Как найти площадь графика

Нахождение площади фигуры

В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Вот полученные формулы:

для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке[a;b],

для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке[a;b].

Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.

В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y), и подробно разберем решение характерных примеров.

Навигация по странице.

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем для любого значения x из [a;b]. Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, и вычисляется по формуле .

Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c,y=d, и : .

Доказательство.

Покажем справедливость формулы для трех случаев:

В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции равна площади фигуры . Следовательно,

Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:

В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:

Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox.

Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок [a; b]на n частей , где . Фигуру Gможно представить объединением фигур . Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как

Следовательно,

Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация общего случая.

Таким образом, формула доказана.

Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).

К началу страницы

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиямиy=f(x) или x=g(y).

Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: основные элементарные функции, их свойства и графики; геометрические преобразования графиков функций и исследование функции и построение графика.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми , x=1, x=4.

Построим эти линии на плоскости.

Всюду на отрезке [1;4] график параболы выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Немного усложним пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.

Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы . Эту абсциссу найдем из равенства:

Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2.

Обратите внимание.

В нашем примере и по чертежу видно, что линии и y=x пересекаются в точке(2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.

Очевидно, график функции y=x расположен выше графика функции на интервале [2;7]. Применяем формулу для вычисления площади:

Еще усложним задание.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Построим график обратной пропорциональности и параболы .

Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения и .

При отличных от нуля значениях x равенство эквивалентно уравнению третьей степени с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.

Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: .

Разделив выражение на двучлен x-1, имеем:

Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения :

Теперь из чертежа стало видно, что фигура G заключена выше синей и ниже красной линии на интервале . Таким образом, искомая площадь будет равна

Рассмотрим еще один характерный пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и осью абсцисс.

— это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции можно получить из графика отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.

Найдем точки пересечения всех линий.

Ось абсцисс имеет уравнение y=0.

Графики функций и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения .

Графики функций и y=0 пересекаются в точке (2;0), так как x=2является единственным корнем уравнения .

Графики функций и пересекаются в точке (1;1), так как x=1является единственным корнем уравнения . Это утверждение не совсем очевидно, но — функция строго возрастающая, а — строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более одного корня.

Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.

Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке . Следовательно, искомая площадь будет равна .

Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке . В этом случае площадь представляем как .

А можно фигуру G рассматривать на отрезке , заключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся.

Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида . То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения и относительно x:

Таким образом, искомая площадь равна

Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях.

Можно переходить к последнему примеру.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

С построением этих линий проблем возникнуть не должно. На чертеже красной линией изображен график функции , синей линией , а черной линией .

Определим точки пересечения линий.

Начнем с графиков функций и :

Найдем точку пересечения графиков функций и :

Осталось найти точку пересечения прямых и :

Дальше можно поступить двояко:

Площадь искомой фигуры можно представить суммой площадей фигур, изображенных на рисунке

Тогда площадь фигуры равна:

Также можно было площадь исходной фигуры выразить суммой площадей, показанных на чертеже

Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x:

Таким образом, площадь равна:

Как видите, значения совпадают.

К началу страницы

Подведем итог.

Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.

Решение задач по математике онлайн

‘.$_COOKIE[’email’].’ Выход’ ); /*

Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Для данной задачи возможно получить подробное решение.
Узнайте как это сделать.

Немного теории.

Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a \( S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_)\Delta x_ \)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х₀, b = x_n;
\( \Delta x_0 \) — длина отрезка [x₀; x₁],
\( \Delta x_1 \) — длина отрезка [x₁; x₂], и т.д;
при этом, как мы условились выше, \( \Delta x_0 = \dots = \Delta x_ \)

Итак, \( S \approx S_n \), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S_n):
$$ S = \lim_ S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [t_k; t_k+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t_k. Итак, мы считаем, что v = v(t_k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [t_k; t_k+1], это приближенное значение обозначим s_k
\( s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
\( s \approx S_n \) где
\( S_n = s_0 + \dots + s_ = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_) \Delta t_ \)
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S_n):
$$ s = \lim_ S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_)\Delta x_ $$
3) вычисляем $$ \lim_ S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
\( \int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
\( S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:
\( S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Формула Ньютона — Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
\( S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем:
\( S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
\( S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
где F(x) — первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись \( \left. F(x)\right|_a^b \) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
\( S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\( \int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\( \int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство \( g(x) \leqslant f(x) \). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
\( S = S_ = S_ — S_ = \int\limits_a^b f(x) dx — \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\( = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \( g(x) \leqslant f(x) \), вычисляется по формуле
\( S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

Площадь криволинейной трапеции: исходные данные и формулы

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые называются криволинейными трапециями.

