Как найти наименьший модуль

Модуль числа есть число неотрицательное: \( \left| x \right|\ge 0,\text\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0\);
Модули противоположных чисел равны: \( \left| -x \right|=\left| x \right|\);
Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: \( \left| x\cdot y\right|=\left| x \right|\cdot \left|y\right|\);
Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: \( \displaystyle \left| \frac \right|=\frac,\text\ne \text\);
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:\( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\);
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\) при \( \displaystyle c>0\);
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: \( ^>=^>\).

\( \left| \mathbf \right|=\mathbf\)

\( \left| -4 \right|\text=\text\left| 4 \right|\text=\text4;\)

\( \left| -7 \right|\text=\text\left| 7 \right|\text=\text7.\)

\( \left| 9 \right|\text=\text?;\)
\( \left| -3 \right|\text=\text?;\)
\( \left| 16 \right|\text=\text?;\)
\( \left| 8 \right|\text=\text?;\)
\( \left| -17 \right|\text=\text?.\)

если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

\( \left| 2-\sqrt \right|=-\left( 2-\sqrt \right)=-2+\sqrt=\sqrt-2\)

\( \left| \sqrt-1 \right|=?\)
\( \left| 3-\sqrt \right|=?\)
\( \left| 2-\sqrt \right|=?\)
\( \left| \sqrt-4 \right|=?\)

\( |a+b\left| \text\le \text \right|a\left| + \right|b|\)

\( \left| \mathbf+\mathbf \right|\text=\text\left| \mathbf \right|\text=\text\mathbf\)

\( \left| \mathbf \right|+\left| \mathbf \right|\text=\text\mathbf+\mathbf\text=\text\mathbf\)

\( \left| -\mathbf+\mathbf \right|\text=\text\left| \mathbf \right|\text=\text\mathbf\)

\( |-\mathbf\left| + \right|\mathbf|\text=\text\mathbf+\mathbf\text=\text\mathbf\)

\( \left| \mathbf+\left( -\mathbf \right) \right|\text=\text\left| -\mathbf \right|\text=\text\mathbf\)

\( \left| \mathbf \right|+\left| -\mathbf \right|\text=\text\mathbf+\mathbf\text=\text\mathbf\)

\( \left| 7x \right|\)

\( \sqrt-3<0\Rightarrow \left| \sqrt-3 \right|=-\left( \sqrt-3 \right)=3-\sqrt;\)

\( \sqrt+1>0\Rightarrow \left| \sqrt+1 \right|=\sqrt+1;\)

\( \left| \sqrt-3 \right|+\left| \sqrt+1 \right|=3-\sqrt+\sqrt+1=4.\)

\( \left| x \right|\ge 0,\text\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0;\)
\( \left| -x \right|=\left| x \right|;\)
\( \left| x\cdot y \right|=\left| x \right|\cdot \left| y \right|;\)
\( \left| \frac \right|=\frac,\text\ne \text;\)
\( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)
\( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|, при \textc>0\)
\( ^>=^>\)

Докажите свойство модуля: \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)

Докажите свойство модуля: \( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|, при \textc>0\)

Упростите выражение \( \left| \frac-\sqrt \right|+\left| \frac-\sqrt \right|\)

Лилия :

Александр Кель :

Лилия :

Александр Кель :

Ольга Карасева :

Александр Кель :

Матвеева Ксения :

Александр Кель :

Pretty :

Александр Кель :

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Правило раскрытия: абсолютная величина любого числа больше или равна нулю:
Если абсолютные значения содержат выражения противоположных значений, они равны:
Значение числа не превышает величину его модуля:
Правило раскрытия при произведении:
Правило, применимое при делении:
При возведении в степень:
Сумма величин:
Двойной модуль:

Модуль числа

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Модуль числа»

Представим себе такую историю…

– Привет, Паша! Чем ты занимаешься? – спросил у друга Саша.

– Я собираюсь разгадать ребус, – ответил Паша. – Давай разгадаем его вместе.

– Давай, – сказал Саша.

– Смотри, – показал ребус другу Паша. – Здесь нарисован перевёрнутый дом и пульт с запятыми.

– А почему дом перевёрнут? – спросил Саша.

– Это означает, что слово «дом» надо читать справа налево, – пояснил Паша. – То есть получаем слово «мод».

– Вторая картинка в ребусе – пульт. Что означают запятые перед и после картинки? – задал вопрос Саша.

