Сколько проходят матанализ в вузах

Как я матан сдавал ⁠ ⁠

Прочитал пост http://pikabu.ru/story/_3500000#comments и вспомнилось мне как я сдавал матан в свой самый первый семестр.

В начале первого семестра пришлось мне пропустить несколько лекций и практик по вышке по семейным обстоятельствам. В результате невзлюбила меня математичка очень сильно. К тому же в понедельник первой парой были упры по вышке, а второй — лекция. Ну и я частенько с дикого похмелья приходил на занятия.

Но вот настала пора экзаменов. Как я сдал зачёт по вышке с первого раза — отдельная история. Но к экзаменам допустился вовремя. Разница между экзаменами была неделя. Один из них был автоматом, а следующим за ним был как раз экзамен по вышке. Таким образом я имел две недели на подготовку.

Я взял список экзаменационных вопросов, купил в книжном магазине учебник Натансона: в нём, в отличие от выданного, очень доступно всё излагалось.

Две недели я жил в режиме:
— Проснулся с утра
— Умылся
— Позавтракал
— Учу тему.
— Пообедал
— Учу
— Поужинал
— Учу
— Сон

И вот настал день икс. Я пришёл на экзамен, получил билет и засиял улыбкой. Я был готов буквально по каждому вопросу.

— Идите готовьтесь, — сказала преподавательница и дала пару листков.
Сейчас, анализируя произошедшее, я могу сказать, что допустил в тот момент наиогромнейшую ошибку: я взял листки, пошёл и написал на них всё что знал. Скорее всего это послужило сигналом для преподавателя, что я всё списал.
И вот, я сажусь отвечать, а она начинает меня валить дополнительными вопросами. Но я то готов! Я две недели учил эту грёбаную вышку! Я отвечал буквально на все вопросы. Вопросы сыпались как из рога изобилия, они уже не касались темы, но я не сдавался.

-Ну хорошо, — сказала в конце преподаватель, — Я вижу вы занимались с репетитором.
— Нет, — ответил я.
— Ну как же, — вы так хорошо отвечаете на вопросы, знаете материал.
— Я учил по учебникам.
— Какие-то неважные у вас учебники, — скривила рожу преподаватель, — ТРИ!

Мне везло на такие экзамены.

2й курс. Материаловедение. Несколько дней готовился. Пришел — и возрадовался, ибо знал оба вопроса. Сел, за 10 мин все написал и пошел сдаваться. Препод провели, сказал, что все правильно, но попросил присесть в сторонке. После этого он выгнал(!) всех в коридор, сказав сдавать листки (я никогда не забуду этих физионимй, выходящих в коридор).

В итоге он проверил все листки и начал по одному зазывать, задавая вопросы по билетам. Народ, естественно, все подучил в коридоре, и каждый отсдавался, в среднем, на 4.

Пришли очередь ко мне. К слову, экзамен начался в 14:00, до меня очередь дошла около 15:30. И он начал:

— Так-с, значит, вы на пять претендуете?

— Я претендую на то, что заслуживаю.

— Ну-с, понеслась тогда.

Далее 6 часов вопросов. Из 58 мы дошли до последней трети: что-то я отвечал, что-то нет (материал огромный был). В итоге, время уже около 22:00, препод замыленный (как и я) сидит, ухвативших за голову:

— Что же вам поставить-то?

— В смысле? Оценку.

— Так я понимаю. Какую? Не подымается у меня рука вам четыре ставить. Может, вы на пересдачу придете? (ПЕРЕСДАЧА, КАРЛ! после 7 часов экзамена!)

— Мы итак с вами долго уже сидим. Не хотелось бы переносить.

— Да-да-да, это все нервы, нервы, нервы

И начал ходить кругами по аудитории

— Ладно, вот вам вопрос не по билетам, но в курсе бывший. Отвечаете — четыре. Нет — три или пересдача.

Задал вопрос про тефлон (до сих пор помню), который я ему отчитал от и до, и отпустил с четверкой.

Про то, как я за одногруппников сдавал вышку с их зачеткам, как ругался с преподом по экологии, как болтал за жизнь с фиолософией (из-за чего полгруппы тупо не добрались до препода) и тд — про это можно посты отдельные пилить.

— Ну как же, — вы так хорошо отвечаете на вопросы, знаете материал.

— Какие-то неважные у вас учебники, — скривила рожу преподаватель, — ТРИ!

на этом история заканчивается? или вы все же пытались оспорить оценку?

как правило я отвечал хорошо встретимся на комиссии

@Dukedoc, Простите, а это законно? Если Вы ответили на все поставленные вопросы — по какому поводу Вам занизили оценку?

Что если перед ответом на стол положить диктофон и уведомить преподавателя, что Вы желаете «копию на память»? 😀

Это слово вы вряд ли сразу переведёте правильно — WHEREABOUTS⁠ ⁠

Оказывается оно переводится как «местоположение, местонахождение»

His whereabouts are still unknown — Его местоположение всё ещё неизвестно

Забавная история из жизни принца Чарльза⁠ ⁠

Во время обучения в Кембридже с принцем Чарльзом произошла интересная ситуация. На все занятия с ним ходил его телохранитель, который также участвовал в дискуссиях и обсуждениях вопросов. В конце учебы преподаватели предложили ему сдать экзамен. В итоге он набрал больше балом, чем сам принц и получил диплом.

Школьная «Программа»⁠ ⁠

Как сказать "клевать носом" на английском?⁠ ⁠

И вновь мы знакомимся с фразовыми глаголами и пополняем свой словарный запас.

Как уже упоминалось, гораздо эффективнее учить фразовые глаголы не по принципу глагол+все сочетания с ним, а разные глаголы+один предлог/наречие.

В этой статье вы узнаете 7 фразовых глаголов с предлогом OFF, которые очень распространены в речи, но значения которых вам могло быть ещё не знакомо.

1️⃣ Call off [kɔːl ɒf] — отменить, прекратить, отозвать

The game was called off — Игру отменили

They called off the party after half of those invited couldn’t make it — Вечернику отменили после того, как оказалось, что половина приглашённых не сможет на ней присутствовать

Rescuers had to call off the search because of worsening weather conditions — Спасателям пришлось прекратить поиски из-за ухудшающихся погодных условий

Many people put off going to the dentist because they don’t want to deal with the pain — Много людей откладывают поход к стоматологу, потому что они не хотят испытывать (досл. иметь дело с) боль

Never put off till tomorrow what you can do today — Никогда не откладывай на завтра то, что можешь сделать сегодня

I must talk to her about this, I can’t put it off any longer — Я должен поговорить с ней об этом, я не могу больше откладывать

3️⃣ Live off [lɪv ɒf] — зависеть (финансово) от

Можно перевести как «висеть на шее».

