Как найти удельную теплоемкость смеси

Как найти удельную теплоемкость смеси

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Найти удельную теплоемкость с_р газовой смеси, состоящей из количества ν₁ = 3 кмоль аргона и количества v₂ = 2 кмоль азота.

Дано:

Решение:

Для нагревания количества аргона и количества

азота при р = const необходимо количество теплоты

где и — молярные теплоемкости аргона и азота, — молярная теплоемкость смеси

Молекулярная масса смеси

Удельная теплоемкость смеси

Ответ:

Теплоемкость газов и их смесей

Теплоемкостью (С) называют отношение количества теплоты, необходимой для изменения температуры в веществе на бесконечно малую величину:

Такую теплоемкость называют истинной.

При решении практических задач используют среднюю теплоемкость — условную постоянную величину в определенном интервале температур:

В зависимости от единиц количества вещества различают:

• • массовую теплоемкость с, кДж/(кг • К);
• • молярную теплоемкость рс или С_м, кДжДкмоль-К);

• объемную теплоемкость С или с’, отнесенную к 1 м 3 газа при нормальных физических условиях (j) = 760 мм рт. ст., t = 0°С), кДж/(м 3 • К) .

Массовая, молярная и объемная теплоемкости связаны между собой следующими зависимостями:

где |i — молекулярная масса вещества, кг/кмоль; v_H, р_н — удельный объем и плотность вещества при нормальных условиях; 22,4 м 3 /кмоль — объем одного киломоля любого идеального газа при нормальных физических условиях [1] .

Теплоемкость рабочего тела зависит от характера процесса, поэтому тоже является функцией процесса. В различных процессах теплоемкость может принимать значения в пределах -©о .

При анализе термодинамических процессов, протекающих при постоянном объеме (изохорных), используют изохорную теплоемкость c_v, ic_v, c‘_v, при анализе термодинамических процессов, протекающих при постоянном давлении (изобарных), используют изобарную теплоемкость с_р, хс_р, с’_р.

Используя выражения первого начала термодинамики, запишем:

Поскольку внутренняя энергия и энтальпия идеального газа зависят только от температуры, то их изменения в любом процессе можно рассчитать по формулам:

Связь между изобарной и изохорной теплоемкостями можно установить следующим образом. В изобарном процессе подведенная q_p теплота расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение внешней работы, а в изохорном — теплота q_v расходуется только на изменение внутренней энергии. При нагревании 1 кг рабочего тела на одинаковую температуру разность между теплотой q_p и q_v будет равна работе, произведенной в процессе при р = const, т.е.

Для идеального газа работа в изобарном процессе может быть определена из уравнения состояния после дифференцирования последнего:

После подстановки значений (к]_р и с1д_г, и сокращения на с1Т получаем

Формула (1.27), устанавливающая связь между изобарной и изохорной теплоемкостями, называется уравнением Майера. Из нее вытекает также физический смысл газовой постоянной: газовая постоянная Я равна работе 1 кг газа в изобарном процессе при изменении его температуры на один кельвин (1 К). Разные газы в изобарном процессе производят неодинаковую работу.

Умножая обе части равенства (1.27) на молекулярную массу, получаем

Величина хЯ (или /?_м) называется универсальной газовой постоянной. Из (1.28) следует, что разность молярных изобарной и изохорной теплоемкостей для идеальных газов является величиной постоянной.

При решении теплотехнических задач необходимо знать значения теплоемкостей различных газов. При невысоких температурах можно пользоваться значениями теплоемкостей, полученными на основе класси- ческой молекулярно-кинетической теории газов, согласно которой теплоемкость идеального газа зависит только от количества атомов в молекуле газа, характера процесса и не зависит от температуры.

Мольные теплоемкости идеальных газов в процессе, протекающем при постоянном объеме, имеют следующие значения: рс_Г = 12,6 кДжДкмоль • К) — одноатомные газы; рс_?1= 20,9 кДжДкмоль • К) — двухатомные газы; цс₁₎= 29 кДжДкмоль • К) — трех- и многоатомные газы.

Мольная изобарная теплоемкость может быть рассчитана но формуле (1.28). Массовые и объемные теплоемкости идеальных газов определяют по (1.21) и (1.22).

Сравнивая приведенные значения теплоемкости с опытными данными, можно прийти к следующим выводам. Если для одноатомных газов приведенные значения теплоемкостей хорошо совпадают с опытными результатами, то для двухатомных газов такое совпадение наблюдается только при температурах 0—20°С. При более высоких температурах имеют место значительные расхождения в величинах теплоемкостей.

