Как сделать единичную матрицу

Формирование единичной матрицы

Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу с единичными значениями элементов главной диагонали и нулевыми значениями всех остальных элементов. Например, матрица размером 4*4 имеет значения элементов

Алгоритм формирования единичной матрицы выполняется в два шага. Сначала формируется нулевая матрица, ведь наибольшее количество элементов – это элементы с нулевыми значениями. Далее в главную диагональ нулевой матрицы записываются значения, равные 1. Рассмотрим текст программы формирования единичной матрицы.

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

//Программа табуляции функции 5*sin(x) от 0град. с шагом 15град

const int n_Max = 20; //Предельный размер квадратной матрицы

float b[n_Max][n_Max]; //Сам массив b

int n; //Текущий предельный размер массива матрицы

setlocale( LC_ALL, «russian» ); // установка русского режима

printf(«Программа формирования единичной матрицы\n»);

printf(«Введите количество строк квадратной матрицы\n»);

scanf(«%d»,&n); //n теперь определено

//обнуление всех элементов массива b

//Задание j – номеров строк обнуляемых элементов массива

for (int j = 0; j<n; j++)

//Задание i – номеров столбцов строки j элементов массива

for (int i = 0; i<n; i++)

//Формирование единичной диагонали

//Задание j – номеров строк и столбцов единичных элементов

for (int j = 0; j<n; j++)

//Печать единичной матрицы

printf(«Значения элементов единичной матрицы:\n»);

//Задание j – номеров строк распечатываемых элементов массива

for (int j = 0; j<n; j++)

//Задание i – номеров столбцов строки j элементов массива

for (int i = 0; i<n; i++)

//Завершение выполнения программы

printf(«\nНажмите любую клавишу\n»);

Формирование единичных элементов главной диагонали осуществляется одним циклом, поскольку номера строк и столбцов элементов главной диагонали совпадают:

Табуляция функции в массив

Наконец, проанализируем готовую программу табуляции функции 5*sin(х) от 0 о с шагом 30 о в одномерный массив записей.

Единичная матрица

Единичная матрица — это квадратная матрица, расположенные элементы которой по главной диагонали равны единице, а оставшиеся равны нулю. Обозначается символом $ E $.

Общая формула единичной матрицы имеет вид: $$ E = \begin 1&0&0&\text<. >&0 \\ 0&1&0&\text<. >&0 \\ 0&0&1&\text<. >&0 \\ \text<. >&\text<. >&\text<. >&\text<. >&\text <. >\\ 0&0&0&\text<. >&1 \end $$

Свойства

1. При умножении матрицы на единичную матрицу получается та же самая матрица:
   $$ A \cdot E = E \cdot A = A $$
2. Любая квадратная матрица в нулевой степени равна единичной матрице:
   $$ A^0 = E $$
3. При умножении матрицы на обратную её матрицу получается единичная матрица:
   $$ A \cdot A^ <-1>= E $$
4. При умножении матрицы на транспонированную к ней матрицу получается единичная матрица:
   $$ A \cdot A^T = E $$
5. Определитель единичной матрицы $ E $ равен единице:
   $$ \Delta = \det E = 1 $$

Свойства единичной матрицы подразумеваются для квадратных матриц.

Примеры

По определению единичная матрица является квадратной, главная диагональ заполнена единицами, а остальные элементы равны нулю:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Единичная матрица

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице , называется единичной матрицей и обозначается символом .

Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

В матричной алгебре матрица играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно — при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

(2)

Действительно, пусть — произвольная матрица размера. Рассмотрим -ый элемент матричного произведения АЕ, где Е — единичная матрица -го порядка.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов , следовательно, АЕ = А.

Рассмотрим теперь -ый элемент матричного произведения ЕА. где Е — единичная матрица -го порядка.

Умножение матрицы на единичную матрицу дает ту же матрицу.

Примеры с решением

Пример 1

диагональная матрица второго порядка,

диагональная матрица третьего порядка.

Определение Если у диагональной матрицы alt=»Единичная матрица» />-го порядка Е все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей alt=»Единичная матрица» />-го порядка.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2

— единичная матрица третьего порядка.

Определение Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю: В отличие от чисел, где число 0 единственно, нулевых матриц бесконечно много, т. к. каждому размеру матриц соответствует нулевая матрица этого размера.

Нетрудно убедиться, что при умножении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел: единичная матрица -го порядка перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

Чтобы доказать это, введем обозначения: АЕ = F, ЕА = G. Используя правило умножения матриц и определение единичной матрицы

(2.13)

находим, что для всех

Определение Под нулевой степенью квадратной матрицы А понимается единичная матрица того же порядка что и А, т. е. .. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение матриц, равных А, т. е.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a₁₁, a₂₂ . a_nn образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы a_ii ( i=1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a_1n, a_2n-1 . a_n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(A T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство: