многочленов первой степени от sinx и cosx. Найти матрицу этого оператора в подпространстве с базисом: x, cosx>.  . 

25. Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка слева и справа на данную матрицу являются линейными операторами в пространстве квадратных матриц второго порядка, и найти матрицу этого оператора в базисе: .

Читать:

Как понять m 3 mod6 что означает

 при умножении слева; при умножении справа . 

26. Линейный оператор в V задан, матрицей А. Найти ядро и образ оператора. Выяснить задает ли данное преобразование изоморфизм или нет, если:

а) ; б) ; в) ;

г); д) ; е) .

а) (12, –5) и (5, 12); б) (1, 1, –1), (3, 0, 2) и (1, 1, –1); в) (1, –1, 1) и (1, 1, 0), (0, 1,–1);

г) (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1) и (1, 1, –3, –3), (1, –1, –1, 1); д) < > и V; А – изоморфизм;

е) < > и V; А – изоморфизм. 

27. Линейное отображение n-мерного пространства в m-мерное пространство задано матрицей А. Найти ядро и образ линейного оператора:

а) m = 3, n = 4, ;

б) m = 4, n = 3, ;

в) m = 4, n = 3, ;

г) m = 2, n = 3, ;

д) m = 5, n = 3, ;

е) m = 3, n = 5, .

а) (0, 2, 0, 1), (0, –3, 1, 0) и (0, 1, 0), (1, 0, –2); б) < > и (4, 3, –1, 7), (5, 2, 3, 7), (9, 7, 2, 6); в) (3, 1, 0), (2, 0, –1) и (–2, 1, 7, –3); г) (2, 0, 1, –1, 0), (0, 1, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 1) и V₂; д) (0, 1, 1) и (–2, –2, –3, 4, 6), (2, 2, 2, 1, –5); е) (1, 1, 0, –3, –6), (–2, 0, 1, 5, 10) и V₃. 

28. Имеет ли оператор поворота плоскости на фиксированный угол  нетривиальные инвариантные подпространства?

При   k, kZ не имеет; При  = k, kZ каждая прямая плоскости, проходящая

через центр вращения является инвариантным подпространством. 

29. В плоскости задан оператор А – оператор растяжения плоскости в ₁ раз вдоль оси х и в ₂ раз вдоль оси у. Определить нетривиальные инвариантные подпространства оператора А, если:

а) любая прямая, проходящая через начало координат; б) оси координат – одномер-

ные инвариантные подпространства. 

30. В трехмерном пространстве оператор А – поворот вокруг оси, проходящей через начало координат. Определить нетривиальные инвариантные подпространства этого оператора.

 ось вращения – одномерное инвариантное подпространство; плоскость перпендикуляр-

ная оси вращения и проходящая через начало координат – двухмерное инвариантное

31. Пусть е₁, е₂, … е_n – базис в V_n. Оператор Р, ставящий в соответствие вектору из V_n вектор называется оператором проектирования на V_m, порожденное векторами е₁, е₂, … е_m. Найти нетривиальные инвариантные подпространства оператора Р.

Подпространство V_m и каждое его подпространство; Подпространство ℒ(e_m+1, …, e_n)

и каждое его подпространство. 

32. В пространстве полиномов от х степени не выше n найти нетривиальные подпространства инвариантные относительно оператора дифференцирования .

 Подпространство L_k многочленов степени не выше k (k = 0, 1, 2, … , n – 1). 

33. Доказать, что в пространстве функций, дифференцируемых на всей оси подпространство, натянутое на функции является инвариантным относительно оператора дифференцирования .

34. Пусть А – линейный оператор в V_n и (a_ik) – матрица этого оператора в некотором базисе е₁, е₂, … е_n. Доказать, что:

а) подпространство натянутое на векторы е₁, е₂, … е_n инвариантно относительно А тогда, и только тогда, когда a_ik = 0 для i > m, k  m;

б) подпространства, натянутое на е₁, е₂, … е_m и е_m₊₁, е_m₊₂, … , е_n инвариантны относительно А тогда, и только тогда, когда a_ik = 0 для i > m, k  m и i  m, k > m.

35. Доказать, что множество всех собственных векторов линейного оператора, принадлежащих одному и тому же собственному значению ₀, является линейным подпространством инвариантным относительно А.

36. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на любую систему собственных векторов оператора А, инвариантно относительно А.

37. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе своими матрицами:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

 а) ₁ = 1, с(1, –1); ₂ = 3, с(1, 1); с  0; б) ₁ = 7, с(1, 1); ₂ = –2, с(4, –5); с  0;

в) ₁ = ai, с(1, i); ₂ = –ai, с(1, –i); с  0; г)  = 2, с₁(–2, 1, 0) + с₂(1, 0, 1); ;

д) ₁= –1, с(1, 1,–1); ₂ = 1, с(–2, 0, 1); ₃ = 2, с(1, 0, 0); с  0; е) ₁ = 1, с₁(1, 0, 1)+с₂(0, 1, 0);

₂ = –1, с(1, 0, –1); с  0; ; ж) ₁ = 1, с(3, –6, 20); ₂ = –2, с(0, 0, 1); с  0;

з) ₁= 2, с(1, 0, 0); ₂ = 1, с(1, 0, 1); ₃ = –1, с(0, 1, –1); с  0; и) ₁ = –1, с(1, 0, 0); ₂ = 1,

с₁(1, 0, 1)+с₂(0, 1, 1); с  0; ; к)  = 2, с(1, 0, 0); л)  = 2, с₁(1, 2, 0)+с₂(0, 0, 1);

; м) ₁= –1, с(1, 1, 1); ₂ = 0, с(1, 2, 3); с  0. 

38. В пространстве непрерывных и дифференцируемых на всей оси функций f(x) найти собственные числа и собственные векторы оператора .

  =  – любое число; f(x) = ce  x , c  0. 

39. Найти собственные числа и собственные векторы операторов, заданных в некотором ортонормированном базисе матрицами:

; ; .

Собственные значения у s₁, s₂, s₃ – одинаковые: ₁ = 1, ₂ = 0, ₃ = –1;

собственные векторы: y s₁: c₁(0, –i, 1), c₂(1, 0, 0), c₃(0, i, 1), c_i  0;

y s₂: c₁(i, 0, 1), c₂(0, 1, 0), c₃(–i, 0, 1), c_i  0;

40. Найти собственные числа и собственные векторы операторов, которые в некотором ортонормированном базисе, заданы матрицами:

; ; .

Собственные значения операторов s₁, s₂, s₃ – одинаковы: ₁ = 1, ₂ = 0, ₃ = –1;

собственные векторы: для s₁: c₁(1,, 1), c₂(1, 0, –1), c₃(0, –, 1), c_i  0;

для s₂: c₁(1, i, –1), c₂(1, 0, 1), c₃(1, –i, –1), c_i  0;

41. Дана матрица оператора А в некотором базисе и полином f(x). Найти собственные числа и собственные векторы оператора f(А):

а) ;

б) ;

в) .

 а) ₁ = 6(1 – i), с(1, i); ₂ = 6(1 – i), с(1, –i); с  0; б) ₁ = 14, с(1, 2, 2); ₂ = ₃ = 10,

с(1, 2, 1); с  0; в) ₁ = 9, с(1, 0, 0); ₂ = –1, с(1, 0, 1); ₃ = –15, с(0, 1, –1); с  0. 

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Монжа, или ортогональное проектирование на 2 взаимно перпендикулярные плоскости, иметода ксонометри-ч е с к и и, когда одновременно с изображаемым телом проектируется на плоскость и система трех координатных осей, к к-рым оно отнесено. В механике ( напр, в вопросе о моментах) играет важную роль ортогональность. Проекция на ось ломаной линии равна алгебраич. [16]

Здесь pv — ортогональное проектирование на проходящую через о гиперплоскость А ( и) с единичным вектором внешней нормали v, da — элемент площади поверхности единичной сферы дВ [ ( о); интеграл понимается в смысле Римана. [17]

Если рс — ортогональное проектирование R на содержащую о гиперплоскость С, то множества рс ( К ( т)) т, а, р ] также образуют вполне выпуклое каналовое семейство. Последнее обладает в случае СФА каналовой прямой G: pc ( G) и перпендикулярной к ней содержащей о гиперплоскостью А: — А [ С относительно пространства С. [18]

Доказать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе единичных векторов координатных осей. [19]

Доказать, что ортогональное проектирование векторов пространства L , на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, является линейным преобразованием. [21]

В случае же ортогонального проектирования площадь проекции плоской фигуры не может быть больше площади самой фигуры и легко через нее выражается, что можно видеть из следующей теоремы, доказательство которой мы не приводим. [22]

Рассмотрим оператор А ортогонального проектирования на — мерное подпространство М евклидова n — мерного пространства Еп. [23]

В результате при ортогональном проектировании на плоскость, отсекающую равные отрезки осей, совпадающих с ребрами пирамиды, мы получаем плоскую проекцию, ориентированную относительно четырех осей. Ею пользуются только в — тех случаях, когда значения [ CNJJ, вычисленные по уравнению ( 65), положительны. [25]

Оператор Р, осуществляющий ортогональное проектирование векторов унитарного пространства R на заданное подпространство S, является эрмитовым проекционным оператором. [26]

Оператор Р является оператором ортогонального проектирования , или проектором, на замкнутое линейное многообразие, порождаемое множеством А. [27]

Доказать, что оператор ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве вполне непрерывен тогда и только тогда, когда его область значений конечномерна. [28]

Обозначим через Р оператор ортогонального проектирования в плоскости и, х на ось абсцисс. [29]

Доказать, что оператор ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве вполне непрерывен тогда и только тогда, когда его образ конечномерен. [30]