Что такое гамма функция

ГАММА-ФУНКЦИЯ,

Г-функция,- трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения

иа к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление ( эйлеров интеграл второго рода)

верное для . Многозначность функции устраняется формулой с действительным In х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

Если и то Г.-ф. может быть представлена интегралом Коши- Зальшюца:

На всей плоскости z с выброшенными точками z=0, — 1, -2, . для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:

где причем In sесть ветвь логарифма, для к-рой ; контур Сизображен на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что — мероморфная функция. В точках она имеет простые полюсы с вычетами !

Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:

если — целое, при этом считают .

2) Формула дополнения Эйлера:

если n>0- целое, то

у — действительное.

3) Фор мула умножения Гаусса:

При m=2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При или имеет место асим-птотич. разложение вряд Стирлинга:

где — Бернулли числа. Из чего следует равенство

Более точной является формула Сонина [6]:

5) В действительной области для и принимает знак на участках (см. рис. 2). Для всех действительных хсправедливо неравенство т. е. все ветви как , так и — выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения с точностью до постоянного множителя.

Для положительных хГ.-ф. имеет единственный минимум при х=1,4616321 . равный 0,885603. . Локальные минимумы функции при образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

6) В комплексной области, при , Г.-ф. быстро убывает при

7) Функция 1/Г (z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при

Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:

абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь С -Эйлера постоянная). Справедливо интегральное представление Ганкеля:

где контур изображен на рис. 4.

Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным [7].

В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся k-ми производными от . Функция ( -функция Гаусса)

мероморфна, имеет простые полюсы в точках z= 0, — 1, -2, . и удовлетворяет функциональному уравнению

Из представления при следует формула

эта формула полезна для вычисления в окрестности точки z=1.

О других полигамма-функциях см. [2]. Неполная гамма-функция определяется равенством

Функции суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций ( гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в аналитич. теории чисел и т. д.

Лит.:[1] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [3] Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; [4] Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М., 1961; [5] Nielsen N., Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; [6] Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954;

[7] Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53-62: [8] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. е нем., 2 изд., М., 1968; [9] Анго А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер с франц., 2 изд., М., 1967. Л.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Полезное

Смотреть что такое «ГАММА-ФУНКЦИЯ,» в других словарях:

гамма-функция — гамма функция, гамма функции … Орфографический словарь-справочник

ГАММА-ФУНКЦИЯ — Г функция, Г(x), одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала на случай любых значений x … Большой Энциклопедический словарь

гамма-функция — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Гамма-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Гамма. Гамма функция математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается . Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма… … Википедия

гамма-функция — Г функция, Г(х), одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала на случай любых значений х. * * * ГАММА ФУНКЦИЯ ГАММА ФУНКЦИЯ, Г функция, Г(x), одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала на случай… … Энциклопедический словарь

гамма-функция — gama funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. gamma function vok. Gamma Funktion, f rus. гамма функция, f pranc. fonction gamma, f … Fizikos terminų žodynas

Гамма-функция — [Г функция, Г (х)], одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала; для целых положительных n равна Г (n) = (n 1)! = 1·2. (n 1). Впервые введена Л. Эйлером в 1729. Г. ф. для действительных х > 0 определяется… … Большая советская энциклопедия

ГАММА-ФУНКЦИЯ — Г функция, Г(х), одна из важнейших спец. функций, обобщающая понятие факториала на случай любых значений х … Естествознание. Энциклопедический словарь

НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ — функция, определяемая формулой где гамма функция. Если целое, то Представление в виде ряда: в виде непрерывной дроби: Асимптотич. представление при больших х: Асимптотич. представление при больших m: где … Математическая энциклопедия

ГАММА-ФУНКЦИЯ — Г(х) ф ция, обобщающая понятие факториала; для случая целого положит. х равна 1*2*3*. *(х 1)=(х 1)I=Г(х) … Большой энциклопедический политехнический словарь

Гамма-функция — интуиция, определение, примеры

Многие распределения вероятностей определяются с использованием гамма-функции, я перечислю лишь некоторые: гамма-распределение, бета-распределение, распределение Дирихле, распределение хи-квадрат, т-распределение Стьюдента и так далее.

