Как найти коммутирующую матрицу

1. Матрицы ,сложение матриц, свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.

Аij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце

Квадратная — матрица с равным числом столбцов и строк

Прямоугольная — матрица в которой число строк не равно числу столбцов

Единичная — диагональная матрица, у которой каждый элемент на главной диагонали равен единице.

Нулевая — матрица, все элементы которой равны нулю

Обратная — матрица A −1 , при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E

Транспонированная — матрица, получающаяся из данной (прямоугольной или квадратной) матрицы А после замены строк соответствующими столбцами.

Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: C = А + В

1. Ассоциативность сложения:

2. Коммутативность сложения:

3. Ассоциативность умножения:

4. Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

2.Матрицы. Умножение матриц. Коммутирующие матрицы.

Матрицы — См. вопрос№1

Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведением матриц.

Элемент произведения матриц приведённых выше вычисляется следующим образом

Коммутирующие матрицы – АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

3.Ассоциативность умножение матриц. Теорема с доказательством.

Матрицы — См. вопрос№1

A M_mxn, B M_nxp, C M_pxs

4.Определение транспонирующей матрицы. Св-ва трансонпонир. Матрицы с док-вом.

Матрицы — См. вопрос№1

Транспонированная матрица — Матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как A T [i, j] = A[j, i].

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А. Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

При транспонировании можно выносить скаляр.

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы

5. Перестановки из n элементов. Порядок, инверсия. Определение четности перестановки. Транспозиция (утв. 1 и следствия)

Перестановкой (на множестве из n элементов ) называется

биекция множества <1, 2, 3, . . . , n >на себя.

Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов такая, что и . Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки .

Транспозиция — перестановка, которая меняет местами только два элемента.

Как найти коммутирующую матрицу

БлогNot. Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Матрицы A и B перестановочны (коммутативны), если A*B = B*A .

Например, нам нужно по заданной матрице

найти элементы матрицы B той же размерности

то есть, подобрать такие e , f , g , h , что A*B = B*A .

Так как эта система уравнений имеет бесконечно много решений (соответственно, перестановочная с данной матрица определена с точностью до постоянного множителя), один элемент искомой матрицы надо зафиксировать, например, положив e=1 . В остальном всё решится в символьном виде обычным блоком Given-Find:

поиск перестановочной матрицы в символьном виде (Mathcad)

А вот с дополнительными ограничениями вида «a,b. h не равны 0», или «определители A и B не равны 0», ничего не выйдет. Mathcad просто возьмёт «ближайшее» решение, состоящее из всех нулей.

Сказанное не значит, что Mathcad найдёт «наиболее короткое» или ещё в каком-то смысле «лучшее» решение задачи, имеющей бесконечное множество вариантов ответа. Например, такую простую перестановочную матрицу как

он не найдёт, если поставить до Given оператор h:=0 и искать значения e , f , g . Будут выданы всё те же нули, как «ближайшее подходящее» решение.

Если же матрица A задана не символьно, а в числах, всё ещё тривиальней (для удобства использован «дробный» формат при выводе матриц):

поиск перестановочной матрицы в аналитическом виде (Mathcad)

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Найти все матрицы B, коммутирующие с заданной матрицей A

Последний раз редактировалось PAV 23.02.2011, 12:35, всего редактировалось 2 раз(а).

изменил заголовок

Дана вот такая вот матрица.
$$ A = \left( \begin<array> <ccc>3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end <array>\right). $» /><br />Требуется найти все матрицы B, такие что BA = AB.</p> <p>Ах, все . Ну, пишите:<br /><img decoding=$ (записывать его, конечно, надо в столбец, но в строчку меньше места занимает). Если $B$ коммутирует с $A$ , то $ABv = BAv = 3Bv$ , откуда $Bv$ — собственный вектор матрицы $A$ (или нулевой вектор). Значит, $Bv = \lambda v$ для некоторого скаляра $\lambda$ и $(B)_<21>= (B)_ <31>= 0$» />, <img decoding= (здесь $E$ — единичная матрица). А у матрицы $A-3E$ совсем много ноликов