– Запятые в ребусе означают, что из названия картинки нам нужно исключить столько букв, сколько стоит запятых, – объяснил Паша.

– Значит, в слове «пульт» мы уберём первую и последнюю буквы, – неуверенно сказал Саша.

– Верно! – отметил Паша. – Мы уберём буквы «п» и «т».

– И у нас останется слово «уль», – подсказал другу Саша.

– А теперь из получившихся слов «мод» и «уль» составим слово «модуль», – сказал Паша.

– А что оно означает? – спросил Саша.

– Не знаю. Давай спросим у Мудряша, – ответил Паша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас можем вернуться к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, давайте на координатной прямой отметим точку А (4) и точку В (). Эти точки имеют разные координаты, но и точка А, и точка В расположены на расстоянии 4 единичных отрезков от начала отсчёта.

Для такого расстояния и придумано название модуль числа. Тогда можно сказать, что числа 4 и имеют одинаковые модули, равные 4. Записывают это вот таким образом: и .

Обратите внимание! Так как расстояние не может быть отрицательным, то и модуль числа не может быть отрицательным.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Модулем числа а называют расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль числа a обозначают так: . И читают: «модуль числа а».

Модуль числа принимает только неотрицательные значения.

– Давайте найдём модули чисел 3; ; ; 0 и 2,5, – предложил Мудряш. – Начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчёта точкой О. А за единичный отрезок возьмём 2 клеточки. Первое число у нас 3. Отметим его на координатной прямой. Расстояние от начала координат до него равно 3 единичным отрезкам, а значит, .

Второе число у нас . Отметим его на координатной прямой. Расстояние от начала координат до него равно единичного отрезка. А значит, .

Затем число . Отметим его. Расстояние до него от начала координат равно 3 единичным отрезкам, то есть .

Следующее число у нас 0. , так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта.

И ещё одно число – 2,5. Отметим его на нашей координатной прямой. Расстояние от начала отсчёта до него равно 2,5 единичным отрезкам, а значит, .

Обратите внимание, что модулями положительных чисел 3 и , а также 0 являются сами эти числа. А вот модулями отрицательных чисел и являются противоположные им числа и 3. Причём модули противоположных чисел 3 и равны.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Модуль неотрицательного числа равен этому числу. То есть , если a – неотрицательное число. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. То есть , если a – отрицательное число. Модули противоположных чисел равны. То есть .

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое: найдите значения выражений:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: в выражении надо найти сумму модуля числа и модуля числа . Найдём: ; . Сумма чисел 71 и 29 равна 100.

В выражении надо вычислить разность модулей чисел 6,5 и . Найдём: ; . Разность чисел 6,5 и 0,8 равна 5,7.

В выражении надо найти частное модуля и модуля 7. Найдём: ; . Частное чисел 6,3 и 7 равно 0,9.

И в последнем выражении надо найти произведение модулей дробей и . Найдём: ; . Запишем произведение этих дробей: . Выполним сокращение числителя и знаменателя на 3 и на 7. И получим .

Второе задание: найдите:

а) положительное число, модуль которого равен 9; 7,1;

б) отрицательное число, модуль которого равен ; 85.

Решение: мы знаем, что . Воспользовавшись этим равенством справа налево, мы можем записать, что , а .

Модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть . Воспользовавшись этим равенством справа налево, можем записать, что одна , а .

Следующее задание: расположите числа в порядке возрастания их модулей.

Решение: сначала нам надо найти модули данных чисел. Итак, ; ; ; ; ; ; ; и .

Нам надо расположить числа в порядке возрастания их модулей. Наименьший модуль имеет число 0. Запишем его первым. Следующее наименьшее значение модуля имеет число 0,15. Записываем его. Далее наименьший модуль у числа . Следующее наименьшее значение имеет модуль . Записываем . Затем записываем число , так как его модуль самый меньший из оставшихся. За ним будет идти . Следующее наименьшее значение модуля имеет число . Записываем его. Далее будет идти 7,14. Самое большое значение модуля имеет число . Записываем его последним.

И последнее задание: решите уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решение: для решения этих уравнений мы воспользуемся известными равенствами: , если a – неотрицательное число; , если a – отрицательное число.

Первое уравнение. Если модуль , то или , так как и .

Второе уравнение: . Решением этого уравнения является , так как только .

