Правила ввода функций в онлайн калькуляторах OnlineMSchool.
На данной странице описаны правила ввода функций, которых следует придерживаться в онлайн калькуляторах для решения производных и решения интегралов.
Не забывайте проверять правильность написания формул. Неточность и ошибки в написании, приводят к неверному ответу и ситуациям, при которых калькулятор отказывается проводить вычисления.
Оператор
Описание
Простейшие математические операции
- 0.5 — правильная запись;
- 0,5 — неправильная запись.
Элементарные функции
Тригонометрические функции
Некоторые константы
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры
Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.
Переход от степеней с дробными показателями к корням
Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — a m n . Как записать такое выражение в виде корня?
Ответ вытекает из самого определения степени!
Положительное число a в степени m n — это корень степени n из числа a m .
При этом, обязательно должно выполнятся условие:
a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .
Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0 :
0 m n = 0 m n = 0 .
В соответствии с определением, степень a m n можно представить в виде корня a m n .
Например: 3 2 5 = 3 2 5 , 1 2 3 — 3 4 = 1 2 3 — 3 4 .
Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .
Так, выражение — 8 1 3 нельзя представить в виде — 8 1 3 , так как запись — 8 1 3 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень — 8 1 3 имеет смысл.
Переход от степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени.
Например, выражение x 2 + 2 x + 1 — 4 1 2 можно представить в виде квадратного корня x 2 + 2 x + 1 — 4 .Выражение в степени x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 переходит в выражение x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 для всех x , y , z из ОДЗ данного выражения.
Как представить корень в виде степени?
Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:
Опять же, переход очевиден для положительных чисел a . Например, 7 6 4 = 7 6 4 , или 2 7 — 5 3 = 2 7 — 5 3 .
Для отрицательных a корни имеют смысл. Например — 4 2 6 , — 2 3 . Однако, представить эти корни в виде степеней — 4 2 6 и — 2 1 3 нельзя.
Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.
Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования выражения — 4 2 6 .
— 4 2 6 = — 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
Так как 4 > 0 , можно записать:
В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:
— a 2 m + 1 = — a 2 m + 1 .
Тогда выражение — 2 3 примет вид:
— 2 3 = — 2 3 = — 2 1 3 .
Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.
Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением A m n в виде A m n . Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х — 3 2 3 , основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x — 3 2 3 . Такая замена возможна только при x — 3 ≥ 0 , а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула a m n = a m n не имеет смысла.
Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида A m n = A m n является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы A m n = A m n нередко возникают ошибки.
Чтобы правильно перейти от корня A m n к степени A m n , необходимо соблюдать несколько пунктов:
- В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула A m n = A m n справедлива на всей ОДЗ переменных.
- Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение A m n можно заменить:
— на A m n для всех значений переменных, при которых A ≥ 0 ;
— на — — A m n для для всех значений переменных, при которых A < 0 ; - Если m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то A m n можно заменить на A m n .
Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.
Вернемся к выражению х — 3 2 3 . Здесь m = 2 — целое и четное число, а n = 3 — натуральное число. Значит, выражение х — 3 2 3 правильно будет записать в виде:
х — 3 2 3 = x — 3 2 3 .
Приведем еще один пример с корнями и степенями.
Пример. Перевод корня в степень
x + 5 — 3 5 = x + 5 — 3 5 , x > — 5 — — x — 5 — 3 5 , x < — 5
Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении A m n значение A положительно или неотрицательно (при m > 0 ). Именно поэтому A m n = A m n .
Во втором варианте, когда m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения A m n разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, A m n = A m n = A m n . Для переменных, при которых A отрицательно, получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = — A m n = — A m n = — A m n .
Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение A положительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ A m n = A m n = A m n . Для отрицательных A получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = A m n = A m n .
Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать A m n = A m n .
Корень n-ой степени (10-11 класс). Как вычислить корень n-ой степени?
Чтобы вычислить корень \(n\)-ой степени, надо задать себе вопрос: какое число в \(n\)-ой степени, даст выражение под корнем?
а) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(16\)? Очевидно, \(2\). Поэтому:
б) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(-64\)?
в) Какое число в \(5\)-ой степени, даст \(0,00001\)?
г) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(8000\)?
д) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(\frac<1><81>\)?
Мы рассмотрели самые простые примеры с корнем \(n\)-ой степени. Для решения более сложных задач с корнями \(n\)-ой степени – жизненно необходимо знать их свойства .
Пример. Вычислите:
В данный момент ни один из корней нельзя вычислить. Поэтому применим свойства корня \(n\)-ой степени и преобразуем выражение.
\(\frac<\sqrt[5]<-64>><\sqrt[5]<2>>\) \(=\) \(\sqrt[5]<\frac<-64><2>>\) \(=\)\(\sqrt[5]<-32>\) т.к. \(\frac<\sqrt[n]><\sqrt[n]>\) \(=\) \(\sqrt[n]<\frac>\)
Переставим множители в первом слагаемом так, что бы квадратный корень и корень \(n\)-ой степени стояли рядом. Так легче будет применять свойства т.к. большинство свойств корней \(n\)-ой степени работают только с корнями одинаковой степени.
И вычислим корень 5-ой степени.
Корень n-ой степени и квадратный корень связаны?
Да, арифметический квадратный корень является как раз корнем \(n\)-ой степени, у которого \(n=2\). Математики договорились для упрощения записи эту двойку над корнем не писать, то есть \(\sqrt[2]\) записывать просто \(\sqrt\). Суть при этом осталась той же.
В любом случае, любой корень любой степени — это просто число, пусть и записанное в непривычном вам виде.
Особенность корня n-ой степени
А возведение в четную степень делает даже отрицательное число положительным. Действительно, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Поэтому мы не можем получить под корнем четной степени отрицательного числа. А значит, и извлечь такой корень из отрицательного числа – не можем.
Нечетная же степень таких ограничений не имеет – отрицательное число, возведенное в нечетную степень останется отрицательным: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-32\). Поэтому под корнем нечетной степени можно получить отрицательное число. А значит и извлечь его из отрицательного числа – тоже можно.
Расчет корня 5 степени
Корень 5 степени — это число дающее исходное значение при возведении в 5-ю степень.
Для вычисления корня любой степени воспользуйтесь универсальным калькулятором вычисления корня степени N из числа.
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета корня 5 степени из числа. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать корень пятой степени если известно исходное число.