All his life he had lived off his father — Всю свою жизнь он висел на шее (досл. зависел от) своего отца

Most people in the countryside live off the land (=live by growing or finding their own food) — Большинство сельских жителей живёт за счет земли (т.е. живут, выращивая или находя свои собственные продукты питания)

Mom used to live off the interest from her savings — Мама жила на проценты от её сбережений

4️⃣ Pull off [pʊl ɒf] — завершить, невзирая на трудности; провернуть

I can’t believe they were able to pull off such a big party in spite of the rain — Я не могу поверить что они были способны устроить такую вечеринку, несмотря на дождь

He knew Jack was the only person to pull off a plan like this — Он знал, что Джек — единственный, кто способен провернуть такой план

You can’t pull off a stunt like that — Вы не можете провернуть трюк вроде этого

I guess all that suffering Meg endured paid off — Мне кажется, все страдания, которые претерпела Мэг, окупились

All her hard work paid off in the end, and she finally passed the exam — Весь её усердный труд в итоге окупился, и она наконец-то сдала экзамен

You may be happy to know that your research will pay off — Вы будете рады узнать, что ваши исследования окупятся

She only bought that sports car to show off and prove she could afford one — Она купила этот спорткар только для того, чтобы похвастаться и доказать, что она может её себе позволить

He’s always showing off to his classmates — Он всегда хвастается перед одноклассниками

She just wants to show off her new jewelry — Она просто хочет похвастаться своим новым украшением

7️⃣ Doze off [doʊz ɔf] / Nod off [nɑd ɔf] — задремать, клевать носом

Don’t let me doze off — Не давайте мне задремать

He dozed off during the film — Он задремал во время фильма

Pay attention, don’t nod off! — Слушай внимательно, не клюй носом!

I must have nodded off after lunch — Я, должно быть, задремал после обеда

Читайте и другие мои посты в телеграм-канале

Ответ на пост «Ответ на пост "Самый большой облом в детстве"»⁠ ⁠

Хотел комментом оставить под оригинальным постом, но простыня получилась.

Любимая присказка в ВУЗах: «экзамен — это разговор умного с идиотом». Эту присказку регулярно рассказывают друг другу как студенты, так и педагоги. Очевидно, что каждый считает умным себя, а идиотом — оппонента на экзамене.

А есть другая присказка. Или может это анекдот такой несмешной. «Не спорьте с идиотом, он до вашего уровня не поднимется, а вы до уровня идиота опуститеть, а на своем уровне идиот вас завалит опытом».

В сумме из этих двух выражений следует, что экзамен — это разговор двух идиотов. По крайней мере большую часть времени.

Пока я ещё сам экзамены сдавал, я заметил за собой, что с каждым годом я с преподавателями общаюсь все более простыми словами и оборотами. Ярче всего помню, как на выпускном сочинении смотрел на текст, думал, кто его будет читать и в итоге зачеркнул «умер от переохлаждения» и написал «умер от мороза». Мало ли какой твердолобый проверяющий попадется. Относись к преподавателю, как к идиоту, тебе же проще будет. Один из 20 преподавателей может и умный, но проще ко всем одинаково относиться.

Потом ситуация поменялась и я сам начал принимать экзамены. Большая часть студентов приходит с намерением как-нибудь отбрехаться и получить свою 3, чтобы на пересдачу не идти. Накрайняк, студент может хотеть получить 4, чтобы со стипузи не слететь. Или ещё хуже, отличник и зубрила, который текст из учебника даже своими словами пересказать не может, только цитировать. Кстати, на моей практике парней-зубрил больше. И вот пытаешься у таких спрашивать что-то по интересным аспектам темы, по современному состоянию, по применениям, может кто что-то сам делал своими руками, связанное с темой экзамена. А в ответ студент молчит, как рыба об лёд. И начинаешь его спрашивать как идиота, с самых основ и на пальцах. И вот в таком случае студент хоть что-то ответит.

И на двадцатом студенте понимаешь, что уже и не ждёшь кого-то умного. Ждёшь идиота, приходит идиот. Да и если приходит умный, все равно как к идиоту относишься. Один из 20 студентов может и умный, но проще ко всем одинаково относиться.

Круг замкнулся. Экзамен — это разговор двух идиотов. Разговор двух умных людей — это посиделки под коньяк на кухне в три часа ночи.

Вы были единственным, кто это знал!⁠ ⁠

Недавно в одной дискуссии прозвучало из уст крупного учёного-физика, что настоящий физик, если он честный человек, затруднится ответить на вопросы типа: что такое энтропия, поле, спин ну или, допустим, квантовая запутанность. Зато любой любитель наук, подкованный в Википедии и закалённый в срачах на интернет-помойках, без запинки и с апломбом снисходительно оттарабанит ответ на любой из этих вопросов одним духом. И кто-то проиллюстрировал эту точку зрения такой историей: Английский физик Джозеф Томсон как-то спросил у студента на экзамене: «Что такое электрон? » Студент стал юлить и выкручиваться: «Понимаете, профессор, я знал, но забыл. » Томсон схватил его за грудки и принялся кричать: «Как вы смели это забыть?! Вы были единственным, кто это знал! «

Ответ DmitryAnshakov в «Получается, они сами себя метят»⁠ ⁠

Да! В школе по черчению мне ставили 4, когда другим ставили 5. Я подруге начертил тяп-ляп в последнюю ночь перед сдачей, а себе заранее относительно старательно — ей 5, мне 4. Причем я был у учительницы изо/черчения любимчиком с 4 класса — мои рисунки висели на стенках по этажу. Но «ты можешь лучше». И в аттестате одна из немногих четверок.

Физику учил 3 года в ЗФТШ при МФТИ, в 11 классе первое место на районной олимпиаде, обещание физика поставить 5 в году без экзамена — в результате 3 в последнем полугодии, 4 в аттестате. И потом надпись от физика на выпускной ленте: «Будущему Эйнштейну». Ага, как же, в институте на физику вообще забил.

И снова Да. На 3 курсе я явился сдавать макроэкономику без подготовки. По моим ощущениям, я наболтал на 4, а преподавательница меня выгнала на пересдачу. На пересдаче я все равно получил 4. И только на принципиальной повторной пересдаче додавил и получил 5.

А потом другая дама вела экономику предприятия. Я полностью прогулял 8-й семестр, включая сессию (чуть не выгнали — а в итоге на пересдачах получил единственный раз все «отлично»). Пришел на пересдачу с параллельной группой, решил все задачи, но не рассказал ни одну классификацию — и она таки мне поставила 5, лишь бы я на следующий день со своей группой не явился ей мозг выносить!

