Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины которая задана законом распределения

Онлайн калькулятор. Вычисление математического ожидания дискретного распределения

Онлайн калькулятор, который поможет легко и быстро найти математическое ожидание дискретного распределения случайных величин X (M[X]).

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления математического ожидания, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления математического ожидания дискретного распределения случайных величин

Выберите количество случайных величин: n =

Ввод данных в калькулятор для вычисления математического ожидания.

Для того, чтобы найти значение математического ожидания дискретного распределения случайных величин онлайн, выберите число случайных величин n из выпадающего списка, а затем, из имеющихся у вас данных, введите значения величин x_i и их вероятностей p_i .

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления математического ожидания

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вверх», «вниз», «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория: Вычисление математического ожидания дискретного распределения случайных величин

Формула рассчета математического ожидания дискретного распределения случайных величин:

Если X — дискретная случайная величина, имеющая распределение

то математическое ожидание равно

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Математическое ожидание

Данный калькулятор предназначен для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины онлайн.
Оценка математического ожидания и дисперсии случайной величины имеет большое значение в теории вероятности.
Математическое ожидание — среднее значение случайной величины. Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, следует вычислить сумму парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности.

Свойства математического ожидания заключаются в следующем. Во-первых, математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Во-вторых, математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Как найти среднее значение , формула (на примере следующих величин):
x_i= 1 ; 2 ; 5 ; 6 (случайные величины)
p_i = 0.1 ; 0.3 ; 0.1 ; 0.5 (вероятность)

Решение типовых примеров:

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения:

Решение: Находим математическое ожидание случайной величины Х и ее квадрата:

Отсюда, по формуле дисперсии находим:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х равно:

.

Ответ: .

Пример 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х равны:

Найти математическое ожидание и дисперсию величины

Решение: Согласно свойствам 1-3 математического ожидания, мы имеем:

Согласно свойствам 1-3 дисперсии:

Ответ:

Задания для закрепления:

1. Строительная инвестиционная компания в настоящий момент продает акции по 16 условных денежных единиц за штуку. Инвестор планирует покупку пакета акций и предполагает хранение их в течении года. Пусть Х — случайная величина, означающая цену одной акции спустя год. Ряд распределения Х задан в таблице:

а) Показать, что заданное распределение обладает всеми свойствами ряда распределения.

б) Чему равно ожидаемое среднее значение цены акции спустя один год?

в) Чему равен ожидаемый средний выигрыш от акции спустя год? Чему равен процент возврата инвестиций, отражаемый этим ожидаемым значением?

г) Определите дисперсию цены акции спустя год.

Ответ: б) 17,25; в) 1,25; г) 1,3875.

2. Два строительных контракта случайным образом распределяются среди трех фирм: I, II, III. Любая фирма может получить или один или оба контракта. С каждого полученного контракта прибыль фирмы составит 90000 условных денежных единиц.

а) Найдите ожидаемую прибыль фирмы I.

б) Если фирмы I и II принадлежат одному владельцу, то какова ожидаемая общая прибыль владельца?

Ответ: М(средняя прибыль)=60000; М(общая прибыль)= 120000.

3. Некоторое предприятие планирует реконструкцию и расширение производства для выпуска новой продукции. Руководство предприятия должно определить стратегию реконструкции и выбрать один из двух проектов, предусматривающих большие и умеренные капиталовложения. Неопределенность заключается в том, что спрос на новою продукцию, которую собирается выпускать предприятие неизвестен. Будущий спрос может быть низким, умеренным и высоким. Вероятности оцениваются как 0,20, 0,50 и 0,30 соответственно. Пусть Х означает ежегодный доход 1000 условных денежных единиц. Предприятие планирует следующий доход для проектов с большими и умеренными капиталовложениями:

а) вычислите ожидаемое среднее значение дохода при двух альтернативных типах реконструкции предприятия. Какое решение предпочтительнее для максимизации ожидаемого дохода?

б) вычислите дисперсию дохода для двух альтернативных проектов. Какое решение Вы предпочтете для минимизации риска и неопределенности?

Ответ: а) М(Х) = 145; 140; б) D(Х) = 2725; 12400.

4. Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 условных денежных единиц с заданным рядом распределения:

Замечание: -2000, -1000 означают убыток.

а) какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса?

б) является ли этот риск вероятностно успешным? Объясните.

в) чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса?

5. Найти математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение случайной величины Х для условия задачи 7 предыдущего параграфа.

Ответ:

6. Для закона распределения задачи 5 предыдущего параграфа определить ожидаемую среднюю сумму штрафа, если предположить, что штраф, предъявляемый машинистке за ошибки, исчисляется как корень квадратный из числа ошибок на страницу, и каждая единица приравнивается к 1 условной денежной единице.

Ответ: 1,73 усл. ден. ед.

7. Исходя из закона распределения ежедневных продаж автомобилей, соответствующего данным, условия задачи 8 предыдущего параграфа, определить ожидаемую среднюю сумму заработка продавца, если предположить, что он зарабатывает сумму, которая рассчитывается как корень квадратный из числа проданных автомобилей, умноженный на 300 условных денежных единиц.

Ответ: 465,85797 усл. ден. ед.

8. Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу, если ряд распределения такой же, как и в задаче 6 из предыдущего параграфа? Чему равны дисперсия и среднее квадратическое отклонение?

Ответ:

9. По данным условия задачи 4 предыдущего параграфа определить чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения :

11. Найти математическое ожидание случайной величины Z=3Х+4Y, если известно, что МХ=2 и МY=6.

12. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=2Х+3Y, если известно, что DХ=4 и DY=5.

13. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: ,

а так же даны математическое ожидание этой величины и ее квадрата: МХ=2,3 и МХ 2 =5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Ответ: .

14. Дискретная случайная величина Х имеет только три значения: , причем . Вероятности того, что Х примет значения х₁ и х₂ , соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, зная ее математическое ожидание МХ=2,2 и дисперсию DХ= 0,76.

15. Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появится на всех выпавших гранях.

16. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х — числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия; если проверке подлежит 50 партий.

Ответ: .

Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.

Ответ: .

9-Занятие. Моменты высокого порядка. Коэффициент корреляции и свойства

Начальный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: .

Центральный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:

.

Очевидно, что если k=1, то .

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по следующим формулам:

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$: $$ M(X)=\sum_^. $$ Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx. $$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом: $$ x_i \quad -1 \quad 2 \quad 5 \quad 10 \quad 20 \\ p_i \quad 0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.3 \quad 0.1 $$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины: $$ M(X)=\sum_^. $$ Получаем: $$ M(X)=\sum_^ =-1\cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 +5\cdot 0.3 +10\cdot 0.3+20\cdot 0.1=6.8. $$ Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x \in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx. $$ Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx = \int_<0>^ <1>12(x^2-x^3) \cdot x dx = \int_<0>^ <1>12(x^3-x^4) dx = \\ =\left.(3x^4-\frac<12><5>x^5) \right|_0^1=3-\frac<12> <5>= \frac<3><5>=0.6. $$

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро: