Как найти комплексные корни квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений.

Линейный многочлен при всегда имеет корень . Квадратный трехчлен уже не всегда имеет корни над полем действительных чисел.

Пусть – квадратный трехчлен над полем комплексных чисел ( ). Обозначим через какой-либо комплексный квадратный корень из дискриминанта . Тогда

суть комплексные корни многочлена Действительно, уравнение равносильно уравнению , откуда и следует формула (6).

ПРИМЕР. Решим уравнение :

Заметим, что как и положено по теореме Виета, сумма корней равна , а произведение равно 13.

Основная теорема алгебры комплексных чисел

Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен над этим полем, не равный константе, имеет хотя бы один корень. Из теоремы Безу сразу следует, что над таким полем любой неконстантный многочлен разложим в произведение линейных множителей. В этом смысле алгебраически замкнутые поля устроены проще, чем не алгебраически замкнутые. Мы знаем, что над полем действительных чисел не всякий квадратный трехчлен имеет корень, тем самым поле ℝ не является алгебраически замкнутым. Оказывается ему чуть-чуть не хватает до алгебраической замкнутости. Другими словами: решив казалось бы частную задачу о уравнение , мы одновременно справились со всеми остальными полиномиальными уравнениями.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. Любой многочлен над полем ℂ, не равный константе, имеет хотя бы один комплексный корень.

СЛЕДСТВИЕ. Любой многочлен, не равный константе, над полем комплексных чисел разложим в произведение линейных множителей:

Здесь — старший коэффициент многочлена, – все различные комплексные корни многочлена, — их кратности. Должно выполняться равенство

Доказательство следствия представляет собой несложную индукцию по степени многочлена.

Над другими полями положение дел не столь хорошее в смысле разложимости многочленов. Назовем многочлен неприводимым, если он во-первых, не константа, а, во-вторых, не разложим в произведение многочленов меньших степеней. Ясно, что всякий линейный многочлен (над любым полем) неприводим. Следствие можно переформулировать так: неприводимыe многочлены над полем комплексных чисел с единичным старшим коэффициентом (по другому: унитарные) исчерпываются многочленами вида ( ).

Разложимость квадратного трехчлена равносильна наличию хотя бы одного корня. Преобразуя уравнение к виду , заключаем, что корень квадратного трехчлена существует тогда и только тогда, когда дискриминант есть квадрат какого-либо элемента поля K (здесь предполагаем, что 2≠ 0 в поле K). Отсюда получаем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Квадратный трехчлен над полем K, в котором 2≠ 0, неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в поле K. Это равносильно тому, что дискриминант не является квадратом никакого элемента поля K. В частности, над полем действительных чисел квадратный трехчлен неприводим, если и только, если .

Итак над полем действительных чисел существуют по крайней мере два вида неприводимых многочленов: — линейные и квадратичные и отрицательным дискриминантом. Оказывается, что эти два случая исчерпывают множество неприводимых многочленов над ℝ.

ТЕОРЕМА. Любой многочлен над полем действительных чисел разложим в произведение линейных множителей и квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами:

Здесь — все различные действительные корни многочлена , — их кратности, все дискриминанты меньше нуля, и квадратные трехчлены все различны.

Вначале докажем лемму

ЛЕММА. Если и для какого-либо , то сопряженное число также является корнем многочлена .

Доказательство. Пусть , и – комплексный корень многочлена . Тогда

где мы использовали свойства сопряжения. Следовательно, . Тем самым — корень многочлена . □

Доказательство теоремы. Достаточно доказать, что любой неприводимый многочлен над полем действительных чисел либо линейный, либо квадратичный с отрицательным дискриминантом. Пусть — неприводимый многочлен с единичным старшим коэффициентом. В случае сразу получаем для некоторого действительного . Предположим, что . Обозначим через какой-либо комплексный корень этого многочлена, существующий по основной теореме алгебры комплексных чисел. Так как неприводим, то (см. теорему Безу). Тогда по лемме, будет еще одним корнем многочлена , отличным от .