Тем более в 9-м семестре опять у нее был предмет — и на письменном экзамене она поставила мне 4 (там вообще случайная случайность — у меня были чужие конспекты, я честно с них все списал, но мне по закону подлости достался вопрос, который она сама же не успела закончить на лекции — но формально мой косяк, раз не все написал). Она буквально сумела от меня сбежать после экзамена, чтобы я не пытался опротестовать. В итоге «хорошо» так и осталась.

Простите, не ожидал, что получится многабукав. А то про пересдачи еще много историй можно вспомнить.

Ответ на пост «Что тут непонятного?»⁠ ⁠

История произошла давно и вообще полный вымысел. Начало 3-го курса одного технического ВУЗа. Первая лекция по какому-то очередному новому, не особо важному, предмету. Заходит ранее не известный нам препод и сходу начинает на доске выводить какие-то формулы, подставлять в них странные значения, пытаясь аргументировать подстановку именно этих значений и постоянно повторял, что не усвоив эти основы мы ну никак не сдадим зачет по этому предмету. Мы, ошарашенно, пытаемся успеть переписать всё что он пишет на доске, при этом по глазам одногруппников видно, что вообще никто не понимает что происходит. Формулы между собой абсолютно никак не связаны. Так продолжалось всю лекцию, пока препод не сказал: «На этом первую лекцию мы завершим, т.к. человек способен воспринимать новую информацию без перерыва только 1.5 часа или ТЫСЯЧУ ПЯТЬСОТ минут!» В этот момент мы охреневше посмотрели на него и только тогда обратили внимание, что у всех выводов формул ответ получался 1500. Оказалось, что для того чтобы сдать зачет преподу надо было занести по 1500руб. с человека. Зачет все сдали успешно. Предмет хоть был и не значительный, лекции по нему запомнились на всю жизнь)

Ответ на пост «Что тут непонятного?»⁠ ⁠

Ооооо, Матан! Обожал его, был один из самых любимых предметов) Был у нас преподаватель, Амир Хызырович. Так он лекции читал с жутким татарским акцентом, при этом ставил паузы, которые были совсем на первый взгляд неуместны. Мы нифига не могли понять суть записываемого, но всегда успевали все записывать, а потом при чтении на удивление все было максимально понятно) Одна из его короночек была про ТВГ: «В данной точке. Точная верхняя грань может быть. А может и не быть!»))))

Ответ на пост «Что тут непонятного?»⁠ ⁠

У нас на втором курсе матан читал уже довольно пожилой препод. Пишет, пишет, что-то бормочет под нос. Мы молча тоже пишем, пишем, он обычно сначала пишет, потом объясняет. Через полчаса примерно повернулся к нам, взял что-то на столе, спросил, какой поток. И говорит: зачеркните всё, я вас с третьим курсом перепутал.

Что тут непонятного?⁠ ⁠

Дело было на первом курсе колледжа. Идет пара. Математика. Группа из 30 человек пытается понять, что от них хочет преподаватель, который уже час безуспешно объясняет законы и теоремы, параллельно записывая формулы и графики на огромной доске. В один момент он поворачивается ко всем лицом и с небольшим отчаянием спрашивает:
— Ну и что тут может быть непонятного.

Около двух секунд общего молчания и один из студентов отвечает:

Один. О математике⁠ ⁠

О, математика! Сколько слёз пролито над задачами про бассейны с какой-то идиотской системой из труб в которые вливается-выливается вода. Сколько трёхбуквенных слов сказано в адрес трёхбуквенных же cos и sin! Словом, я помнил какая она — математика для большинства людей. Какая-то непонятная абракадабра из странных символов с которыми нужно действовать по каким-то магическим правилам для того чтобы получить результат. И правила эти вроде бы логичные (царица наук же!), но вот понять их умом как-то не выходит. Как обычно решается эта дилемма? Или зубрёжкой, или забиванием болта. Какой вариант преобладает упоминать будет излишне.

И вот меня попросили довести семестр в одной из школ моего города. Меня — это студента четвёртого курса одного из технических факультетов нашей необъятной Родины. Дело было так: как-то раз знакомый замдекана попросил доработать семестр в одной из школ. Мол, администрация ему знакома, давно с ней работают и они очень попросили помочь с заменой. Так и началось моё путешествие в мир педагогики, во время которого я поменял три школы и два университета (во втором работаю до сих пор). И как-то во мне зрела-зрела да назрела необходимость поделиться своим опытом работы в сфере образования, да поотвечать на вопросы, буде такие возникнут.

Я, конечно, был молод, горяч, идеалистичен и намерен подарить хотя бы каким-то детям не занудное заучивание формул, а понимание и осознание красоты и стройности математики. Ко мне самому это осознание, кстати, пришло только ближе к университету. До этого в школе я просто шпарил по алгоритмам, изложенным в учебнике. Просто у меня это получалось лучше, чем у большинства одноклассников. Ну и ещё, наверное, сыграло свою роль увлечения научной фантастикой: я примерно представлял зачем все эти ваши тангенсы нужны. А в выпускных классах я уже учился в профильном лицее, где учителя были гораздо сильнее и компетентнее. Тогда я духом настоящей математики проникся окончательно (Сканави! Как много в этом имени!). В общем, я был убеждён что математика — это клёво, просто об этом почему-то обычно не рассказывают в школах. Но ведь в моих силах было это исправить. По крайней мере так мне казалось.

Так что на предложение взять да поработать я ответил уверенным согласием. Наверное, важную роль в этом сыграла и семья: мама и бабушка у меня тоже преподавали, и я видел это как продолжение славной династии педагогов. Мы с замдекана ударили по рукам. Я отправился в свою первую школу.

Достались мне классы с седьмого по, кажется, девятый. Самое то, чтобы войти в профессию, как мне кажется. Уже не надо складывать две картошки с тремя и ещё не надо рассказывать всякую заумь про пределы (с самими пределами у меня проблем не было; проблемы были бы с тем как это всё доступно изложить). И вот — началось. Я захожу в школьный класс, но теперь не в качестве ученика, а в качестве учителя.

И спустя буквально неделю ведения уроков я понял, почему всё работает так как работает. Почему учителя не пытаются заинтересовать учеников, а со скоростью пулемёта выдают формулы и алгоритмы решений. Причин, конечно, несколько.

Во-первых, большинству учеников, как бы это помягче, по барабану. Вообще, конечно, математика большинству людей по барабану и это нормально. Но ученикам по барабану не пассивно, а активно. То есть эти мелкие черти не способны просто посидеть на месте да позаниматься своими делами. Им нужно пообщаться с друзьями, поплевать в кого-то, покачаться на стуле. Читатели, конечно, скажут, что в этом и есть задача педагога: заинтересовать учеников да дисциплину в классе поддерживать. Так-то оно, конечно, так, но. Но.

Видит бог, я пытался их заинтересовать. Я рассказывал про древних египтян, которые под палящим солнцем размечали участки вдоль Нила и мало-помалу вместо того чтобы двинуть древнеегипетским кирпичом древнеегипетского соседа, который не согласен с правками в кадастре участков, придумали геометрию. Я красочно описывал пифагорейцев, которые мочили людей, которые к своему несчастью придумали рисовать прямоугольные треугольники с гипотенузами, не выражающимися в рациональных числах. Но их это не интересовало. Древние мужики и их бытовые проблемы совершенно никакого отклика в сердцах и умах не вызывали.

«Хорошо» — подумал я — «древние мужики не слишком интересны». Я обратился к их интересам. Пытался рассказать, как и где математика используется в компьютерных играх; как с помощью статистики футбольные команды пытаются улучшить свои результаты; где может пригодиться геометрия в решении бытовых задач. Но и здесь я успеха не достиг.

Может быть я плохой учитель. Может я быстро сдался и мне остался всего один шаг до того, как обнаружить их интересы и через их призму изложить материал. А может быть они просто ничем не интересовались. Всего понемногу, я думаю. Кроме того, пришло осознание того, что

Во-вторых, (вы ещё помните что я тут описываю причины, по которым математика преподаётся так, как преподаётся?) есть рабочая программа дисциплины. Документ, который определяет, что и в каком порядке должен рассказать учитель. И есть уроки, которые длятся по сорок пять минут.

В школе, конечно, кажется, что эти самые уроки идут целую вечность. Но смею вас заверить: по обратную сторону баррикад, с точки зрения учителя они проносятся с невероятной скоростью. И хорошо если на тему выделяется несколько уроков: на одном ты можешь в более-менее спокойном темпе рассказать новый материал и разобрать типичные задания, на другом — вызвать кого-нибудь к доске и проверить знания, на третьем — провести в начале матдиктант, а по его мотивам разобрать непонятные вещи. В идеале оно, конечно так.

Но на деле выясняется, что люди учатся с разной скоростью. А когда с разной скоростью учатся от двадцати до тридцати человек в голове учителя происходит абсолютный ад и Израиль. Нельзя топтаться на месте, потому что программа должна быть освоена в полном объёме. Но и не отвечать на вопросы тоже нельзя, ведь что ж это за учитель такой, который на вопросы не отвечает? А ещё есть несколько человек в классе, которые схватывают всё быстрее и их тоже надо чем-то озадачить чтобы они не считали мух. Словом, это всё напоминает, как сказал бы Фольтест, пожар в борделе. Только вам ещё надо организовать из него эвакуацию, учитывая, что среди девочек есть и старушенции, которые еле ноги переставляют, и чемпионки по лёгкой атлетике. И не просто организовать, а сделать это так, чтобы все стартовали и закончили (гусары, молчать!) примерно в одно и то же время. Дурдом.

Всё это, а также неизбывно присутствующий призрак разных проверок и аттестаций вынуждает учителей вместо интересного и подробного изложения материала брать со вздохом напильник и быстро-быстро (как я напильником-то учить буду?) обрабатывать весь класс шаблонными заданиями и методами их решения.

В-третьих, подготовка детей оставляет желать лучшего. Я подозреваю, что в младших классах проблемы примерно те же, да ещё и помноженные на подвижную психику младшеклассников, но обычно ко мне приходили умственно отсталые не вполне подготовленные дети. Один из основных принципов преподавания — «от простого к сложному». И вот ты объясняешь, скажем, как раскрывать квадрат суммы (сколько из вас вздрогнуло на этих словах?), приводишь примеры и просишь выйти кого-то к доске. И спустя пару минут грустных вздохов выясняется, что человек не умеет умножать. Ну то есть пять на шесть он худо-бедно умножит, но вот раскрыть скобки — это всё, полный ступор и отказ главной машины. Что делать? Двигаться дальше и махнуть рукой, мол, раньше должны были научить? Или остановиться и попытаться объяснить?

Я, конечно, старался объяснять. Но обучение это ведь процесс основанный в том числе и на повторении. Если человек не придёт домой и не попытается что-то порешать самостоятельно, то я могу хоть обрассказываться о том, как и что делать. Эффект будет колебаться в районе нуля.

Вот и выходит так, что ученики год за годом накапливают непонимание, а учителя на фундаменте этого непонимания пытаются возвести новые этажи с новыми знаниями. И новый этаж получается. Только не знаний, а отвращения к математике.

На сегодня всё. Домашнее задание: написать в комментариях своё мнение о прочитанном и задать интересующие вопросы.

kukina_kat

Одна из моих коллег сказала им, что поняла мат.анализ только перед гос.экзаменами. Когда весь накопленный за пять лет багаж математических знаний, разные, но чем-то похожие дисциплины и междисциплинарные связи, а также диплом по близкой тематике, наконец уложились в голове в единую картину.

Другая из моих коллег сказала им, что мат.анализ поняла уже будучи преподавательницей, когда самой пришлось встать к доске и объяснять.

И, кстати, эти два подхода очень-очень распространены. Очень-очень. Так бывает часто. И не только с мат.анализом.

У меня история сложнее. В школьные годы я была олимпиадницей. Математические кружки, летние математические школы, очень сильная физико-математическая школа, спецкурсы. И да, я просто не помню те времена, когда я не понимала мат.анализ. Дело в том, что в мат.анализе не было ничего специфически необычного. Мат.анализ естественным образом в школьной программе возник в 9 классе, параллельно с фокальными свойствами коник, доказательством неравенства Коши индукцией вверх-вниз, распределением простых чисел в ассимптотике и началами теории вероятностей. Тут же подоспели и замечательные пределы, и начала дифференцирования-интегрирования.

И да, поскольку я была олимпиадницей, то возникновение в школьной программе мат.анализа не было для меня шоком. Идеи бесконечности в разных ее ипостасях витают в олимпиадных кружках класса практически сразу, класса с пятого-шестого (а сейчас и раньше — класса с первого; у нас на Малом матфаке обязательно с первоклашками изучают Ковер Серпинского )))). Индукция класса с седьмого. А от идеи бесконечности до всего остального мат.анализа на самом деле рукой подать.

И да, я, конечно, была олимпиадницей. Но у меня было больше половины класса обычных ребят — не олимпиадников. И для них тоже не было ничего специфически сложного именно в мат.анализе. Ты с одинаковым успехом мог забуксовать на задачах на движение, на инверсии или на пределах. Хотя больше всего непоняток было все-таки с физикой )))
И собственно того, чтобы кто-то боялся прицельно мат.анализа — этого не было, как ни странно.

Да, мы сейчас можем сказать, что в физ.мат.школе учились умненькие, отобранные, мотивированные ребята. Но на матфаке учатся тоже умненькие, отобранные, мотивированные ребята (по-крайней мере, разговариваю я только с такими). И у матфаковцев больше опыта, больше бэкграунд, но при этом лучшие студенты матфака (за исключением выпускников физ.мат.школ) хуже понимают мат.анализ, чем восьмиклассники. Алгебру, например, понимают не хуже. А мат.анализ хуже. Почему же так?

