Найди треугольники которые вписаны в окружность
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
\[ S = \frac ab \cdot \sin \angle C \]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
\[ h = b \cdot \sin \alpha \]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
Окружность, вписанная в треугольник
Определение окружности, вписанной в треугольник
Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).
 |
Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.
Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.
При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.
Теорема об окружности, вписанной в треугольник
Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.
 |
Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.
Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.
Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
где p = (a+b+c) — полупериметр,
r — радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части С:
где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
1. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите 
.
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен а. Тогда гипотенуза равна а 
.
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
2. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что sin C = . Угол С — тупой. Значит, он равен 150°.
3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
S = ah, где h — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону АВ пополам. По теореме Пифагора найдем h = 32. Тогда R = 25.
В Банке заданий ФИПИ (сайт mathege.ru) совсем немного задач, в которых участвуют вписанные и описанные треугольники. Но эти задачи необходимы тем, кто нацелен на решения задания С4.
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Пусть угол А равен 82°. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58°, то угол D равен 180° — 58° = 122°.
2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.
Пусть сторона АВ равна х, AD равна 2х, а DС — 3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит, х + 3х = ВС + 2х. Получается, что ВС равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х = 4, а большая сторона равна 12.
3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны — b и d. По свойству описанного четырехугольника, a + c = b + d, и значит, периметр равен 2(a + c). Получаем, что а + с = 20, а средняя линия равна 10.
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180°.
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто нацелен на решение части С.
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен 60 градусов. Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна а.
Высота правильного треугольника: Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: . Радиус описанной окружности в два раза больше: . Площадь правильного треугольника: .
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части С — докажите их самостоятельно.
1. Сторона правильного треугольника равна 
. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
3. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .
Правильный шестиугольник
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник? Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
, где а — сторона правильного шестиугольника.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти. Он равен . Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Радиус такой окружности равен .
2. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.
Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.
Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.
Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.
Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.
Теорема 4.
Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.
Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле:
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Напомним определение правильного многоугольника:
Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.
Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.
Теорема 6.
Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен
А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
Докажем эту теорему.
У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.
Пусть в правильном треугольнике стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда
Из треугольника АВН получаем, что длина стороны
Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника —
Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник
Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.
Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.
Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.
Длина стороны равностороннего треугольника равна
Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:
где — сторона треугольника.
Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.
Вот две полезные формулы для площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов: 
Теорема синусов:
R — радиус описанной окружности
Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.
Выразим площадь треугольника двумя разными способами:
где – полупериметр треугольника, a – его стороны.
Тогда , а диаметр окружности равен
Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что .
В ответ запишем .
Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике сторона равна , а угол равен . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
По теореме синусов
Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике угол А равен , а угол В – . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если сторона равна 10.
Зная, что сумма углов треугольника равна , найдем угол С.
По теореме синусов
Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем .
Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.
Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .
находится по теореме Пифагора из треугольника :
Периметр треугольника – это сумма длин сторон, т.е.
Радиус вписанной окружности r найдем по формуле
Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника равны 6 и соответственно, угол . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника .
Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :
Теперь воспользуемся теоремой синусов:
Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника , равен 6.
Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.
Пусть длина радиуса описанной окружности , а длина радиуса вписанной окружности
Мы знаем, что , где – полупериметр, – стороны треугольника.
Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.
Пусть радиус вписанной окружности , а гипотенуза
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике
Площадь находится по формуле где – полупериметр, – стороны треугольника.
Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.
Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника окружность в точке Р.
б) Найдите площадь треугольника , если радиус окружности, описанной около треугольника равен 10,
а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов и соответственно, и
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
Тогда
– внешний угол треугольника , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.
Значит, Что и требовалось доказать.
б) , следовательно, треугольник – равнобедренный, – основание,
Угол равен , значит,
По теореме синусов для треугольника :
Тогда отрезок равен отрезку , т.е. .
Найдем угол С из треугольника :
как вписанные углы, опирающиеся на дугу .