Для специалистов по данным или инженеров и исследователей машинного обучения гамма-функция, вероятно, одна из наиболее широко используемых функций, потому что она участвует во множестве распределений. Эти распределения затем используются для генеративных статистических моделей (например, латентного размещения Дирихле), стохастических процессов (таких как модели очередей), байесовском выводе и вариационном выводе. Если вы уже хорошо понимаете гамма-функцию, вы сможете лучше понять множество приложений, в которых она появляется!

1. Зачем нам нужна гамма-функция?

Потому что мы хотим генерализовать факториал!

f(1) = 1, f(2) = 2!, f(3) = 3!, f(4) = 4!, … Вики: Гамма-функция

Функция факториала определена только для дискретных точек (для положительных целых чисел — черные точки на графике выше), но мы хотим соединить черные точки. Мы хотим распространить функцию факториала на все комплексные числа. Простую формулу факториала, x! = 1 * 2 * … * x, нельзя использовать непосредственно для дробных значений, потому что она верна только для целых чисел.

Читать:
Ue4 prerequisites x64 что это
Тогда математики стали искать…

“Какие функции плавно соединяют эти точки и предоставляют нам факториалы всех действительных чисел?”

Однако они не могли найти “конечные” комбинации сумм, произведений, степеней, экспонент и логарифмов, которые могли бы выразить x! для действительных чисел, пока…

2. Эйлер в XVIII веке нашел гамма-функцию

Гамма-функция: интегральное определение

Формула выше используется для нахождения значения гамма-функции любого действительного значения z.

Мы хотим вычислить Γ(4.8). Как решить интеграл выше?
Сможете вычислить вручную? Может быть, по частям?

Для меня (и многих других) пока не существует простого и быстрого способа вычислить гамма-функцию дробей вручную (Если вам интересно решить вручную, вот хорошая стартовая точка).

Ладно, забудьте о том, чтобы сделать это аналитически. Вы сможете вычислить этот интеграл от 0 до бесконечности программным способом, добавляя член бесконечное число раз?

Есть несколько способов вычисления. Два из наиболее используемых решений — это формула Стирлинга и приближение Ланцоша.

Давайте вычислим Γ(4.8), используя готовый калькулятор.

Мы получим 17.837.

17.837 находится между 3!(= Γ(4) = 6) и 4!(= Γ(5) = 24) — как мы и ожидали.

Когда z — натуральное число, Γ(z) =(z-1)! Скоро мы это докажем.

В отличие от факториала, который принимает только положительные целые числа, мы можем подставлять в z любые действительные или комплексные числа, в том числе и отрицательные. Гамма-функция соединяет черные точки и плавно рисует кривую.

3. Как гамма-функция может интерполировать функцию факториала?

Если вы посмотрите на гамма-функцию, вы заметите две вещи.

Во-первых, это определенно возрастающая функция по отношению к z.

Во-вторых, если z — натуральное число, Γ(z+1) = z!
(Я обещаю, что мы скоро докажем это!)

Значит, можно ожидать, что гамма-функция соединит факториал.

Как гамма-функция получила члены x^z и e^-x?

Я не знаю точно, каким путем шел Эйлер, но именно он открыл натуральное число e, поэтому он, должно быть, много экспериментировал с перемножением e на другие функции, чтобы найти настоящую форму уравнения.

4. Как будет выглядеть график гамма-функции?

Когда x стремится к бесконечности ∞, первый член (x^z) также стремится к бесконечности ∞, но второй (e^-x) стремится к нулю.

Будет ли гамма-функция сходиться к конечным значениям?