Я не могу утверждать наверняка. И вообще, это очень сложный вопрос. Но у меня закралась мысль, что вся проблема в чистоте и в строгости математического изложения. Когда деткам 10-12 лет начинают объяснять идею бесконечности, ее объясняют буквально на пальцах, не вдаваясь в идеи, и даже более того, часто опытные преподаватели подсказывают новичкам: «а этот вопрос замни для ясности, если его не объяснять, то школьникам понятнее, чем если начать объяснять строго».

Мне так папа подсказывал, когда я первый раз доказывала 6-клашкам теорему о платоновых телах. Говорит: «скажи так: три квадрата могут встретиться в одной вершине; три пятиугольника могут, три шестиугольника уже раскладываются в плоскость. А три семиугольника и вовсе не влезают! И все». Вот это вот крайне нестрогое с математической точки зрения, но крайне точное с бытовой «не влезают» — это так и есть. И так гораздо понятнее. чем если начать наводить тень на плетень.

И тут возникает совершенно неразрешимая дилемма. С одной стороны, на матфаке, безусловно, надо доказывать все крайне строго. По всем критериям строгости, применимым в современной науке. Но с другой стороны, как мне кажется, да простят меня коллеги, специализирующиеся на анализе, иногда, что называется, за деревьями лес не видно. Начинается такое строгое изложение, что за всеми эпсилон-дельтами и прочими проколотыми омега-окрестностями теряется суть того, что пытались донести.

В конце-концов, великие, которые начинали мат.анализ — Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Гаусс и так далее — они иногда в работах такую чушь с современной точки зрения писали. Суммировали расходящиеся ряды, вычисляли несуществующие пределы, дифференцировали всюду разрывные функции. И тем не менее, они-то, возможно, лучше кого-либо когда-либо понимали мат.анализ.

Если начинать рассказывать теорию чисел с аксиоматики «обычной» арифметики, ее непротиворечивости и единственности — то собственно до теории чисел вообще никогда не доберешься, погрязнув в дебрях теории множеств и логики. И специалисты по теории чисел в этом конкретном моменте никогда не гонятся за строгостью, предпочитая понятность.
/* Хотя теорию чисел я, наверное, в пример зря привожу — вообще не сказать, что кристально понятный предмет. */
Тогда пусть среди примеров будет геометрия. Всех, начиная со школы, и даже более того — с детского сада, обучают евклидовой геометрии. А ее вообще в реальном мире нет! Но она зато всем интуитивно более понятная, чем настоящая геометрия реального мира.

Первое понятие, которое из математики изучает маленький ребенок — это единица. Ну, или одно из первых. А если мы попытаемся с математической точки зрения объяснить, что такое единица — мы можем посмотреть на опыт товарищей Бурбаки. У которых на объяснение числа 1 ушло 100 страниц.

Иногда лучше и правильнее будет преподавателю чуть-чуть скруглить острые углы, а не следовать всем изгибам сложных как норвежские фьорды линиям математики. Или нет?

Какой смысл преподавать в вузах жутчайшую математику?

Абсолютно так же ты будешь жаловаться если тебе будут преподавать тот или иной конкретный стек технологий.

Математика — это дисциплина общерасширяющая диапазон вашего разума.

То что преподают в технических ВУЗах, кстати, даже рядом не жуткая математика.
А так, небольшой обзорчик, чтобы потом, когда придет необходимость — вы бы хоть знали в какую сторону копать.

Если у вас столь короткая память, то может вам и ВУЗ не нужен с его многолетним обучением — все забудите. А вполне достаточно курсов длиной месяц-год?

• Facebook
• Вконтакте
• Twitter

• Facebook
• Вконтакте
• Twitter

• Facebook
• Вконтакте
• Twitter

Математика развивает мышление.
Математика это база всех точных наук.
Конкретно вам возможно эти знания не пригодятся, но это не значит что их не надо учить.

Мне например не пригодились знания по химии и что теперь? Запретить химию в школах?

Если вы собираетесь просто писать код — зачем вам высшее образование вообще? Изучайте язык и пишите.
Если вы собрались стать программистом — куда же без математики и знания алгоритмов?
А знание ЯП и умение писать красивый код, это мелочи, это приложится.

• Facebook
• Вконтакте
• Twitter

Не для генерации дискуссии, но все-таки было бы неплохо уточнить в вопросе, какие конкретно разделы математики имеются в виду. В каких ВУЗах у нас осталась математика высокого уровня?

Математический анализ для 1 курса

Курс лекций для студентов 1 курса по математическому анализу любых форм обучения. Я собрала теорию и примеры с решениями к каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Введение в математический анализ

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

Функция. Предел функции

Математический анализ — раздел математики, в котором изучаются функции. В экономическом анализе часто исследуют, например, зависимости спроса и предложения от цены (функции спроса и предложения), зависимость издержек производства от объема продукции (функцию издержек) и др. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , обозначаемый . При этом элементы называются независимыми переменными (или аргументами), а элементы называются зависимыми переменными (или значениями функции). Множество X называют областью определения функции, а множество У — областью значений функции. Функция называется сложной (или композицией функций, или функцией от функций), если ее аргумент в свою очередь является функцией другой переменной: .

В школьном курсе изучались следующие функции: постоянная , степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические и обратные тригонометрические Все эти функции называются основными элементарными функциями. Функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложных функций над основными элементарными функциями называются элементарными. Это класс функций, с которыми мы будем работать на протяжении всего курса.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Одним из основных понятий математического анализа является предел. Примерами применения понятия предела могут служить окружность как предел вписанных и описанных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон или касательная как предельное положение секущей при сближении точек пересечения. Говорят, что функция имеет предел А при х стремящемся к , если значения функции сколь угодно близко приближаются к числу А, когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу .

Используя логические символы: — «для любого», — «существует», символ равносильности — «тогда и только тогда, когда», символ следствия — «следует, что», и символ : — «такое, что», определение предела можно записать в виде:

Внимание! Определение предела не требует существования функции в самой предельной точке , т.к. рассматривает значения в некоторой окрестности точки .

Если функция определена в некоторой точке и в некоторой ее окрестности существует предел функции при , равный значению функции в этой точке:

то функция называется непрерывной в точке . Говорят, что функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Следовательно, в случае непрерывных функций очень просто находятся пределы в любой точке области определения: для этого достаточно вычислить значение функции в данной точке.

Утверждение 1. Любая элементарная функция непрерывна в области определения.