Примеры таких фигур — на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу — ось абсцисс ( Ox ), а слева и справа — некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во всеоружии.

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

1. Владение вычислением определенных интегралов и применением формулы Ньютона-Лейбница.
2. Определённый интеграл от функции, задающей кривую, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу. Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком минус.
3. Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих фигуру слева и справа: x = a , x = b , где a и b — числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) .

Значения «икса» должны принадлежать отрезку [a, b] . То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси «иксов». А значит с пределами интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox ), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры — функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x) , то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

Решаем задачи вместе

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс ( Ox ) и прямыми x = 1 , x = 3 .

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3] , то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1) и с применением табличного интеграла 10:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс ( Ox ).

Решение. Результат применения формулы (1) и табличного интеграла 7:

Если то s = 1/2 ; если то s = 1/3 , и т.д.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс ( Ox ) и прямой x = 4 .

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи — криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) и с применением табличного интеграла 7 (квадратный корень представляем в виде степени) находим площадь криволинейной трапеции:

О том, как избавились от трёхэтажной дроби — в материале Действия с дробями, а о том, откуда на предпоследнем шаге появилось выражение x√x — в материале Действия со степенями и корнями.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC . При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC — абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C — точкой пересечения параболы с осью Ox ). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим (применяя к каждому слагаемому табличный интеграл 7):

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB , если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1) и с применением табличного интеграла 7 (ссылки в предыдущих примерах):

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс ( Ox ).

Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы и точек пересечения параболы с осью Ox . Следовательно,

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс ( Ox ) и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

Найдём отдельно каждое слагаемое, применяя табличный интеграл 13:

Окончательно находим площадь:

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

где a и b — абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения:

Окончательно находим площадь, применяя табличный интеграл 21:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).

Пример 9. Найти площадь фигуры, заключённой между параболами и .

Решение. Требуется вычислить площадь фигуры AmBn , у которой боковые отрезки выродились в точки A и B пересечения парабол. Решая совместно (как систему) уравнения парабол, находим их абсциссы: и . На отрезке [-1, 5] получаем . Следовательно, по формуле (3) и, применяя табличный интеграл 7, находим площадь фигуры:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой и осью Ox ( y=0 ).

Снова решаем задачи вместе

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и прямыми и .

Решение. Так как на отрезке [0, 2] , то, используя для нахождения площади формулу (3) и табличный интеграл 11, получим

Пример 13. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и прямой .

Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой: и . Так как на отрезке [0, 4] , то по формуле (3) и, применяя табличный интеграл 7, находим площадь фигуры:

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Доказательство:
Выберем на интервале \(x\in [a;b]\). Площадь соответствующей криволинейной трапеции \(S(x)\) является функцией от \(x\). Дадим переменной \(x\) приращение \(\triangle x\).
Площадь криволинейной трапеции на интервале \(\left[a;x+\triangle x\right]\) равна сумме
\(S(x+\triangle x)=S(x)+S(\triangle x)\). Откуда приращение площади: $$ \triangle S=S(\triangle x)=S(x+\triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между \(x\) и \(x+\triangle x\) всегда найдется такое \(t\), что приращение площади равно произведению: $$ \triangle S=f(t)\cdot (x+\triangle x-x)=f(t)\cdot \triangle x $$ Если \(\triangle x\rightarrow 0\), то \(t\rightarrow x\), и в пределе получаем: \begin S'(x)=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle S><\triangle x>=\lim_ <\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>f(t)=f(x) \end Т.е. \(S(x)\) является первообразной для \(f(x)\) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+C\Rightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$