И последнее уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

Модуль

Модуль числа — это великая математическая мудрость, которая показывает дружбу и соперничество противоположных знаков: минуса и плюса. О том, что держит число в рамках, узнаем в статье.

Модуль

Мы легко можем найти расстояние от точки до точки, достаточно просто измерить его линейкой. Но можно ли найти расстояние от 0 до любого числа?

Представим, что наш дом находится посередине между школой и магазином. И до школы, и до магазина 500 метров, но они стоят по разные стороны от дома.

Расположим их на координатной прямой. Поскольку и школа, и магазин располагаются на одинаковом расстоянии, то от дома до них мы будем идти 500 метров. Но на координатной прямой до школы мы пройдем −500 метров, поскольку движемся против направления оси, а до магазина 500 метров.

Будет ли являться полученный результат противоречием? Нет, поскольку когда мы ищем расстояние, нам неважно направление движения и знак. В математике существует специальное определение — это модуль, или абсолютная величина.

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат.

Поскольку на координатной прямой мы можем отложить расстояние в две стороны, то такое расстояние можно найти и с отрицательными точками, и с положительными. Расстояние измеряет длину отрезка, то есть оно всегда будет положительно.

Можно сказать, что от любого числа модуль берет только цифры, а на знаки не обращает внимания. Например, |−8| = 8 и |8| = 8.

Может возникнуть вопрос: куда исчезает минус? Чтобы избавиться от минуса, достаточно умножить число на −1: (-8) * (-1) = 8. Значит, модуль просто умножает число на -1.

Отсюда получается, что модулем числа а называют выражение:

Возьмем два случая: a = 8 и a = -8. Для первого получаем |8| = 8, а для второго |-8| = -(-8) = 8, то есть определение выполняется.

Можно ли взять модуль функции? Да. Модулем произвольной функции называют выражение:

Свойства модуля

Модуль, как и все понятия в математике, обладает своими свойствами.

Свойство 1. |a| >= 0.

Как мы уже говорили, модуль всегда будет положительным числом, поскольку он не обращает внимания на знак числа.

Свойство 2. |a| = |-a|.

Это свойство также подтверждает рассуждения выше. Модули противоположных чисел, то есть чисел с разными знаками, равны.

Свойство 3. |a| >= a.

Если число а будет положительным, например, 5, то неравенство |5| >= 5 \(\rightarrow\) 5 >= 5 выполняется, поскольку знак неравенства нестрогий.

Если число а будет отрицательным, например, -5, то неравенство |-5| >= -5 \(\rightarrow\) 5 >= -5 выполняется, поскольку положительное число всегда больше отрицательного.

Свойство 4. |a * b| = |a| * |b|.

Пусть a = 5, b = -2, тогда |5 * (-2) | = |-10| = 10, и |5| * |-2| = 5 * 2 = 10, то есть выражения равны между собой.

Рассуждения такие же, как и в предыдущем свойстве. Пусть a = 10, b = -5, тогда \(|\frac<10><(-5)>| = |-2| = 2 и \frac<|10|> <|-5|>= \frac<10> <5>= 2\).

Свойство 6. |a + b| <= |a| + |b|.

Почему появилось неравенство, а не уравнение, как в предыдущих двух свойствах? Разберем два примера.

Пусть a = 1, b = 2, тогда |1 + 2| = |3| = 3 и |1| + |2| = 1 + 2 = 3 — неравенство выполняется, поскольку знак нестрогий.

Но если a = -1, b = 2, тогда |-1 +2| = |1| = 1 и |-1| + |2| = 1 + 2 = 3, откуда получаем 1 < 3.

Свойство 7. \(\sqrt = |a|\).

Докажем это свойство. Пусть \(\sqrt = x\), тогда x₀, поскольку квадратный «Корень» не может быть отрицательным. Возведем полученное уравнение в квадрат: a 2 = x 2
a 2 — x 2 = 0
(a — x)(a + x) = 0

Из уравнения x = a, из-за ограничений на x получаем a >= 0.

И x = -a, из-за ограничений на x получаем a < 0.

То есть получается выражение модуля.

Свойство 8. |a| 2 = a 2 .

Поскольку и модуль, и квадрат числа дают положительный результат, модуль в квадрате можно заменить просто квадратом числа.

График модуля

Как изобразить функцию с модулем? Для начала разберемся, что делает модуль с графиком функции.

Рассмотрим функцию y = x — это прямая. При этом у может быть и положительным, и отрицательным.

