Когда напряженность поля равна нулю

Понимая под напряженностью $\vec = — grad \phi$ меру скорости спада потенциала $\phi$, можно сказать, что равенство нулю $\vec$ в какой-нибудь точке поля означает, что в окрестности этой точки потенциал постоянен. В частности, так как при $E=0$ разность потенциалов $\phi_ <2>— \phi_ <1>= 0$ и, следовательно, $\phi_ <2>= \phi_<1>$, то формально математически мы можем принять последнее равенство за тождество и положить $\phi_ <2>= \phi_ <1>= 0$. Однако определенный физический смысл остается все же лишь за разностью потенциалов.

Kvant. Теорема электростатики

Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Попытаемся установить связь между числом силовых линий N и зарядом q, создающим электрическое поле. Для этого введем понятие потока электрического поля.

Потоком электрического поля через некоторую поверхность будем называть произведение ES, где S — площадь поверхности, а Е — модуль вектора напряженности электрического поля, перпендикулярного этой поверхности. [1] (Понятие «поток» здесь введено по аналогии с потоком жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы площадью S в единицу времени, который, как известно, равен υS («Физика 8», §65).)

Начнем с простейшего случая — одного точечного заряда. Картина силовых линий поля, созданного положительным точечным зарядом q, изображена на рисунке 1. Рассмотрим сферу радиуса r, центром которой служит сам заряд q, и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии, выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы, модуль напряженности поля равен

где ε₀ = 8,85·10 -12 Кл 2 /(Н·м 2 )— электрическая постоянная. Но 4πr 2 — это площадь поверхности сферы. Обозначив ее через S, получим:

Отсюда видно, что поток через поверхность сферы электрического поля, созданного точечным зарядом, не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда q. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что и число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым.

Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:

\frac NS\), представляющее собой число силовых линий, пересекающих единицу площади поверхности, перпендикулярной (ортогональной) силовым линиям, называют густотой силовых линий. Ясно, что она характеризует величину напряженности поля в данном месте.

Можно показать, что поток электрического поля, а значит и число силовых линий, равняется \(

\frac<\varepsilon_0>\) не только для поля одного точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности — заряженным телом. Тогда в формуле (3) q означает алгебраическую сумму всей совокупности зарядов. Мало того, если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля, а следовательно и число силовых линий, пересекающих ее, не изменится.

Утверждение, что поток электрического поля и число силовых линий через замкнутую поверхность, внутри которой находится система зарядов, равняется \(

\frac<\varepsilon_0>\), где q — алгебраическая сумма зарядов, называется теоремой Гаусса.

Воспользуемся теоремой Гаусса для решения некоторых конкретных задач электростатики.

Чему равна напряженность электростатического поля внутри проводника?

Известно, что проводник — это такое тело, в котором имеются свободные заряды. Эти заряды действительно свободно могут перемещаться по всему объему проводника. Единственным препятствием для их передвижения служит поверхность проводника, которую они сами покинуть не могут.

Рассмотрим изолированный проводник, которому сообщен электрический заряд. Вокруг такого проводника, конечно, создается электростатическое поле. Докажем, что внутри заряженного проводника электростатическое поле отсутствует, то есть напряженность поля равна нулю.

Как известно, в незаряженном проводнике отрицательный заряд всех электронов точно сбалансирован положительным зарядом всех протонов, и их суммарный заряд равен нулю. Но если проводник заряжен, то баланс зарядов нарушается. В проводнике создается избыток свободных электронов, если он заряжен отрицательно, или избыток протонов (недостаток электронов), если он заряжен положительно. В первом случае, взаимно отталкиваясь, избыточные электроны разойдутся друг от друга на максимально возможные расстояния, вследствие чего они расположатся на поверхности проводника (которую покинуть не могут). Внутри же проводника баланс зарядов восстановится, и там суммарный заряд снова станет равным нулю.

Во втором случае, наоборот, часть электронов с поверхности проводника, вследствие сил притяжения к положительным зарядам, устремится внутрь проводника и сбалансирует избыточные положительные заряды. Суммарный заряд внутри проводника снова станет равным нулю, а избыточный положительный заряд сосредоточится на его поверхности.

Выходит, что заряд любого знака, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности. Внутри же проводника, то есть внутри замкнутой поверхности, которой в данном случае служит поверхность самого проводника, заряд ранен нулю (q = 0). Но тогда из теоремы Гаусса следует, что

то есть внутри проводника поля нет.

Как направлены силовые линии у поверхности заряженного проводника?

На любой свободный электрон, находящийся на поверхности заряженного проводника, действуют силы со стороны остальных зарядов поверхности (в объеме проводника сумма положительных и отрицательных зарядов равна нулю). Имея возможность свободно перемещаться по поверхности, электроны сами расположатся так, чтобы результирующая сила, действующая на каждый из них вдоль поверхности, стала равной нулю. Это означает, что проекция напряженности поля на направление касательной к поверхности проводника в любой ее точке равна нулю. А это возможно только при условии, что силовые линии поля направлены перпендикулярно поверхности заряженного проводника (рис. 2).

