На рисунке изображены графики двух линейных
Здравствуйте, несколько задачек на простейшую функцию. Изображен график прямой, указаны точки. Требуется найти значение функции в определённой точке, или точку при данном значении. Также еще даны две прямые, необходимо найти координату точки пересечения.
508895. На рисунке изображен график функции f (x)=kx+b. Найдите f (-5). Даны две точки (-1;-3) и (3;4). Можем составить систему и вычислить коэффициенты:
Подставляем полученный коэффициент в одно из уравнений и вычисляем b: Имеем функцию: Вычисляем:
*Найдите значение х, при котором f (х)= -13,5
509197. На рисунке изображены графики двух линейных функции. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Необходимо найти уравнения прямых. Далее решить систему. Ее решение будет являться координатой точки пересечения данных прямых.
Общее уравнение прямой имеет вид f (x)=kx+b. Имеем координаты точек: для первой прямой (-3;-3) и (-2;1). Для второй прямой (1;-2) и (3;1).
Первая прямая: *Вычли из первого второе почленно. Следовательно b равно: Получили уравнение f (x)=4x+9.
Вторая прямая: *Вычли из первого второе почленно.
Следовательно: Получили уравнение f (x)=1,5x-3,5
Решаем систему: Таким образом, координата точки пересечения прямых (–5; –11). Абсцисса равна –5, ордината –11.
509229. На рисунке изображены графики двух линейных функции. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Аналогично предыдущей задаче. Имеем координаты точек: для первой прямой (–2;4) и (–1; –1). Для второй прямой (–1;2) и (2; –1).
Вычислим коэффициенты для первой прямой (подставляем координаты): *Вычли из первого второе почленно.
Следовательно: Получили уравнение f (x)= –5x–6
Второе уравнение: *Вычли из первого второе почленно. Вычисляем b: Получили уравнение f (x)= –x+1
Решаем систему: Таким образом, координата точки пересечения прямых (–1,75;2,75). Абсцисса равна –1,75, ордината 2,75.
Решение №2132 На рисунке изображён графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
На рисунке изображён графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Решение:
На рисунке изображены прямые, линейных функции их вид имеет вид:
y = kx + b
Найдём k и b функции справа .
k – тангенс угла наклона прямой, по отношению к оси х. Тангенс это отношение противолежащего катета, к прилежащему катету:
Подставим в общий вид функции значение k и координаты точки (3; 1) найдём b:
y = kx + b
1 = 1,5 · 3 + b
1 = 4,5 + b
1 – 4,5 = b
–3,5 = b
Функции справа имеет вид:
y = 1,5x – 3,5
Найдём k и b функции слева .
Подставим в общий вид функции значение k и координаты точки (–2; 1) найдём b:
y = kx + b
1 = 4 ·( –2 ) + b
1 = –8 + b
1 + 8 = b
9 = b
Функции слева имеет вид:
y = 4x + 9
В точке пересечения прямых значения функций (y) равны, найдём абсциссу (х) точки пересечения:
Найти абсциссу точки пересечения прямой заданной уравнением
Найти абсциссу точки пересечения прямой заданной уравнением
Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением с осью Ox.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Ox.
Точка пересечения с осью абсцисс имеет ординату 0. Подставляя в уравнение прямой y = 0, находим x = 2.
Точка пересечения прямой и плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения
- Содержание
- 1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
- 3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.
1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L1:
 , |
(1) |
| α: Ax+By+Cz+D=0. | (2) |
Найти точку пересечения прямой L1 и плоскости α (Рис.1).
 |
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
 , |
(3) |
 |
(4) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
| p1(x−x1)=m1(y−y1) |
| l1(y−y1)=p1(z−z1) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
| p1x−m1y=p1x1−m1y1, | (5) |
| l1y−p1z=l1y1−p1z1. | (6) |
Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:
 |
(7) |
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L1 и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L1 лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L1 и плоскости α.
Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же
2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L1 в параметрическом виде:
 |
(8) |
| α: Ax+By+Cz+D=0. | (9) |
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и плоскости α можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямой L1 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
 |
(10) |
Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:
 |
(11) |
Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):
  |
(13) |
Откроем скобки и найдем t:
 |
(14) |
Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L1 лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.
Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L1 и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).
3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.
Пример 1. Найти точку пересечения прямой L1:
 |
(15) |
| α: 7x−5y+2z+19=0. | (16) |
Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:
 |
(17) |
 |
(18) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):
 |
(21) |
Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:
 |
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:
 |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
 |
 |
Ответ. Точка пересечения прямой L1 и плоскости α имеет следующие координаты:
| M (37/2, 89/2, 37). |
Пример 2. Найти точку пересечения прямой L1:
 |
(22) |
| α: 6x+2y+z+7=0. | (23) |
Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:
 |
(24) |
 |
(25) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):
 |
(28) |
Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:
 |
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
 |
(29) |
Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L1 и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.
Ответ. Прямая L1 и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.
Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L1:
 |
(30) |
| α: 2x+y−z+11=0. | (31) |
Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):
| 2(1+2t)+(−5−5t)−(8−t)+11=0. |
| 2+4t−5−5t−8+t+11=0. | (32) |
Упростив уравнение, получим:
Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L1 удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L1 лежит на плоскости α.
Ответ. Прямая L1 лежит на плоскости α.
Найти абсциссу точки пересечения прямой заданной уравнением
Вопрос по математике:
Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением х + 3y = 6 с осью Ох
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
Выражаем из первого уравнения у:у=(6-х)÷3 Второе уравнение у=0 приравниваем: (6-х)÷3=0 х=6
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-\frac<1> <2>– 2 = — 2\frac12$.
Точка пересечения будет $(-\frac<1><2>;- 2\frac12)$.
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — \frac<1> <2>= \frac<1><2>$.
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-\frac<1><2>; \frac<1><2>)$.
Третий способ
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.