Занесем х под знак модуля: y = |x|. Теперь у может быть только положительным. Что происходит с частью графика, которая лежит ниже оси х? Она зеркально отражается. В итоге мы получаем галочку:

Модуль отражает любой график относительно оси х.

Что будет, если перед х будет стоять коэффициент? Построим графики:

Галочка будет сужаться и расширяться. Причем чем больше коэффициент перед х, тем ýже будет галочка.

Попробуем добавить слагаемое к подмодульному выражению.

График модуля будет двигаться вдоль оси х. Причем:

если мы прибавляем число, то график сдвигается влево;
если мы вычитаем число, то график сдвигается вправо.

Добавим число к модулю, а не подмодульному выражению:

График будет двигаться вдоль оси у.

Для этого достаточно добавить перед модулем минус. Важно, чтобы минус стоял именно перед модулем, а не внутри него. Тогда график будет отзеркален относительно оси х и лежать только ниже нее.

Уравнения с модулем

1. Возьмем уравнение вида |f(x)| = a. Поскольку модуль не может быть отрицательным, то и а не может быть отрицательным. Получаем следующий переход:

Пример 1. Решите уравнение |4x + 5| = 7.

Решение. В уравнении f(x) = 4x + 5, a = 7. Воспользуемся переходом:

Из первого уравнения x = 0,5, а из второго уравнения x = -3.

Ответ: 0,5: -3.

2. В уравнениях и неравенствах можно встретить два разных модуля. Как быть в этом случае?

Шаг 1. Находим нули подмодульных выражений.

Шаг 2. Чертим числовую прямую и ищем знаки на промежутках для каждого модуля. Если подмодульное выражение отрицательно на промежутке, то ставится минус, если положительно — ставится плюс.

Шаг 3. Для каждого промежутка раскрываем модули. Если подмодульное выражение на промежутке отрицательно, то модуль раскрывается со знаком минус. Если положительно — модуль раскрывается со знаком плюс. Важно: полученные корни должны принадлежать промежуткам, на которых раскрывается модуль, иначе они не будут решениями уравнения.

Пример 2. Решите уравнение |x — 2| — |x + 2| = 4x — 5.

Решение. Найдем, в каких точках модули будут равны 0. Для этого подмодульное выражение также должно быть равно 0:

x — 2 = 0 \(\rightarrow\) x = 2
x + 2 = 0 \(\rightarrow\) x = -2

Нарисуем числовую прямую с этими точками:

У нас получилось три промежутка:

(-\(\infty\);-2)
[-2;2)
[2;+\(\infty\))

Обратим внимание, какие знаки имеет первый модуль на промежутках: x — 2 > 0 при x > 2. Следовательно, на первых двух промежутках модуль будет отрицательным, а на третьем положительным. Расставим его знаки красным цветом.

Проанализируем второй модуль: x + 2 > 0 \(\rightarrow\) x>-2. Получается, подмодульное выражение будет положительно на втором и третьем промежутке, и отрицательным на первом промежутке. Расставим его знаки синим цветом.

Теперь мы можем рассмотреть уравнение на всех трех промежутках. Однако для этого обязательно ввести ограничения: полученные точки должны принадлежать только этому промежутку, поскольку на следующем модули будут раскрываться уже по-другому.

2. Рассмотрим первый промежуток: x<-2. Оба модуля раскрываются с отрицательным знаком, и мы получаем следующее уравнение:

-(x — 2) — (-(x + 2)) = 4x — 5
-x + 2 + x + 2 = 4x — 5
4 = 4x — 5
4x = 9
x = 2,25

Точка не удовлетворяет ограничению, поскольку не лежит в промежутке (-\(\infty\);-2):

Рассмотрим второй промежуток: [-2;2). Первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом:

Эта точка лежит в заданном промежутке и является решением уравнения.

Рассмотрим третий промежуток [2;+\(\infty\)). Оба модуля раскрываются со знаком плюс, мы получаем уравнение:

x = 0,25 — эта точка не лежит в промежутке, то есть не является решением уравнения.

Решением уравнения будет только \(x = \frac<5><6>\).

Ответ: \(\frac<5><6>\)

Разбивая прямую на промежутки, может возникнуть вопрос: а что делать с точками, в которых модуль равен 0? Их обязательно нужно проверять. Можно сделать это как отдельно, подставив точки в уравнение, так и сразу включить их в условие раскрытия модуля.