Какова напряженность поля, созданного заряженной плоскостью?

На рисунке 3 изображен участок заряженной проводящей плоскости с площадью S, на который приходится заряд q.

Мы знаем, что силовые линии поля, созданного этой плоскостью, всюду перпендикулярны к ней. А чему равняется модуль напряженности электрического поля?

Окружим выбранный участок плоскости замкнутой поверхностью, через которую силовые линии проходят под прямым углом к ней. Для плоскости такой поверхностью служит, например, прямоугольный параллелепипед с основаниями, параллельными плоскости. Силовые линии поля перпендикулярны только этим основаниям, остальные четыре грани параллелепипеда параллельны силовым линиям. Площадь обоих оснований равна 2S.

Из теоремы Гаусса следует, что

Эта формула приведена в §45 «Физики 9» без вывода. Из формулы видно, что напряженность поля в любой его точке не зависит от расстояния до заряженной плоскости. Такое поле называют однородным.

Чему равна напряженность поля заряженного проводящего шара?

Поскольку шар проводящий, силовые линии поля всюду направлены перпендикулярно его поверхности, то есть по радиусам (рис. 4). Найдем модуль напряженности поля в любой точке М, находящейся на расстоянии R от центра шара. Проведем через эту точку замкнутую поверхность, ортогональную силовым линиям поля. Такой поверхностью служит сфера радиуса R и площадью 4πR 2 , концентрическая поверхности проводящего шара.

По теореме Гаусса \(

— заряженный шар создает вокруг себя такое же поле, как точечный заряд, помещенный в центре шара (см. рис. 4).

5. Проводники в электростатическом поле (примеры решения задач) Напряженность поля внутри проводника равна нулю

В однородное электрическое поле перпендикулярно силовым линиям внесли тонкую заряженную металлическую пластину. При этом на поверхности пластины, в которую «входят» силовые линии, плотность заряда оказалась равной₁. Найдите поверхностную плотность заряда на другой поверхности пластины.

Рассмотрим произвольную точку Aвнутри проводника (рис. 1). Поле в этой точке складывается из внешнего поляи полей поверхностных зарядов₁и₂:

.

Изобразим на рисунке векторы напряженности ,и, предполагая, чтоиУчитывая, что напряженность поля в проводнике равна нулю, запишем для проекций векторов напряженности на осьx:

.

Поля исозданы бесконечными однородно заряженными плоскостями, следовательно

,.

После простых преобразований получим

.

Если знак поверхностных зарядов не известен (как в данном случае), всегда можно изображать на рисунке векторы ,, предполагая, что₁и₂положительны. Нетрудно показать, что полученные формулы будут справедливы и для произвольных знаков₁и₂.

Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы r₁, r₂ и заряды q, –2q. Найдите поверхностные плотности заряда ____на внутренней и внешней поверхностях каждой сферы (рис. 2).

Внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю. Рассмотрим некоторую точку, расположенную внутри «стенки» внешней сферы на расстоянии rот центра сфер. Электрическое поле в этой точке создают только те заряды, которые расположены внутри сферической поверхности радиусаr, то есть заряды с плотностями₁,₂и₃. Следовательно:

,

где ,— площади поверхности сфер. Аналогично, рассматривая точку, расположенную внутри «стенки» внутренней сферы, получим

.

Учтем также, что

,

.

В результате получим: ,,.

Потенциал во всех точках проводника одинаков

Два металлических шара, радиусы которых r₁ и r₂, расположены на большом расстоянии друг от друга и соединены тонкой проволокой. Суммарный заряд шаров Q. Определите заряд каждого шара.

Обозначим заряды шаров q₁иq₂. Поскольку шары расположены далеко друг от друга, можно считать, что заряды распределены по поверхностям шаров однородно. Тогда для потенциалов шаров можно записать

,.

Эти потенциалы равны друг другу, так как шары соединены проводником:

.

,

,.

Имеются две концентрические металлические сферы, в центре которых находится точечный заряд q. Заряд меньшей сферы 3q, заряд больше сферы (–2q). Определите заряд каждой сферы после того, как их соединят тонкой проволокой.

После соединения сфер заряды распределятся так, что потенциалы сфер будут одинаковыми:

,

где Q₁иR₁– заряд и радиус внутренней сферы,Q₂иR₂– заряд и радиус внешней сферы. Из этого уравнения следует. Суммарный заряд сфер после их соединения не изменился:

.

Следовательно, .

Найдите потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии l от ее центра находится точечный заряд q . Потенциал в бесконечно удаленной точке, как обычно, считайте равным нулю.

На поверхности проводящей сферы индуцируются заряды , распределенные по поверхности так, что напряженность электрического поля внутри сферы равна нулю. При этом потенциалы во всех точках, расположенных внутри и на поверхности проводящей сферы, одинаковые. Найдем потенциал в центре сферы:

,

где R– радиус сферы. Суммарный заряд сферы равен нулю:, поэтому.