Как доказать что события независимы

3.8. Независимость событий

Опираясь на статистическое определение вероятности (п. 3.3), события иследует считать независимыми, если при большом числе испытаний наступления событияне влияют на частоту наступления события:

,

или, в соответствии с определением условной относительной частоты (п. 3.6):

.

Поскольку, согласно эмпирическому закону больших чисел, относительные частоты при большом числе испытаний колеблются вокруг теоретических вероятностей, последнее равенство является основанием для следующего определения независимости событий:

Определение. События иназываютсянезависимыми, если вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:

. (14)

Формально, в соответствии с данным определением, для решения вопроса о независимости событий необходимо предварительно вычислить все три вероятности , после чего проверить, выполняется ли равенство (13). На практике, однако, независимость событийиустанавливают путем содержательного их анализа, а формулу (13) используют для отыскания вероятности произведения событий.

Таким образом, имеются две формы теоремы умножения:

1. Для произвольных событий:

.

2. Для независимых событий:

.

Пример. Испытание: одновременно бросаются две монеты. Найти вероятность события , состоящего в том, что на обеих монетах выпал герб.

Решение. Введем события: — на первой монете выпал герб,

—на второй монете выпал герб. Тогда . Событияиявно не влияют друг на друга, их следует считать независимыми. Тогда

.

Теорема (независимость для противоположных событий). Если события инезависимы, то независимы также пары событий

и ,и,и.

Доказательство. Докажем, например независимость событий и. По условию; кроме того.

По свойствам операций над событиями (п. 2.3) имеем:

—сумма несовместных событий; отсюда

. ▄

Теорема (критерий независимости двух событий). Пусть . Для того, чтобы событияибыли независимы, необходимо и достаточно, чтобы условная вероятность событиясовпадала с его безусловной вероятностью: .

Доказательство. 1. Необходимость. Если инезависимы, то выполняется равенство. С другой стороны, по теореме умножения. Отсюда:

.

Поскольку , получаем: .

2. Достаточность. Пусть . Тогда, применяя теорему умножения, получаем:

,

то есть, согласно определению, события инезависимы. ▄

Теорема (о независимости от и).Любое событие не зависит от достоверного события и от невозможного события.

Доказательство. 1. , так чтоинезависимы.

2. , так чтои независимы. ▄

II. Независимость событий в совокупности.

Для трех и более событий их взаимная незави-

симость («независимость в совокупности») означает не только то, что любые два из них не влияют друг на друга (попарная независимость):

, (), (15)

но и что для любого подмножества из трех, четырех и т.д. событий этой совокупности вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

, (), (16)

, (), (17)

и т. д. вплоть до условия

. (18)

Недостаточность попарных соотношений (15) для справедливости совокупности равенств (16)–(18) показывает

Пример С.Н.Бернштейна. Испытание: наугад бросается игральная кость, имеющая форму правильного тетраэдра, четыре грани которого имеют, соответственно, белую, синюю, красную и тройную бело-сине-красную (полосатую) окраску.

Рассмотрим события: — на выпавшей грани присутствует белый цвет,— на выпавшей грани присутствует синий цвет,— на выпавшей грани присутствует красный цвет. По схеме равновозможных исходов легко убедиться, что. Далее, произведение любых двух из них означает выпадение полосатой грани, так что. Значит, условие (15) выполняется. В то же время, и условие (16) не выполняется.

Пример. Испытание: три игрока поочередно бросают шестигранную игральную кость. Найти вероятность события заключающегося в том, что все три раза выпадет шестерка.

Решение. Введем события — выпадение шестерки, соответственно, у первого, второго, и третьего игрока. Тогда— произведение независимых событий. Поэтому

.

Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Найдем вероятность суммы событий Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие ), т. е. событие . События несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События "очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера" и "будет продана пара обуви размера не меньше 44-го" противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события

поскольку , как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере. Пусть выполнение заказа в срок фирмой "Electra Ltd" оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно . Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим . Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие независимыми в совокупности , если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми , если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события условной вероятностью события .

Условие независимости события , а условие его зависимости — в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Следовательно, вероятность события

Формулы умножения вероятностей

Пусть события Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие . Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие . Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие ), . Так как события независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)

Пусть события и известны. Найдем вероятность произведения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность . Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, . Искомая вероятность

Формула полной вероятности

Теорема 2.5. Если событие , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события на соответствующую условную вероятность события :

При этом события называются гипотезами, а вероятности — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Обозначим , и — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда

Формула Байеса

Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности . Для гипотезы формула Байеса выглядит так:

Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), получаем

Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.

Теория вероятности. Часть 2

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:

Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .

1.6.2. Зависимые и независимые события

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления / непоявления остальных событий рассматриваемого множества событий (во всех возможных комбинациях).

Так, например, при подбрасывании двух или бОльшего количества монет вероятность выпадения орла или решки на любой монете не зависит от того, что выпадет на других монетах. Вероятности выпадения граней кубика во 2-м испытании не зависят от того, какая грань выпала в 1-м испытании.

Теперь более любопытная ситуация. Событие называют зависимым, если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли.

Например: – из неполной колоды игроку будет сдана карта червовой масти. Вероятность этого события зависит от того, какие карты уже были извлечены из колоды.

И, конечно, близкий многим пример:

– на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность зависит от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.

Как определить зависимость / независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, начнём с независимых событий:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!