3. Уравнения вида |f(x)| = g(x)

Поскольку вместо функций могут стоять любые выражения, раскрыть модуль можно двумя способами. Выбор одного из них зависит от того, какая функция проще: f(x) или g(x).

Как можно раскрыть модуль?

Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом.
Можно возвести уравнение в квадрат. Но здесь необходимо ввести ограничения на g(x) — поскольку функция равна модулю, она не может быть отрицательной.

Для удобства можно пользоваться следующей схемой:

Пример 3. Решите уравнение |8 — x| = x 2 — 5x + 11.

Решение. Заметим, что подмодульное выражение значительно проще функции справа, в этом случае удобнее будет раскрыть модуль. Получаем совокупность двух систем:

Рассмотрим первую систему.

8 — x >= 0 \(\rightarrow\) x <= 8

Оба корня уравнения удовлетворяют условию x <= 8, значит, решением системы будут 1 и 3.

Рассмотрим вторую систему.

8 — x < 0 \(\rightarrow\) x > 8

8 — x = -x 2 + 5x — 11
x 2 — 6x + 19 = 0
D = 36 — 76 = -40 — при отрицательном дискриминанте решения уравнений нет.

Решением всего уравнения будут x = 1 и x = 3.

Ответ: 1, 3

4. Разберем еще один тип уравнений, когда модуль равен модулю. Неужели придется рассматривать целых 4 случая раскрытия модуля? Нет, достаточно будет возвести в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем следующий переход:

Пример 4. Решите уравнение |x — 2| = |2x + 8|.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся свойством 8.

(x — 2) 2 = (2x + 8) 2
(x — 2) 2 — (2x + 8) 2 = 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

Если произведение множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Тогда:

x — 2 — (2x + 8) = 0 \(\rightarrow\) x — 2 = 2x + 8
x — 2 + (2x + 8) = 0 \(\rightarrow\) x — 2 = -(2x + 8)

Решим первое уравнение совокупности:

x — 2 = 2x + 8
x = -10

Решим второе уравнение совокупности:

Решением уравнения будут x = -10 и x = -2

Ответ: -2, -10

Неравенства с модулем

Разобравшись, как решаются уравнения с модулем, можно приступать к неравенствам.

Пример 5. Решите неравенство x 2 — |3x — 7| + 7 >= 0.

Решение. Найдем, при каких значениях х модуль равен 0. Получаем 3x = 7 \(\rightarrow\) \(x = \frac<7><3>\).

Определим, с какими знаками модуль будет раскрываться на каждом промежутке.

Осталось рассмотреть неравенство на двух промежутках.

1. \(x \leq \frac<7><3>\), тогда
x 2 — (-(3x — 7)) + 7 >= 0
x 2 + 3x — 7 + 7 >= 0
x 2 + 3x >= 0
x(x + 3) >= 0

Решим это неравенство «Методом интервалов». Сразу учтем ограничение \(x \leq \frac<7><3>\).

Получаем, что решением неравенства на заданном промежутке будет \(x \in (-\infty; -3] U[0; \frac<7><3>]\).

2. \(x > \frac<7><3>\), тогда
x 2 — 3x + 7 + 7 >= 0
x 2 — 3x + 14 >= 0
x 2 — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней на заданном отрезке не будет.

Вспомним, что корни квадратного уравнения — это точки пересечения параболы и оси х. Если парабола не пересекает ось х, то неизбежно лежит выше или ниже ее. Поскольку в нашем случае ветви параболы направлены вверх, мы можем нарисовать ее примерный график.

Однако не стоит забывать про ограничение \(x > \frac<7><3>\). Накладывая его, получаем решение \((\frac<7><3>; + \infty)\).

Осталось только объединить полученные на промежутках решения:

Получаем, что \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\)

Рассмотрим неравенства вида |f(x)| > a и |f(x)| < a, где а — некоторое число и a >= 0. Модуль можно раскрыть двумя способами и получить два неравенства. Но будет это совокупность или система?

Это зависит от знака. Разберем случай |f(x)| > a. Заметим, что строгость знака может быть любой. Тогда модуль раскрывается как:

f(x) > a и -f(x) > a \(\rightarrow\) f(x) < -a.

Отметим эти промежутки на числовой прямой:

В ответе должны оказаться оба промежутка — их нужно объединить. В этом случае модуль раскрывается в совокупности.