Что-то задача стала резко никому не нужна. А я вчера за те пятнадцать минут, пока засыпал, всё легко решил в уме. Ответ такой:
$$ B = \left( \begin<array> <ccc>a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end <array>\right) $» /><br />Естественно, никаких жутких систем решать не потребовалось!</p> <h2> матрица — Найти все матрицы, коммутирующие с данной </h2> <p>Как решить это при помощи уравнений? <br />Если я правильно понимаю, то получаем $%AX=XA$%. Называю элементы матрицы $%X$% от $%x_1$% до $%x_9$%. <br />Составляю систему уравнений. Получаю, что $%x_1=x_9$%, $%x_3$%, $%x_4, x_5$%, $%x_6$% неизвестны, все остальные элементы равны $%0$%. И тупик. Дальше не знаю, как найти оставшиеся элементы.</p> <p>задан <strong>6 Окт ’14 19:26</strong> </p> <h3>1 ответ</h3> <p>Это близко к полному решению, но у Вас ещё не учтены два уравнения. Из того, что уже найдено, можно сделать вывод, что матрицы $$ \begin <pmatrix>x_1 & 0 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end<pmatrix>\begin <pmatrix>1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end<pmatrix>=\begin <pmatrix>x_1 & 0 & x_1+x_3 \\ x_4+x_5 & -x_5 & x_4+x_5+x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end<pmatrix>$$ и $$\begin <pmatrix>1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end <pmatrix>\begin <pmatrix>x_1 & 0 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end<pmatrix>=\begin <pmatrix>x_1 & 0 & x_1+x_3 \\ x_1-x_4 & -x_5 & x_1+x_3-x_6 \\ 0 & 0 & x_1 \end<pmatrix>$$ равны. Здесь всё совпадает кроме 4-го и 6-го элементов, поэтому надо рассмотреть ещё два уравнения. Одно из них даёт $%x_4+x_5=x_1-x_4$%, откуда $%x_1=2x_4+x_5$%, а второе выражает $%x_3=-x_1+x_4+x_5+2x_6=-x_4+2x_6$%. Таким образом, элементы второй строки задаются свободно, а все остальные элементы через них однозначно выражаются, то есть $$X=\begin <pmatrix>2x_4+x_5 & 0 & -x_4+2x_6\\ x_4 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & 2x_4+x_5 \end<pmatrix>.$$ Такую форму записи можно уже считать ответом, так как она описывает в точности все матрицы, перестановочные с $%A$%. Но можно пойти чуть дальше, разложив матрицу $%X$% по трём числовым матрицам с коэффициентами. Получится выражение вида $%X=x_4P+x_5Q+x_6R$%. Нетрудно при этом заметить, что $%Q=E$%. Поскольку с матрицей $%A$% заведомо перестановочна матрица $%A^2$%, можно её вычислить и прийти к выводу, что все три матрицы могут быть выражены через $%E$%, $%A$% и $%A^2$%. Таким образом, все матрицы, перестановочные с $%A$%, описываются формулой $%\lambda E+\mu A+\nu A^2$%, где $%\lambda,\mu,\nu\in\mathbb R$% — произвольные числа.</p> <p>отвечен <strong>6 Окт ’14 23:06</strong> </p> <p>Спасибо большое, оказалось достаточно просто. Почему-то я не попытался вывести х1 и х3 из остальных элементов, думал, что не получится. А ещё странно то, что в инете почти нет подобных примеров, буквально 3-4 страницы.</p> <p>Здесь всё сводится к решению систем линейных уравнений, и множество решений получается бесконечным, потому что как минимум матрицы вида $%\lambda E+\mu A$% всегда войдут. То есть надо понять, какие переменные можно выбирать свободно, а какие через них выражаются. Примеры такого типа в задачниках по линейной алгебре встречаются достаточно часто. Какие-то из них, наверное, где-то должны разбираться. Но здесь специальных знаний не требуется: вопрос решается при помощи расследования. Надо только заранее знать, какого результата можно ожидать в итоге.</p> <div class='yarpp yarpp-related yarpp-related-website yarpp-template-list'>  <div>Похожие публикации:</div><ol> <li><a href=$ Для какого числа x ложно высказывание