Утверждение 2. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

Пример №1

Вычислить предел

Решение:

Данная функция элементарная, т.к. получена из основных элементарных функций (постоянной и степенной) с помощью конечного числа арифметических действий. Поскольку alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />принадлежит области определения функции, то ее предел в точке alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />равен значению функции в этой точке, т.е.

Заметим, что не всякий производственный процесс непрерывен во времени. Аргумент функции может изменяться лишь в отдельные моменты. Так, приняв за область определения функции множество натуральных чисел , получим функцию натурального аргумента, которую называют числовой последовательностью. Число называют общим членом числовой последовательности. Например, арифметическая или геометрическая прогрессии — числовые последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности , если для любой окрестности точки А все члены последовательности, начиная с некоторого номера N, принадлежат этой окрестности. Обозначение: .

(Символ означает «бесконечно большую величину».)

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции на бесконечности, которое на языке логических символов имеет вид:

Замечание. Переменная может неограниченно стремиться либо в сторону отрицательных значений: , либо в сторону положительных значений: . Символ ос является объединением двух символов: . Очевидно, что

В общем случае если при стремлении переменная принимает лишь значения, меньшие , и при этом функция стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции слева:

И наоборот, если при стремлении переменная х принимает лишь значения, большие , и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции справа:

(При на практике вместо 0-0 пишут -0, а вместо 0+0 — +0.)

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции в данной точке. Следовательно,

В следующем параграфе мы познакомимся с основными правилами вычисления пределов при х—»хо(ос).

Основные теоремы о пределах

Внимание! Если предел существует, то он единственный.

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной: .

Теорема 2. Пусть . Тогда:

1) предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций:

2) предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

в частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

3) предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №2

Вычислить предел

Решение:

Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы и произведения, получим

Пример №3

Вычислить предел последовательности

Решение:

Теорему о пределе суммы конечного числа функций здесь применить нельзя. Заметим, что является суммой n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом . Следовательно,

Тогда по теоремам о пределах функций имеем:

Рассмотрим соотношения пределов суммы, произведения, частного, распространенные на случай бесконечного предела функции.

Если вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида , необходимо провести дополнительные исследования, т.е. «раскрыть неопределенность».

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенностей вида . Пусть .

1. Если — рациональная дробь, то числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители.

Пример №4

Вычислить предел

Решение:

Числитель и знаменатель дроби при обращаются в нуль. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, а затем применим теоремы о пределах частного, суммы и произведения:

2. Если — дробь, содержащая иррациональные выражения, то выделение множителей вида достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель.

Пример №5

Вычислить предел .

Решение:

Имеем неопределенность вида . Избавимся от иррациональности в числителе, умножив и разделив дробь на сопряженное к числителю выражение . Получим:

3. В остальных случаях для раскрытия неопределенности вида используют первый замечательный предел (см. п. 3.4) или эквивалентные бесконечно малые функции (см. п. 3.5).

Раскрытие неопределенностей вида . Пусть

Если — рациональная дробь или дробь, содержащая иррациональности, то числитель и знаменатель делят на х в старшей степени.

Пример №6

Вычислить предел , если 1) а=2; 2) а— 1; 3) а=4.

Решение:

Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (в первом и втором случаях на , во третьем — на ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

Вывод. Предел рациональной дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени совпадают, нулю — если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя и бесконечности в противном случае.

Замечание. Для раскрытия неопределенностей вида используют также правило Лопиталя (см. п. 3.8).

Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенное выражение вида преобразуется к неопределенности вида или . Методику раскрытия такой неопределенности покажем на примерах.

Пример №7

Вычислить предел .

Решение:

Имеем неопределенность вида которая преобразуется к неопределенности вида приведением функции к общему знаменателю:

Пример №8

Вычислить предел последовательности

Решение:

Для раскрытия неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное:

Получили неопределенность вида . Раскроем ее, разделив все члены полученного выражения на n:

Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенное выражение вида получается при нахождении пределов вида , где , и сводится к неопределенности вида или следующим образом:

Замечание. При вычислении пределов показательно-степенных функций могут получиться неопределенности вида , для раскрытия которых используют второй замечательный предел или правило Ло-питаля.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

(аналогично).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №9

Найти

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Второй замечательный предел. Числом е называется предел функции при :

(Для запоминания: — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно,

Задача о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через лет.

Решение:

Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в раз и через лет составит . Если же начислять проценты n раз в году, то будущая сумма составит . Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие , ежеквартально , ежемесячно , каждый день , каждый час и, наконец, непрерывно . Тогда за год размер вклада составит:

а за лет:

Пример №10

Найти

Решение:

Т.к. , имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:

Пример №11

Найти .

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Математическая интерпретация явления часто заключается в том, что практически очень малые величины принимаются за бесконечно малые. Так, рассматривая годовое производство, мы можем отдельный день представить себе как бесконечно малую частицу годового периода и получать при этом практически верные результаты.

Функция называется бесконечно малой при , если ее предел равен нулю: .

Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности: .

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь: если — бесконечно малая функция при , то бесконечно большая функция при и наоборот.

Теорема 1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />есть бесконечно малая функция при alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой при alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />функции на ограниченную есть бесконечно малая функция при alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №12

Найти .

Решение:

Т.к. — ограниченная функция для любых , а — бесконечно малая функция при — бесконечно малая функция при , т.е. .

Если и — бесконечно малые функции при , то может быть равен либо нулю, либо бесконечности, либо какому-нибудь числу, отличному от нуля; наконец, предел может не существовать.

Если не существует, то и называют несравнимыми бесконечно малыми при .

Если , то функция стремится к нулю быстрее, чем при . Говорят, что — бесконечно малая более высокого порядка, чем при и пишут: (читается « есть о малое от при ).

Если , то называют бесконечно малой более низкого порядка, чем при и пишут: .

Если , то и называют бесконечно малыми одного порядка при и пишут: .

Особенно важен частный случай, когда . Тогда и называют эквивалентными бесконечно малыми при и пишут: , .

Пример №13

Показать, что при .

Решение:

Функции и являются бесконечно малыми . Найдем предел их отношения при :

что и требовалось доказать.

Переход к пределу под символом логарифма возможен, т.к. логарифмическая функция непрерывна.

Утверждение. Если , то при следующие функции эквивалентны:

Данная цепочка эквивалентностей используется при нахождении пределов.

Теорема 3. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Пример №14

Вычислить предел .

Решение:

Для нахождения предела используем свойства эквивалентности бесконечно малых функций:

Пример №15

Вычислить предел .

Решение:

Используя теорему об эквивалентных бесконечно малых, получаем:

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. Но стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел при существует, но не равен значению функции в данной точке, т.е.

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить . В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке .

2. Точка Хо называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные пределы слева и справа , не равные друг другу:

При этом величина называется скачком функции в точке .