Рассмотрим случай |f(x)| < a, здесь строгость знака также может быть любой. Раскроем модуль: f(x) < 0 и -f(x) < a \(\rightarrow\) f(x) > -a. На числовой прямой это будет выглядеть следующим образом:

В в ответе должен оказаться промежуток от —а до а. Следовательно, необходимо воспользоваться системой, чтобы “отсечь” лишние промежутки.

Можно ли обойтись в этом случае без раскрытия модуля? Да, но необходимо возвести неравенство в квадрат.

|f(x)| ⋁ a | \(\uparrow\) 2 — вместо ⋁ может стоять любой знак неравенства.
f 2 (x) ⋁ a 2
f 2 (x) — a 2 ⋁ 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

Однако стоит помнить, что обе части неравенства можно возвести в квадрат только в том случае, если они неотрицательны. То есть обязательно должно выполняться условие a0.

Мы получили равносильный переход. Но существуют ли равносильные переходы, если вместо числа а стоит другая функция или даже модуль? Да. Они выводятся таким же способом, как и переход для неравенства с числом. Получаем еще два равносильных перехода:

|f(x)| ⋁ g(x) \(\rightarrow\) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

g(x) обязательно должно быть неотрицательным, чтобы можно было возвести неравенства в квадрат.

|f(x)| ⋁ |g(x)| \(\rightarrow\) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Разберем на примере, как можно использовать равносильный переход. Для этого возьмем то же неравенство, что и в примере 5, но решим его по-другому.

Пример 6. Решите неравенство x 2 — |3x — 7| + 7 >= 0.

Решение. Перенесем модуль в другую часть неравенства:

|3x — 7| <= x 2 + 7. Модуль всегда неотрицателен. Правая часть неравенства неотрицательна, поскольку число в квадрате всегда положительно.

Повторим действия, чтобы прийти к равносильному переходу:

(3x — 7) 2 <= (x 2 +7) 2
(3x-7) 2 — (x 2 + 7) 2 <= 0
(3x — 7 — (x 2 + 7))(3x — 7 + x 2 + 7) <= 0
(3x — 7 — x 2 — 7)(3x + x 2 ) <= 0
(-x 2 + 3x — 14) * x(3 + x) <= 0
-(x 2 — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0
(x 2 — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0

Рассмотрим первую скобку:

D = 9 — 56 = -47 — корней нет. Выражение всегда будет положительно, то есть на него можно разделить все неравенство. Получаем:

Тогда \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\)

Ответ: \(x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)\)

При решении можно сразу использовать равносильный переход, не расписывая его.

Итак, неравенства с модулем можно решить двумя способами: раскрывать модуль и воспользоваться равносильным переходом. Выбор способа зависит от личных предпочтений и удобства решения.

Фактчек

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: |a| = a и |-a| = a.
Модулем числа называют выражение:

График модуля представляет собой “галочку”, которая лежит выше оси х. Модуль отражает график любой функции зеркально оси х так, что значения у всегда больше 0.
Модуль можно раскрыть двумя способами. Этим свойством можно пользоваться при решении уравнений с модулем.
При решении неравенств с модулем можно раскрывать его, либо воспользоваться равносильным переходом, если в неравенстве выполняются все условия для него.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равно выражение |-16 * 2|?

32
−32
−16
16

Задание 2.
Какой график имеет функция y = |x|?

Парабола
Гипербола
Прямая
Галочка

Задание 3.
Решите уравнение |x| = -3.

3
−3
Решений нет
3 и −3

Задание 4.
Решите уравнение |x + 2| = 15.

−13
17
13 и -17
Решений нет

Задание 5.
Какой равносильный переход можно использовать для неравенства вида |f(x) |⋁ |g(x)|?

f(x) ⋁ g(x)
f(x) ⋀ g(x)
f 2 (x) — 2 * f(x) * g(x) + g 2 (x) ⋁ 0
(f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 3 4. — 3 5. — 4

Какое из чисел имеет наименьший модуль? а)0 б)-2 в)4 г)-6

Для решения поставленной задачи воспользуемся общими математическими правилами и формулами выполнения арифметических действий с натуральными числами. Кроме того, для ответа на поставленный в задании вопрос необходимо воспользоваться определением модуля в математической науке. Согласно общего правила модуль отрицательного числа равен самому числу с положительным знаком, модуль положительного числа равен самому числу, модуль 0 равен 0. Используя указанные правила получаем ответ на поставленный вопрос.

Как найти наименьший модуль