Чем различается отделение корней и уточнение корней

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

Решением уравнения (2.1) называется такое значение Х₀ (корень уравнения), при котором f(x)=0. Формулы для нахождения точного значения корней известны только для узкого класса уравнений, например, квадратных и биквадратных, некоторых тригонометрических, показательных и логарифмических. На практике чаще встречаются уравнения, которые невозможно решить с помощью элементарных приемов. Кроме того, в инженерных расчетах в большинстве случаев нельзя говорить о точном решении уравнений, так как входящие в них коэффициенты заданы приближенно. Поэтому важное значение приобретают методы, позволяющие находить корни уравнения (2.1) с любой наперед заданной степенью точности.

Задача нахождения приближенного значения корня делится на два этапа:

1) отделение корней — выделения отрезка, принадлежащего области

существования функции f(x), на котором расположен только один корень;

2) уточнение приближенных корней, т. е. вычисление их с требуемой

Для каждого из этапов решения задачи разработаны свои численные методы.

Аналитический метод отделения корня

Процесс отделения корней уравнения (2.1) основан на теореме Больцано-Коши:

Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [а,b] значения разных знаков, т.е. f(а)•f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по крайней мере, один корень. Этот корень будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а, b).

Рассмотрим на примере аналитический метод отделения корня.

х 5 + 5х 4 -2х 3 -4x 2 +7x-3=0

Составим таблицу знаков функции f(x) (табл. 2.1), полагая x равным:

а) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Отделение корней

Пусть дано уравнение вида (2.1), или (2.2),

Процесс численного решения уравнения разбивается на два этапа: отделение корней и уточнение корней.

Определение 2.2. Говорят, что корень Е, уравнения вида (2.1) или (2.2) отделен на данном промежутке, если он содержится в этом промежутке и других корней на том же промежутке нет.

Определение 2.3. Произвести полное отделение всех корней уравнения — значит разбить всю область допустимых значений на промежутки, в каждом из которых содержится только один корень или не содержится ни одного корня.

Для проверки существования корня уравнения на данном интервале применяют некоторые теоремы о свойствах непрерывных функций. Приведем некоторые из них.

Теорема 2.3 (первая теорема Больцано — Коши). Если функция/(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ъ] существует, по крайней мере, один корень уравнения Дх) = 0.

Рис. 2.5. К теореме 2.3

Заметим, что при выполнении условий теоремы 2.3 на отрезке [а; Ь] не следует, что на данном отрезке существует один или несколько корней (рис. 2.5). Важно иметь признак, по которому можно судить о наличии на отрезке [а; b] только одного корня. Этот признак выражается следующей теоремой (рис. 2.6).

Теорема 2.4. Если функция /(х) непрерывна и монотонна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения /(х) = 0, и притом единственный.

Рис. 2.6. К теореме 2.4

Вопрос о том, является ли функция монотонной, можно решить как элементарными методами, так и с помощью понятия производной, а именно: если функция Дх) непрерывна на отрезке [а; ?>] и имеет производную fix) внутри отрезка, то при fix) > 0 функция Дх) возрастает, а при/'(х) h(b), тогда внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения g(x) = hix), и притом единственный.

Рис. 2.7. К теореме 2.6

Отделение корней лучше всего произвести графически. Для этого необходимо построить либо графики функций g(x) и h(x) для уравнения вида(2.1), либо график функцииДх) для уравнения вида (2.2). Построив соответствующие графики, можно сделать предположение о том, в каких интервалах находятся корни уравнения. Это предположение затем следует проверить аналитически, применяя одну из теорем 2.3—2.6.

Отделите корни уравнения х 3 — бх 2 + 20 = 0.

Построим график функцииу(х) = х 3 — бх 2 -I- 20 (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Г рафик функции у(х) =х 3 — бх 2 + 20

На основе рис. 2.8 можно сделать предположение, что в каждом из отрезков [-2; -1], [2; 3], [5; 6] имеется по одному корню данного уравнения. Проверим это предположение для отрезка [2; 3]. На концах отрезка функция принимает значения

т.е. значения разных знаков. Производная

для всех х из интервала (2; 3), т.е. имеет постоянный знак. Следовательно, в силу теоремы 2.4 внутри отрезка [2; 3] уравнение х 3 — бх 2 + 20 = 0 имеет единственный корень.

Подобными рассуждениями можно доказать, что внутри каждого отрезка [-2; -1] и [5; 6] имеется по одному корню, в чем предлагаем убедиться читателю самостоятельно.

6.4. Методы решения нелинейных уравнений Отделение корней

Дано уравнение вида . Всякое значение, обращающее в нуль функцию f(x), называется корнем функции. Из-за сложного вида функции часто возникают трудности с аналитическим решением, и в этом случае пользуются вычислительными методами для приближенного нахождения корней. Корни требуется получить с заданной наперед точностью ε.

Приближенное нахождение действительных изолированных корней проходит в два этапа: 1) отделение корней, т.е. установление как можно более тесных промежутков, на которых содержится только один корень уравнения; 2) уточнение приближенных корней с точностью ε.

Существует два способа для отделения корней: графический и аналитический. В первом случае строится график функции и находятся точки пересечения с осью абсцисс. Часто сложную функцию f(x) разбивают на две h(x), g(x) таким образом, чтобы уравнениеможно было заменить на. В этом случае корень функцииf(x) определяется из пересечения графиков двух вспомогательных функций.