Для трех- и многоатомных газов значения теплоемкости, полученные на основании молекулярно-кинетической теории газов, даже при невысоких температурах резко отличаются от величин теплоемкости, определяемой опытным путем. Эти расхождения объясняются тем, что классическая молекулярно-кинетическая теория газов не учитывает внутреннюю энергию колебательного движения атомов внутри молекулы. Влияние ее на величину теплоемкости тем сильнее, чем больше число атомов в молекуле и выше температура. Так, например, теплоемкость воздуха при 300°С по сравнению с теплоемкостью при 0°С увеличивается на 4%, а при 2000°С — почти на 25%. Еще больше увеличивается теплоемкость с повышением температуры у трехатомных газов.

В тепловых двигателях происходит значительное изменение температуры газа, поэтому необходимо учитывать зависимость теплоемкости от температуры:

Эту зависимость находят экспериментальным путем, она имеет вид алгебраического многочлена:

где а, /?, сI — коэффициенты, определяемые опытным путем.

Как следует из (1.29) и рис. 1.1, в общем случае теплоемкость имеет криволинейную зависимость от температуры. Величины истинных и средних изохорных и изобарных теплоемкостей в зависимости от температуры приводятся в справочных таблицах. В них средние значения теплоемкостей дают для интервала температур от 0 до ?°С. Средние теплоемкости в интервале температур и ?₂ с использованием таблиц вычисляют по формуле

где с₀__Г1, с₀__Г2 — средние табличные теплоемкости газа в интервале температур (0—и (0—?2), °С.

В (1.30) числитель представляет собой количество теплоты, подводимой к газу с целью повышения его температуры от до ?₂> °С.

Часто в теплотехнических расчетах криволинейную зависимость теплоемкости от температуры заменяют близкой к ней прямолинейной зависимостью (рис. 1.1). В этом случае истинную теплоемкость определяют но следующей приближенной формуле:

Рис. 1.1. Зависимость теплоемкости от температуры

Графически коэффициент а выражает теплоемкость газа при 0°С, а коэффициент Ь является тангенсом угла а наклона прямой. В таком случае среднюю теплоемкость газа в интервале температур от Ь_х до ?₂ находят по формуле

Расчетные приближенные формулы для определения средних теплоемкостей при постоянном давлении для различных газов в интервале температур от 0 до 1000°С приведены в специальных таблицах. Использование (1.31) и (1.32) позволяет обойтись при расчетах без справочных таблиц.

На теплоемкость реальных газов влияет не только температура, но и давление.

Для определения теплоемкости смеси газов необходимо знать ее состав и значения теплоемкостей компонентов.

При нагреве смеси на 1°С каждый компонент также нагревается на 1°С. Следовательно, если смесь задана массовыми долями, то теплоемкость смеси, кДж/К,

где М_ш — масса смеси, кг; с_см — массовая теплоемкость смеси, кДж/(кг • К); М_1? М₂,М_п — массы компонентов, кг; с_х, с₂,с_п — массовые теплоемкости компонентов, кДж/(кг • К).

Разделив обе части последнего уравнения на М_см, получим

Если смесь задана объемными долями, то объемную теплоемкость 1 м 3 смеси газов при нормальных физических условиях находят по формуле

5.4. Теплоёмкость смесей

На практике чаще всего приходится сталкиваться не с отдельными газами, а с их смесями, поэтому необходимо знать определение теплоемкости смеси. При нагревании газовой смеси подведенная теплота расходуется на нагревание отдельных ее компонентов, и теплоемкость смеси определяется по ее составу.

При задании смеси массовыми долями подведенную теплоту можно определить следующим образом:

где , — удельная теплоемкость и масса i-го компонента соответственно,

Деля левую и правую части последнего уравнения на , получим:

Но поскольку – массовая доля i –того компонента, то можно записать

Таким образом, массовая теплоемкость смеси равна сумме произведений массовых теплоемкостей газов, входящих в смесь, на их массовые доли.

При задании смеси объемными долями, учитывая, что и , получим:

т.е. объемная теплоемкость газовой смеси равна сумме произведений объемных теплоемкостей газов, входящих в состав смеси, на их объемные доли.

При задании смеси молярными долями, исходя из того, что объемные и мольные доли равны, запишем:

т.е. молярная теплоемкость газовой смеси равна сумме произведений молярных теплоемкостей газов, входящих в состав смеси, на их молярные доли.

Уравнение Майера

Уравнение Майера связывает теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, тогда перейдем к самому его определению.

Теплоемкость. Уравнение Майера

Переданное телу количество теплоты для его нагревания на 1 К получило название теплоемкости тела данной системы. Обозначение принимается буквой » С » :

Значение теплоемкости единицы молярной массы тела:

c μ = C v ( 2 ) . Выражение называется молярной теплоемкостью.