Построим график (см. §28 справочника для 8 класса). Это парабола. \(a\lt 0\) – ветки вниз. Координаты вершины: \begin x_0=-\frac<2a>=-\frac<-2><2\cdot (-1)>=-1,\\ y_0=3+2-1=4 \end Точки пересечения с осью OX: \begin 3-2x-x^2=0\Rightarrow x^2+2x-3=0\\ (x+3)(x-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-3,\\ x=1 \end \right. \end Точка пересечения с осью OY: $$ x=0,\ \ y=3 $$

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: \(f(x)=3-2x-x^2\)
Пределы интегрирования: \(a=-3,\ b=1\) \begin S=\int_<-3>^<1>(3-2x-x^2)dx=\left(3x-2\cdot\frac<2>-\frac<3>\right)|_<1>^<-3>=\left(3x-x^2-\frac<3>\right)|_<1>^<-3>=\\ =\left(3-cdot 1-1^2-\frac<1^3><3>\right)-\left(3\cdot(-3)-(-3)^2-\frac<(-3)^3><3>\right)=2-\frac13+9=10\frac23 \end Ответ: \(10\frac23\)

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Теорема Лагранжа о среднем
Если функция \(F(x)\) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка \(\mu\in(a;b)\), что $$ F(b)-F(a)=F'(\mu)(a-b) $$ Пусть \(F'(x)=f(x)\), т.е. функция \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\). Тогда: $$ F(b)-F(a)=\int_^f(x)dx=f(\mu)(b-a) $$

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием \(d=b-a\) и высотой \(h=f(\mu)\), где \(a\leq\mu\leq b\).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами \(y=x^2\) и \(y=4x-x^2\).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2\Rightarrow 2x^2-4x=0\Rightarrow 2x(x-2)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x=2 \end \right. $$ Строим графики.

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: \(f(x)=4x-x^2\)
Функция снизу: \(g(x)=x^2\)
Пределы интегрирования: \(a=0,\ b=2\) \begin S=\int_<0>^<2>\left((4x-x^2)-x^2\right)dx=\int_<0>^<2>(4x-2x^2)dx=\left(4\cdot\frac<2>-2\cdot\frac<3>\right)|_0^2=\\ =\left(2x^2-\frac23 x^3\right)|_0^2=2\cdot 2^2-\frac23\cdot 2^3-0=8-\frac<16><3>=\frac83=2\frac23 \end Ответ: \(2\frac23\)

п.5. Примеры

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) \(f(x)=x^3+3,\ x\in\left[-1;1\right]\)
$$ S=\int_<-1>^<1>(x^3+3)dx=\left(\frac<4>+3x\right)|_<-1>^<1>=\frac14+3-\left(\frac14-3\right)=6 $$
б) \(f(x)=sin2x,\ x\in\left[0;\frac\pi 2\right]\)
$$ S=\int_<0>^<\frac\pi 2>sin2xdx=-\frac12cos2x|_<0>^<\frac\pi 2>=-\frac12\left(cos\left(2\cdot\frac\pi 2\right)-cos0\right)=-\frac12(-1-1)=1 $$
в) \(f(x)=\frac4x+3,\ x\in\left[2;6\right]\)

\(f(x)=\frac4x+3\) — гипербола с асимптотами \(x=0,\ y=3\)
Площадь под кривой: \begin S=\int_<2>^<6>\left(\frac4x+3\right)dx=(4\cdot \ln|x|+3x)|_<2>^<6>=(4\ln 6+18)-(4\ln 2+6)=\\ =4(\ln 6-\ln 2)+12=4\ln\frac62+12=4\ln 3+12=4(\ln 3+3) \end
г) \(f(x)=\frac<1><\sqrt>,\ x\in\left[1;4\right]\)
$$ S=\int_<1>^<4>\frac<\sqrt>=\frac><-\frac12+1>|_<1>^<4>=2\sqrt|_<1>^<4>=2(\sqrt<4>-\sqrt<1>)=2 $$

Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) \(y=x-2,\ y=x^2-4x+2\)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow (x-1)(x-4)=0\Rightarrow \left[ \begin x=1,\\ x=4 \end \right. $$
Функция сверху: \(f(x)=x-2\)
Функция снизу: \(g(x)=x^2-4x+2\)
Пределы интегрирования: \(a=1,\ b=4\) \begin S=\int_<1>^<4>\left((x-2)-(x^2-4x+2)\right)dx=\int_<1>^<4>(-x^2+5x-4)dx=\\ =\left(-\frac<3>+\frac<5x^2><2>-4x\right)|_<1>^<4>=\left(-\frac<64><3>+5\cdot\frac<16><2>-4\cdot 4\right)-\left(-\frac13+\frac52-4\right)=\\ =-\frac<63><3>+24+1,5=4,5 \end Ответ: 4,5
б) \(y=e^<\frac x2>,\ y=\frac1x,\ x=2,\ x=3\)

Функция сверху: \(f(x)=e^\)
Функция снизу: \(g(x)=\frac1x\)
Пределы интегрирования: \(a=2,\ b=3\) \begin S=\int_<2>^<3>\left(e^-\frac1x\right)dx=(2e^-\ln|x|)|_<2>^<3>=\left(2e^<\frac32>-\ln 3\right)-(2e-\ln 2)=\\ =2e^<\frac32>-2e-\ln 3+\ln 2=2e(\sqrt-1)+\ln\frac23 \end Ответ: \(2e(\sqrt-1)+\ln\frac23\)
в*) \(y=3-x^2,\ y=1+|x|\)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: \begin 3-x^2=1+|x|\Rightarrow x^2+|x|-2=0\Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 0\\ x^2+x-2=0 \end \\ \begin x\lt 0\\ x^2-x-2=0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 0\\ (x+2)(x-1)=0 \end \\ \begin x\lt 0\\ (x-2)(x+1)=0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \left[ \begin \begin x\geq 0\\ \left[ \begin x=-2\\ x=1 \end \right. \end \\ \begin x\lt 0\\ \left[ \begin x=2\\ x=-1 \end \right. \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=1\\ x=-1 \end \right. \end
Функция сверху: \(f(x)=3-x^2\)
Функция снизу: \(g(x)=1+|x|\)
Пределы интегрирования: \(a=-1,\ b=1\)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные \(x\in\left[0;1\right]\), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: \begin S=2\int_<0>^<1>\left((3-x^2)-(1+x)\right)dx=2\int_<0>^<1>(-x^2-x+2)dx=2\left(-\frac<3>-\frac<2>+2x\right)|_<0>^<1>=\\ =2\left(-\frac13-\frac12+2\right)-0=\frac73=2\frac13 \end Ответ: \(2\frac13\)
г*) \(y=3sinx,\ y=cosx,\ x=-\frac<5\pi><4>,\ x=\frac\pi 4\)

На отрезке \(\left[-\frac<5\pi><4>;-\frac<3\pi><4>\right]\) синус над косинусом, далее на \(\left[-\frac<3\pi><4>;\frac<\pi><4>\right]\) — косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: \begin S=3\int_<-\frac<5\pi><4>>^<-\frac<3\pi><4>>(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_<-\frac<5\pi><4>>^<-\frac<3\pi><4>>=-3(cosx+sinx)|_<-\frac<5\pi><4>>^<-\frac<3\pi><4>> \end Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
\(-\frac<3\pi><4>+2\pi=\frac<5\pi><4>;\ -\frac<5\pi><4>+2\pi=\frac<3\pi><4>\) \begin -3(cosx+sinx)|_<-\frac<5\pi><4>>^<-\frac<3\pi><4>>=-3\left(cos\left(\frac<5\pi><4>\right)+sin\left(\frac<5\pi><4>\right)-cos\left(\frac<3\pi><4>\right)-sin\left(\frac<3\pi><4>\right)\right)=\\ =-3\left(-\frac<\sqrt<2>><2>-\frac<\sqrt<2>><2>+\frac<\sqrt<2>><2>-\frac<\sqrt<2>><2>\right)=3\sqrt <2>\end Ответ: \(3\sqrt<2>\)

Пример 4*. Пусть \(S(k)\) — это площадь фигуры, образованной параболой \(y=x^2+2x-3\) и прямой \(y=kx+1\). Найдите \(S(-1)\) и вычислите наименьшее значение \(S(k)\).