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции .

Пример №16

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения . При функция не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как

тo — точка устранимого разрыва.

Если положить , то функция

будет непрерывной для всех х.

2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения — точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то -точка разрыва второго рода.

Пример №17

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Решение:

Область определения этой функции — вся числовая прямая: . Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» . Исследуем точку :

Так как — точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен .

Исследуем точку :

Поскольку , то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех .

Построим график функции.

Дифференциальное исчисление

Производная функции, ее геометрический и физический смыслы

При изучении различных экономических процессов, описываемых функциями, существенную роль играют скорость роста процесса, ускорение роста, оптимальный режим и другие характеристики, которые исследуются с помощью производной.

Рассмотрим геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой. Пусть на плоскости дана непрерывная кривая . Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке . Уравнение прямой, проходящей через точку , имеет вид:

Касательной называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей к первой. Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден по формуле:

Тогда угловой коэффициент касательной

Это и есть производная функции в точке . Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания (геометрический смысл производной).

Производная функции имеет несколько обозначений:

Следовательно, уравнение касательной к кривой в точке можно записать в виде:

Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки. Пусть точка М движется прямолинейно и — путь, проходимый ею за время . Средней скоростью прямолинейного движения за время называется от-ношение пройденного пути к затраченному времени: . Если существует предел , то он называется (мгновенной) скоростью в некоторый момент времени . В этом состоит физический смысл производной.

Если — функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени , то (мгновенное) ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени: .

Вывод. Производная есть предел отношения приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента.

Важно отметить, что запись имеет не только символическое значение как способ написания производной, но и смысловое: производная функции есть отношение ее дифференциала к дифференциалу аргумента .

Дифференциалом функции одной переменной называется произведение ее производной на приращение аргумента: . Для функции получаем . Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Отсюда (подробнее см. литературу).

Нахождение для заданной функции ее производной называется дифференцированием данной функции. А учение о производной и ее приложениях является предметом дифференциального исчисления. Фундамент дифференциального исчисления составляют основные правила и формулы дифференцирования функций. Используя их, можно найти производную и дифференциал любой элементарной функции.

Основные правила дифференцирования

Внимание! Для существования производной в некоторой точке необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Однако не всякая непрерывная в точке функция имеет в ней производную.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю: .

Теорема 2. Пусть — дифференцируемые функции. Тогда:

1) производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

2) производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

в частности, постоянный множитель можно выносить за знак производной:

3) производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Теорема 3. Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.

Действительно, пусть задана сложная функция . Тогда

Теорема 4. Производная обратной функции есть величина, обратная производной прямой функции.

Так, если — взаимно обратные функции и , то

Таблица производных

Приведем основные формулы дифференцирования функций. Пусть

дифференцируемая функция. Тогда

Выведем производные некоторых функций.

1. Если , то

Используя формулу разности синусов

Так как любую тригонометрическую функцию можно вывести через синус, то нетрудно найти производные остальных тригонометрических функций.

2. Пусть . Тогда по теореме о производной сложной функции

3. Для функции воспользуемся правилом дифференцирования частного:

4. Представим как степенную функцию от тангенса. Тогда

5. Вычислим производную , где . Обратная функция имеет вид . Причем , если теореме дифференцирования обратной функции

и при производная не существует.

6. Производную получим из соотношения Следовательно,

Предельный анализ в экономике

Задача о производительности труда. Пусть функция выражает количество произведенной продукции у за время и необходимо найти производительность труда в момент времени . Очевидно, за период времени от до количество произведенной продукции изменится от и составит .

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е.

Производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №18

Объем продукции хлебобулочных изделий, произведенных бригадой пекарей в течение смены, может быть описан функцией

где — время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы.

Решение:

Производительность труда выражается производной

В заданный момент времени соответственно имеем:

Задача о предельных издержках производства. Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Тогда — приращение издержек производства с увеличением объема произведенной продукции на . Среднее приращение издержек производства на единицу продукции есть . Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и другие предельные величины.

Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно исследуемого фактора.

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной, если приращение переменной стремится к нулю:

Эластичность дает приближенный процентный прирост функции при изменении независимой переменой на 1%. Например, эластичность спроса у относительно цены х показывает приближенно, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы , то спрос считают эластичным, если — нейтральным, если — неэластичным относительно цены.

Пример №19

Опытным путем установлены функции спроса и предложения , где — количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, — цена товара. Найти:

1) равновесную цену, при которой спрос и предложение совпадают;

2) эластичность спроса и предложения для этой цены;

3) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

1) равновесная цепа определяется из условия :

откуда ден. ед.

2) найдем эластичности спроса и предложения:

Для равновесной цены имеем:

T.к. полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, то спрос и предложение данного товара при рыночной цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. А именно, при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0.3%, предложение увеличится на 0.8%.

3) при увеличении цены на 5% относительно равновесной спрос уменьшится па (5-0.3)%= 1.5%, и, следовательно, доход возрастет па 3.5%.

Пример №20

Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции выражается функцией . Требуется:

1) определить средние и предельные издержки при объеме продукции условных единиц;

2) найти эластичность издержек при выпуске продукции, равном и условных единиц.

Решение:

1) функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением

При средние издержки равны

Функция предельных издержек выражается производной

При предельные издержки составят

что вдвое меньше средних издержек.

2) эластичность издержек у относительно объема выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:

При . Это означает, что при увеличении количества произведенной продукции на 1% (с 1 до 1.01) издержки уменьшатся на 1%.

При , т.е. с увеличением количества произведенной продукции на 1% (с 3 до 3.01) затраты уменьшатся на 17%.

Уравнение нормали к плоской кривой

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Если касательная в точке к графику непрерывной функции имеет вид (см. п. 4.1), то перпендикулярная к ней прямая имеет угловой коэффициент

Таким образом, при уравнение нормали в точке имеет вид

Если же , то нормаль параллельна оси :

Задача. Показать, что для гиперболы площадь треугольника, образованного координатными осями и касательной в точке , равна квадрату полуоси гиперболы.

Решение:

В общем курсе аналитической геометрии давалось каноническое уравнение гиперболы. «Школьная» гипербола получается из уравнения преобразованием поворота, которое нашей программой не предусмотрено. Полуось гиперболы определим как расстояние между вершиной и центром симметрии гиперболы. Очевидно, вершины гиперболы находятся в точках , а центр симметрии совпадает с началом координат. Тогда полуось гиперболы равна . Следовательно, квадрат полуоси гиперболы равен 2.

Составим уравнение касательной к гиперболе в вершине . Общее уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Искомое уравнение касательной имеет вид:

Найдем точки пересечения касательной с осями координат:

Тогда треугольник, образованный координатными осями и касательной, будет иметь вершины . Т.к. треугольник прямоугольный, то его площадь равна

2=2. Задача решена.