Пусть , тогдаи.

Из построенного с помощью системы MathCAD графика видно, что имеются два корня: при и.

Для второго способа отделения корней используется следующая теорема (Больцано-Коши):

Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения. Корень будет заведомо единственным, если производнаяf’(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а,b).

Рассмотрим аналитический способ отделения корней для следующего примера: . Требуется найти участки, на которых производнаясохраняет знак. Для этого необходимо вычислить корни уравнения). В промежутках между корнями знак производной сохраняется. Решая уравнение:, находим три корня:,,. Следовательно, имеются четыре интервала:,,,, на которых знак производной не меняется. Для определения промежутков, в которых содержаться корни функцииf(x) , необходимо исследовать знак функции на концах интервалов. Результат такого исследования удобно представить в таблице:

Из таблицы видно, что все четыре корня по одному находятся внутри отдельных интервалов. Промежутки отделения корней можно сузить путем подбора. При этом необходимо следить, чтобы на концах отрезка [a,b], внутри которого ищется корень, выполнялось бы неравенство f(a)f(b)<0. Так интервал , можно заменить на интервал. Заметим, что если бы функция в точке –1/5 была отрицательна, то она имела бы всего два действительных корня в интервалахи. Это означало бы, что у данной функции два других корня – комплексные.

Методы уточнения корней

Метод половинного деления (метод дихотомии) предназначен для уточнения значения корня на отрезке [a,b] с заданной точностью ε. Суть этого метода заключается в том, что сначала находится середина отрезка , затем определяется часть отрезка, [a,с] или [с,b], внутри которого располагается корень. Если f(a)f(с)<0 , то корень содержится внутри отрезка [a,с] и деление можно продолжить, приняв за правый конец точку с, выполнив присваивание b=c. В противном случае, когда f(с)f(b)<0, в точку с смещается левый конец отрезка: а=с. и т.д. Процесс половинного деления следует остановить, когда длина отрезка окажется меньше заданной точности: . Любая точка внутри такого отрезка – искомое решение.

Ниже приведены результаты уточнение корня рассмотренной выше функции на интервале , с точностью.

Вычисления с помощью электронных таблиц можно проводить, вручную, отслеживая знак произведений f(a)f(с) и f(с)f(b). Процесс можно автоматизировать если

использовать условную функцию «ЕСЛИ». В данном примере в ячейках третьей строки таблицы записаны следующие формулы:

нижние строки заполняются с помощью копирования.

Вычисления с помощью MathCAD удобнее производить, используя программирование. Слева приведен пример такой программы.

Методы Ньютона (касательных) и хорд

Для численного решения уравнения методами Ньютона и хорд необходимо, чтобы первая и вторая производные функцииf(x) были непрерывны и сохраняли знак на отрезке [a,b], в котором заключен единственный корень . Из условия постоянства знака первой производной следует единственность корня при на заданном отрезке, а из условия постоянства знака второй производной следует, что выпуклость функции не меняется на вогнутость и наоборот.

Метод Ньютона (метод касательных). Имеется некоторое приближение x_n точного значения корня . Тогда можно записать , где добавкуh_n считаем малой величиной. Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора около x_n до слагаемых первого порядка и приравнивая его к нулю, имеем: . Откуда.

Так как добавка найдена приближенно, то можно сказать, что вычислено новое приближениеx_n+1 . Таким образом, получена итерационная формула для

В качестве нулевого приближения x₀ выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению .

В общем случае, для оценки точности  методом Ньютона недостаточно выполнения условия , однако оно становится применимым с ростомn (при ). Оценить точность можно, пользуясь общей формулой, где– наименьшее значениена отрезке [a,b].

Метод хорд. В методе хорд, в отличие от метода половинного деления, отрезок делится не пополам, а, что более естественно, пропорционально отношению .Если для определенности принять , , а за х точку, в которой производится деление отрезка, то . После преобразований получается: .После деления необходимо сдвинуть один из концов отрезка, так, чтобы корень оказался внутри нового отрезка. Неподвижным выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению , где или. В итоге итерационная формула для метода хорд принимает вид:

при ,

при .

Итерации можно продолжать до тех пока , это автоматически означает, что.

Ниже представлены примеры уточнения корня уравнения , определенного при , .

Так как , , а на , то в качестве начальной точки для вычислений методом Ньютона необходимо выбрать . Таблица вычислений с помощью метода Ньютона выглядит следующим образом:

—/

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Итерационные методы используются для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений Дх) = 0. Алгебраическими считаются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные).

Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными, например:

х 3 + х 2 + 2е* + 5 = 0;

Задача решения уравнения заключается в нахождении таких значений х, которые обращают его в тождество, т. c.fx) = 0, х — корень уравнения.

Отделение и уточнение корней

Существуют два способа отделения корней: графический и аналитический.

Графический способ предполагает замену исходной функции на эквивалентную:^) = /1(х) -У2(х). Абсцисса точки пересечения графиков этих функций и есть решение исходного уравнения. Например, для решения уравнения xlgr = 1 записываем эквивалентную форму и строим график. Приближенным решением будетх = 2,5.

Рис. 1. Графический способ отделения корней

В основе аналитического метода положена следующая теорема: если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [ab], то есть f(a)*f(b) 3 — 7х+3 = 0.