Площадь треугольника находится по формуле:
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
01. Описанная окружность
Задача 1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны основание равно Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Воспользуемся следующей формулой:
Площадь будем искать по формуле Герона:
Задача 2. Сторона треугольника равна Противолежащий ей угол равен ˚. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Согласно т. Синусов
Задача 3. Угол треугольника вписанного в окружность радиуса равен ˚. Найдите сторону этого треугольника.
Угол равен (ведь он соответствующий для вписанного угла , равного 30˚) и при этом как радиусы. Следовательно, треугольник – равносторонний.
Задача 4. В треугольнике , угол равен °. Радиус описанной окружности этого треугольника равен Найдите
В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,
По теореме Пифагора
Задача 5. В треугольнике угол равен °, Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,
По теореме Пифагора
Задача 6. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника.
Задача 7. Сторона правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Задача 8. Высота правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Высоты правильного треугольника – медианы.
Медианы в точке пересечения (как раз центр описанной окружности) делятся в отношении считая от вершины.
Задача 9. Точки расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как Найдите больший угол треугольника Ответ дайте в градусах.
Так как дуги относятся друг к другу как то пусть дуга градусов, дуга градусов, градусов.
Наконец, так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, то
Задача 10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна угол при вершине, противолежащей основанию, равен °. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
значит на дугу (большую) приходится Тогда на дугу остается Стало быть, центральный угол опирающийся на дугу равен
Равные хорды отсекают равные дуги, поэтому
Выходит, что треугольник – равнобедренный с углом Значит он равносторонний,
Задача 11. Одна сторона треугольника равна радиус описанной окружности равен Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
( – острый по условию).
Задача 12. Угол четырехугольника вписанного в окружность, равен ˚. Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Вписанный в окружность угол опирается на дугу , значит дуга по свойству вписанного угла.
Дуга , дополняющая дугу до окружности, равна то есть
Задача 13. Стороны четырехугольника и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно ˚, ˚, ˚, ˚. Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол опирается на дугу
Задача 14. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны ˚ и Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть ˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).
Угол и есть наибольший.
Задача 15. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол четырехугольника Ответ дайте в градусах.
Так как градусные меры дуг и относятся соответственно как то пусть
Дуги в сумме составляют
Угол опирается на дугу значит
Задача 16. Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен ˚ . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
, значит дуга равна .
, значит дуга равна .
Задача 17. Периметр правильного шестиугольника равен Найдите диаметр описанной окружности.
Рассмотрим треугольник . Он равносторонний, т.к. и
Задача 18. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен ˚. Найдите
Рассмотрим треугольник .
Он равнобедренный, так как
Таких равных равнобедренных треугольников у нас штук, в сумме углы при вершине этих треугольников дают .˚
Задача 19. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и .
Задача 20. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .
Диагональ квадрата – диаметр окружности.
Обозначим сторону квадрата за .
Из треугольника по т. Пифагора
Задача 21. Меньшая сторона прямоугольника равна Угол между диагоналями равен ˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.
Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.
Треугольник – равносторонний, так как
Задача 22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен средняя линия равна Найдите боковую сторону трапеции.
Средняя линия трапеции есть полусумма оснований , при этом .
Задача 23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен ˚, большее основание равно Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная.
, (где – основания высот, опущенных к большему основанию).
Из прямоугольного треугольника с углом в 30˚ по свойству катета против угла в 30˚.
Окружность описана и вокруг треугольника .
Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚.
где – радиус окружности, описанной около треугольника (и около трапеции ).
Задача 24. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Длина высоты трапеции есть сумма длин высот треугольников и .
По т. Пифагора из треугольника
По т. Пифагора из треугольника
Задача 25. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника , если стороны квадратных клеток равны
Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника.
Задача 26. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника , если стороны квадратных клеток равны 1.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – середина гипотенузы. Радиус описаной окружности равен половине гипотенузы.
Задача 27. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 
Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна . Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть
Задача 28. Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
Треугольники и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности.
Из прямоугольного треугольника , (где , – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник):