Производные высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную от функции , называемую производной первого порядка. Но производная сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка и обозначается и т.д. В общем случае, производной n-го порядка называется производная от производной -ro порядка (для обозначения производных выше третьего порядка используются арабские цифры в скобках): .

Ранее было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону (где s — путь, t — время), то представляет скорость изменения пути в момент . Следовательно, ускорение точки в момент есть вторая производная пути по времени:

В этом состоит механический смысл второй производной.

Задача. Известно, что траекторией брошенного камня является парабола. Найти его скорость и ускорение.

Решение:

Запишем уравнение траектории брошенного камня :

— парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вниз, — гравитационная постоянная.

Тогда — скорость камня;

— его ускорение, что согласуется с известным физическим законом: всякое брошенное тело испытывает постоянное ускорение свободного падения.

Производная неявной функции

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных формулой , правая часть которых не содержала зависимой переменной. Если же функция задана уравнением не разрешенным относительно зависимой переменной, то говорят, что функция у задана неявно.

Внимание! Не всякое уравнение определяет неявную функцию. Например, уравнение в действительной области не определяет никакой функции. Иногда одно уравнение такого вида может определять несколько функций. Например, уравнение определяет две функции: и .

Часто разрешить уравнение alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />относительно переменной затруднительно. В таком случае функцию приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим ее. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением alt=»Математический анализ для 1 курса» width=»» />.

Для нахождения производной функции , заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от . Затем из полученного уравнения найти производную .

Пример №21

Покажите, что функция , заданная неявно выражением , удовлетворяет уравнению .

Решение:

Найдем первую производную данной функции. Для этого продифференцируем обе части уравнения , используя формулы и правила дифференцирования:

Найдем вторую производную:

Подставим найденные выражения в дифференциальное уравнение:

Правило Лопиталя

С помощью производной можно находить многие пределы. Следующее утверждение позволит свести предел отношения двух функций с случае неопределенностей вида к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:

Внимание! В правой части формул берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример №22

Вычислить предел

Решение:

Имеем неопределенность вида . Т.к. числитель и знаменатель дроби непрерывны и дифференцируемы, то можно применить правило Лопиталя:

Замечание Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь приходим к соотношению неопределенностей вида .

Пример №23

Вычислить предел

Решение:

Числитель и знаменатель дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к бесконечности. Следовательно, можно применить правило Лопиталя (в данном примере мы воспользовались им дважды):

Замечание. Другие неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя, если их предварительно свести к основному виду с помощью тождественных преобразований.

Пример №24

Найти .

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательной функции, получим:

Оптимизация

В этом параграфе оптимизацию будем понимать как процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) экономических функций, т.е. выбор наилучшего варианта из множества возможных. Говорят, что в точке функция имеет (локальный) максимум, если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполнено условие . Аналогично, функция в точке имеет (локальный) минимум, если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполнено условие . Точки (локальных) максимума и минимума называются точками (локального) экстремума, а значение функции в них — (локальными) экстремумами функции.

Внимание! Не следует путать понятие локального экстремума функции с ее наибольшим или наименьшим значением (так называемым глобальным максимумом или минимумом). На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум может оказаться больше максимума подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем невысокая вершина. А наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции может достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Геометрически в точке экстремума касательная к графику функции либо горизонтальна, либо не существует.

Следовательно, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции равна пулю или не существует (необходимое условие экстремума). Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими. (Иногда точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными.)

Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Это лишь точка возможного экстремума функции.

Достаточное условие экстремума. Если в критической точке вторая производная положительна, то это точка минимума, а если отрицательна — точка максимума.

Для запоминания этой теоремы предлагаем мнемоническое правило: если плюс — котелок наполняется, если минус — опустошается.

Пример №25

Пусть в краткосрочном плане производственная функция зависит только от численности персонала и имеет вид

где у — выпуск продукции, а n — число работающих. Определить численность персонала, при которой выпуск у достигает максимального значения.

Решение:

Выпуск продукции — функция натурального аргумента. Для решения задачи рассмотрим обобщенную функцию действительного аргумента . Новая функция везде непрерывна и дифференцируема. Найдем стационарные точки, для чего вычислим производную и приравняем ее к нулю:

Решая квадратное уравнение, легко находим . Вычисляем вторую производную:

При имеем

следовательно, в данной точке имеется минимум. Это естественно, т.к. нет выпуска продукции, если нет рабочих. Для второй точки

Поэтому в точке максимум. Соответствующий выпуск продукции

Исследование функции на монотонность

С помощью производной можно найти промежутки возрастания и убывания функции. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции:

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Достаточное условие монотонности. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом промежутке:

Таким образом, если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то это точка (локального) максимума, а если с минуса на плюс — точка (локального) минимума (достаточное условие экстремума):

Если изменение знака производной не происходит, то экстремума нет.

Пример №26

Исследовать функцию па монотонность.

Решение:

Область определения функции . С помощью первой производной найдем точки возможного экстремума:

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в таблице.

Итак, функция убывает на интервалах и возрастает на интервале ; в точке — имеем минимум:

а точка максимума:

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым (выпуклым вверх) в точке , если он расположен ниже касательной в некоторой окрестности этой точки. Аналогично, график дифференцируемой функции называется вогнутым (выпуклым вниз) в точке х0, если он расположен выше касательной в некоторой окрестности этой точки. Однако могут существовать точки, слева от которых в некоторой в достаточно малой окрестности график лежит по одну сторону от касательной, а справа — по другую. Точки графика, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Достаточное условие направления выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна [положительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла (вогнута) на этом промежутке:

Следовательно, если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то это точка перегиба (достаточное условие перегиба):

точка перегиба или точка перегиба .

Отсюда вытекает необходимое условие перегиба: вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю или не существует.

Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то это точка перегиба.

Пример №27

Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

Решение:

Область определения функции . С помощью второй производной найдем точки возможного перегиба:

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы, в которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты удобно представить в таблице.

Кривая, изображающая график функции, выпукла на интервалах и вогнута на интервалах . В точках , имеем перегиб:

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности: . Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции имел наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.

Пример №28

Найти асимптоты графика функции .

Решение:

Функция непрерывна в области определения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот пет. Найдем наклонные асимптоты :

Получаем горизонтальную асимптоту .

Кстати теория из учебников по математическому анализу тут.

Общее исследование функции и построение графика

С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.

1. Найти область определения функции
2. Исследовать функцию на четность ; нечетность ; периодичность .
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).

Пример №29

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции — вся числовая прямая: .
2. Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и :

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для .

3. Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку , точек разрыва нет.

4. Строим график функции, используя результаты исследования.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института