Теплоемкость не считается функцией состояния, так как является характеристикой бесконечно близких состояний системы или выражается в качестве функции бесконечно малого процесса, совершаемого в системе. В количественном выражении это означает, что из ( 1 ) , применяя первое начало термодинамики, дифференциальная форма получится:

C = δ Q d T = d U + p d V d T ( 3 ) .

Уравнение Майера для идеального газа

Определение термодинамической системы производится при помощи трех параметров p , V , T . Существующее между ними отношение получило название уравнения состояния. Для идеального газа используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Данная связь запишется в виде:

p = p ( T , V ) или T = T ( p , V ) , V = V ( p , T ) .

При выборе независимых переменных в качестве V и T внутренняя энергия системы выражается в виде функции U = U ( T , V ) . Получим, что значение полного дифференциала от внутренней энергии примет вид:

d U = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V ( 4 ) .

Произведем подстановку из ( 4 ) в ( 3 ) , тогда

c = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V + p d V d T = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T d V d T ( 5 ) .

Исходя из формулы ( 5 ) , теплоемкость находится в зависимости от процесса. Если он изохорный, то

Значение теплоемкости изохорного процесса запишется как:

C V = ∂ U ∂ T V ( 6 ) .

При изобарном теплоемкость выражается через формулу:

C p = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p = C V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p ( 7 ) .

Перейдем к рассмотрению исследуемой системе идеального газа. Запись малого приращения энергии идеального газа:

d U = i 2 v R d T ( 8 ) .

d U d V T = 0 ( 9 ) .

Состояние идеального газа описывается при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона:

∂ V ∂ T p = v R p ( 11 ) .

Произведем подстановку в ( 7 ) из ( 10 ) и ( 11 ) :

C p = C V + p + 0 v R p = C V + v R ( 12 ) .

Выражение ( 12 ) называют выведенным соотношением Майера.

Или для молярных теплоемкостей:

C μ p = C μ V + R ( 13 ) .

Найти удельную теплоемкость смеси 16 г кислорода и 10 г гелия в процессе с постоянным давлением.

Решение

Если Q считается количеством тепла, получаемым смесью газов в процессе, то

Q = c p m ∆ T ( 1 . 1 ) , где m является массой смеси, c p – удельной теплоемкостью смеси при неизменном давлении.

Q O 2 — это количество тепла, получаемое кислородом:

Q O 2 = c p O 2 m O 2 ∆ T ( 1 . 2 ) , m O 2 выражается массой кислорода, c p O 2 – теплоемкостью кислорода с постоянным давлением.

Для гелия аналогично:

Q H e = c p H e m H e ∆ T ( 1 . 3 ) .

Кроме этого рассмотрим:

Q = c p m ∆ T = Q O 2 + Q H e = c p O 2 m O 2 ∆ T + c p H e m H e ∆ T ( 1 . 4 ) .

Нахождение массы смеси производится по закону сохранения массы:

m = m O 2 + m H e ( 1 . 5 ) .

Произведем выражение теплоемкости c p из ( 1 . 4 ) , учитывая ( 1 . 5 ) . Тогда имеем:

c p = c p O 2 m O 2 + c p H e m H e m O 2 + m H e ( 1 . 6 ) .

Существует связь между молярной теплоемкостью и удельной:

c μ = c · μ → c = c μ μ ( 1 . 7 ) .

Если c μ V = i 2 R , то по уравнению Роберта Майера c μ p = c μ V + R :

c μ p = i + 2 2 R ( 1 . 8 ) ; i H e = 3 , i O 2 = 5 .

В данном случае удельные теплоемкости запишутся как:

c p H e = 5 2 R μ H e , c p O 2 = 7 R 2 μ O 2 ( 1 . 9 ) .

Результатом будет записанная формула удельной теплоемкости смеси:

c p = 7 R 2 μ O 2 m O 2 + 5 2 R μ H e m H e m O 2 + m H e ( 1 . 10 ) .

c p = 3 , 5 · 8 , 31 · 16 32 + 2 , 5 · 8 , 31 · 10 4 26 = 14 , 5 + 51 , 94 26 = 2 , 56 Д ж г К .

Ответ: удельная теплоемкость смеси равняется 2 , 56 Д ж г К .

При проведении опытов Джоулем было получено, что с μ p — c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь . Значение газовой постоянной, измеренной в механических единицах R = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь . Определите, как соотносятся 1 к а л , э р г , Д ж .

Решение

Основой решения данного задания принято считать уравнение Майера, формула записывается:

с μ p = c μ V + R → c μ p — c μ V = R ( 2 . 1 ) .

Отсюда получим, что:

c μ p — c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь → 1 к а л = 4 , 18 · 10 7 э р г = 4 , 18 Д ж .