Точки пересечения прямой и параболы: \begin -x+1=x^2+2x-3\\ x^2+3x-4=0\\ (x+4)(x-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-4,\\ x=1 \end \right. \end Функция сверху: \(y=-x+1\) Функция снизу: \(y=x^2+2x-3\) Пределы интегрирования: \(a=-4,\ b=1\)

\begin S(-1)=\int_<-4>^<1>\left((-x+1)-(x^2+2x-3)\right)dx=\int_<-4>^<1>(-x-3x+4)dx=\\ =\left(-\frac<3>-\frac<3x^2><2>+4x\right)|_<-4>^<1>=\left(-\frac13-\frac32+4\right)-\left(\frac<64><3>-24-16\right)=-21\frac23+42\frac12=20\frac56 \end
2) Решаем в общем виде.
Все прямые \(y=kx+1\) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: \begin kx+1=x^2+2x-3\Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\\ D=(2-k)^2-4\cdot (-4)=(k-2)^2+16\gt 0 \end Дискриминант \(D\gt 0\) при всех \(k\). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_<1,2>=\frac<-(2-k)\pm\sqrt><2>=\frac> <2>$$ Разность корней: $$ x_2-x_1=\sqrt=\sqrt <(k-2)^2+16>$$ Минимальное значение разности корней будет при \(k=2\).
Площадь: \begin S(k)=\int_^\left((kx+1)-(x^2+2x-3)\right)dx=\int_^(-x^2+(k-2)x+4)dx=\\ =\left(-\frac<3>+\frac<(k-2)x^2><2>+4x\right)|_^=-\frac13(x_2^3-x_1^3)+\frac<2>(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) \end

\begin S(k)_=S(2)\\ x_<1,2>=\pm 2\\ S(2)=-\frac13\cdot(2^3+2^3)+0+4\sqrt<16>=\\ =-\frac<16><3>+16=\frac<32><3>=10\frac23 \end

Ответ: 1) \(S(-1)=20\frac56\); 2) \(S(k)_=S(2)=10\frac23\)

Пример 5*. Фигура ограничена линиями \(y=(x+3)^2,\ y=0,\ x=0\). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

Площадь криволинейной трапеции AOB: \begin S_0=\int_<-3>^<0>(x+3)^2dx=\frac<(x+3)^3><3>|_<-3>^<0>=\\ =9-0=9 \end Площадь каждой части: \(S_i=\frac13 S_0=3\) Точки \(C(x_1; 0)\) и \(D(x_2; 0)\) c \(-3\lt x_1\lt x_2\lt 0\) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры. Площадь прямоугольного треугольника \(\triangle AOD\): \begin S_3=\frac12|x_2|\cdot 9=3\Rightarrow |x_2|=\frac69=\frac23\Rightarrow\\ x_2=-\frac23 \end Площадь прямоугольного треугольника \(\triangle AOC\): \begin S_2+S_3=\frac12|x_1|\cdot 9=6\Rightarrow |x_1|=\frac<12><9>=\frac43\Rightarrow\\ x_1=-\frac43 \end

Находим углы соответствующих прямых.
Для \(x_1:\ tg\alpha=\frac<9><|x_1|>=\frac<9><4/3>=\frac<27><4>,\ \alpha=arctg\frac<27><4>\)
Для \(x_x:\ tg\beta=\frac<9><|x_2|>=\frac<9><2/3>=\frac<27><2>,\ \beta=arctg\frac<27><2>\)

Похожие публикации:

1. Задержка перед началом повтора клавиатуры что это
2. Как выровнять цифры в содержании в ворде
3. Как найти угол между вектором и осью
4. Как разделить строку по пробелам c