Многочлен имеет действительные коэффициенты. Кроме того, делит согласно теореме Безу. Так как неприводим и имеет единичный старший коэффициент, то получаем равенство . Дискриминант этого многочлена отрицателен, так как иначе он имел бы вещественные корни.□

ПРИМЕРЫ. А. Разложим многочлен на неприводимые множители. Среди делителей константного члена 6 ищем корни многочлена. Убеждаемся, что 1 и 2 – корни. Тем самым многочлен делится на . Поделив, находим

— окончательное разложение над полем , ибо дискриминант квадратного трехчлена отрицателен и, следовательно, он над полем действительных чисел далее не разложим. Разложение того же многочлена над полем комплексных чисел получим, если найдем комплексные корни квадратного трехчлена . Они суть . Тогда

— разложение данного многочлена над

Б. Разложим над полями действительных и комплексных чисел. Так как действительных корней этот многочлен не имеет, то он разложим на два квадратных трехчлена с отрицательными дискриминантами

Так как при замене на многочлен не меняется, то при такой замене квадратный трехчлен должен переходить в и наоборот. Отсюда и . Приравнивая коэффициенты при получаем В частности, . Тогда из соотношения (получается подстановкой извлекаем , и окончательно, . Итак,

— разложение над полем действительных чисел.

Для того, чтобы разложить данный многочлен над комплексными числами, решим уравнение или . Ясно, что будут корнями. Все различные корни мы получим при Следовательно,

— разложение над комплексными числами. Легко вычислить

и мы получаем другое решение задачи о разложении многочлена над полем действительных чисел.

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней ­z₀, z₁, z₂, … z_n-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

где – это модуль комплексного числа w,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z₀ и z₁. Детализируем общую формулу:

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z₀.

Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z₁.

По этому же алгоритму ставим точку z₂.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.

Двучленным называется уравнение вида $x^ =A$.

Рассмотрим три случая:

• В случае если $A$ — это положительное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле \[x_ =\sqrt[] \cdot \left(\cos \frac<2k\pi >+i\cdot \sin \frac<2k\pi >\right),\, \, \, k=0. n-1.\]
• В случае если $A$ — это отрицательное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле \[x_ =\sqrt[] <|A|>\cdot \left(\cos \frac<\pi +2k\pi >+i\cdot \sin \frac<\pi +2k\pi >\right),\, \, \, k=0. n-1.\]
• В случае если $A$ — это комплексное число, то корни уравнения находятся по формуле \[x_ =\sqrt[] \cdot (\cos \frac<\varphi +2\pi k>+i\sin \frac<\varphi +2\pi k>),\, \, \, k=0..n-1.\]

Решить уравнение: $x^ <3>=8$.

Так как $A>0$, то $x_ =\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<2k\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<2k\pi > <3>\right),\, \, \, k=0. 2$.

При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right)=\sqrt[<3>] <8>=2$.

При $k=1$ получаем

\[x_ <1>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<2\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1+\sqrt <3>\cdot i.\]

При $k=2$ получаем

\[x_ <2>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<4\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<4\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1-\sqrt <3>\cdot i.\]

Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.

Так как $A$ — комплексное число, то

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

По условию $a=1,b=1$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac<1> <1>=arctg1=\frac<\pi > <4>\]

Подставим полученные значения и получим:

Уравнение перепишем в виде:

При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi /4> <3>+i\cdot \sin \frac<\pi /4> <3>\right)=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)=\sqrt[<6>] <2>\cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)$.

При $k=1$ получаем

При $k=2$ получаем

Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом

В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.

Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.

\[D=2^ <2>-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16.\]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Комплексное число вида $\overline=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.

Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1\pm 2i$, записать исходное уравнение.

Запишем уравнение следующим образом:

\[x^ <2>-(1-2i)\cdot x-x\cdot (1+2i)+(1-2i)\cdot (1+2i)=0\] \[x^ <2>-x+2i\cdot x-x-2i\cdot x+1-4i^ <2>=0\] \[x^ <2>-2x+1+4=0\] \[x^ <2>-2x+5=0\]

Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ — искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)\cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.

Как найти комплексные корни квадратного уравнения

Пусть задано квадратное уравнение , где коэффициенты , и — в общем случае являются комплексными. Его решение находим с помощью дискриминанта

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются комплексными числами.

Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни и . Решить его.

Решение. Известно, что если — корни квадратного уравнения , то указанное уравнение можно записать в виде . А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:

Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:

— искомое квадратное уравнение.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:

Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде . То есть

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений и :

решив которую, имеем, что , или , . Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что , а тогда

Ответ.