Мы методично покажем, что сходится, используя правило Лопиталя. Но мы также можем увидеть ее сходимость и без особых усилий. Подумаем: мы интегрируем произведение x^z — полиномиальной возрастающей функции — и e^-x —экспоненциально убывающей функции. Так как значение e^-x уменьшается значительно быстрее, чем значение x^z, гамма-функция наверняка сходится и имеет конечные значения.

Давайте построим на каждый график, ведь лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Первый член x^z — полиномиально возрастающая функция.
Второй член e^-x — экспоненциально убывающая функция

График x^z * e^-x

Давайте рассмотрим случай Γ(4.8).

Зеленая область под графиком со значениями от 0 до бесконечности — Γ(4.8) = 3.8!

Для создания красивого графика выше использовался код Python. Постройте такой график сами и увидите, как z меняет форму гамма-функции!

5. Свойства гамма-функции

Если усваивать что-то одно из поста, то этот раздел.

Давайте докажем это, используя интегрирование по частям и определение гамма-функции.

Красная стрелка — значение e^-x уменьшается гораздо быстрее, чем значение x^z

Докажем это, используя свойство 1:

Каково значение Γ(1)?

Таким образом, Γ(n) = (n-1)!

6. Используя свойство гамма-функции, покажем, что плотность вероятности гамма-распределения интегрируется к 1.

Для фанатов доказательств: давайте докажем фрагмент выше, выделенный красным.

Интегрируем методом подстановки.

Снова красиво доказано!

Возраст гамма-функции.

Она весьма стара, ей около 300 лет (работаете ли вы сейчас над чем-то, что будет использоваться 300 лет спустя? ��

Интересное примечание: Эйлер ослеп в 64 года, однако больше половины своих работ он написал уже после потери зрения.

2. Несколько интересных значений в точках:

3. Вот быстрый обзор графиков гамма-функций действительных чисел:

Гамма-функция Γ(z) нарисована синим, Γ(z) + sin(πz) — зеленым. (Заметьте, пересечение в области положительных целых чисел, потому что sin(πz) равен нулю!) Обе являются истинными аналитическими продолжениями факториалов до нецелых чисел.

Гамма-функция

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона <<Задание>>.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Содержание

Определение

Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

На всю комплексную плоскость функция распространяется через тождество

Альтернативное определение

Следующее бесконечное произведение служит альтернативным определением Гамма-функции. Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых

Гамма-функция

Гамма-функция — это специальная функция от комплексной переменной имеющая интегральное представление, для положительной действительной части аргумента в виде интеграла Эйлера второго рода, для отрицательной действительной части — интегральное представление Ганкеля:

(Контур C идёт из -∞ по отрицательной части действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси абсцисс возвращается к исходной точке).

Содержание

Обозначения [ править ]

x = Re(z) — действительная часть (абсцисса) числа;

y = Im(z) — мнимая часть (ордината) числа;

Г(z) — гамма-функция.

Формулы: [ править ]

Интеграл Эйлера II рода [ править ]

Интегральное представление Ганкеля [ править ]

C — контур идёт из -∞ по отрицательной части действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси абсцисс возвращается к исходной точке.

Свойства: [ править ]

Примеры: [ править ]

Другие функции: [ править ]

Литература [ править ]

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.633.

Навигация

Поиск

Эта страница в последний раз была отредактирована 20 августа 2021 в 08:19.

К этой странице обращались 211 раз.

Текст страницы доступен по условиям лицензии GNU Free Documentation License. Материалы могут быть скопированы при условии указания активной ссылки на источник копирования в теле статьи (на той же странице). В отдельных случаях могут действовать условия лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC BY-SA 3.0), информацию об этом можно просмотреть на странице обсуждения или в истории правок. В частности, условия лицензии CC BY-SA 3.0 действуют в отношении статей, перенесенных из Википедии (указание на факт переноса всегда есть в истории правок статьи или на ее странице обсуждения).

В текстах могут упоминаться организации, признанные на территории Российской Федерации террористическими и/или в отношении которых судом принято вступившее в законную силу решение о запрете деятельности — см. полный список, а также деятельность которых запрещена по решению суда — см. полный список.